第十九章 二次根式 单元检测(一) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学二次根式单元检测卷，覆盖定义、性质、运算等核心知识，通过数学史（秦九韶公式）、实际问题（背景墙面积）及规律探究题，适配单元复习，提升数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式定义、最简二次根式、取值范围|基础巩固，如第5题考查被开方数非负性| |填空题|5/15|有意义条件、面积计算、规律猜想|如第12题结合矩形面积，体现几何直观| |解答题|8/75|混合运算、实际应用、公式推导|综合应用，如22题融合秦九韶与海伦公式，培养推理能力；23题联系包装问题，发展应用意识|

第十九章二次根式单元检测（一） (本试卷共23小题满分120分考试时长90分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.下列式子一定是二次根式的是 A区 B.Vx+2 C.k2-2 D.vx2 2若V18与最简二次根式Vm+1能合并，则m的值为 A.0 B.1 C.2 D.17 3.下列各式中，计算结果等于√10的是 AV5W万 B13-V5 c.2×5 D.122 4.下列计算正确的是 AV4+5=13 B.5V3-V3=5 C.6÷V5=2 D.2W3×W3=6 5如果及Vk-6=Vk(x-6)那么x的取值范围是 A.X20 B.x26 C.0sx≤6 D.x为一切实数 6若√12n是整数，则正整数n的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 7若+v6-√V⑧，则a和b的值不可能是 A.a=2,b=2 B.a=,b=号 C.a=0,b=8 D.a=4,b=2 8将m√一帝中根号外的m移到根号里后得到的式子为 A-√-m B.V-m c.vm m-√n(m≥n) D.m 9.对于任意的正数m,n,定义运算m※n= ,计算(3※2)×(8※12)的结果为 m+/n(m<n) A2-4V6 B.2 c.2y5 D.20 10若a=4,6=3,且a+b-0,则a-b的值是 A.1或7 B.-1或7 C.-1或7 D.1或7 第二部分非选择题（共0分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11若Vk-9在实数范围内有意义，则实数×的取值范围是 12.一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为8cm和50cm?的正方形木板后，剩余的木 板（阴影部分）的面积为cm2. 50cm2 8 cm2 (第12题) 13.当x=2+2026时，代数式x2-4x+5的值是 14.已知ABc的周长为18，a,bc为三角形的三边.则V(a+b-c)+V(b-c-a)2+Vb+c-a)7= 15.在草稿纸上计算：（①√下，2√1+2，③√1+2+3，…观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出 V13+23+33+…+103= 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程 16.(10分) 05分计算24÷5-月×W18+v32 (26分)计算(2-1)+28-（V5-2)(5+2) 17.(8分) 李老师家装修，矩形电视背景墙BC的长为V27m,宽AB为V⑧m,中间要镶一个长为2√3m,完为V2m的 矩形大理石图案（图中阴影部分）】 (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元；/m2,大理石造价为200元m?,则整个电视 背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） (第17题) 18.(8分) 已知a=22-3,b=2V2+3,求下列各代数式的值： (1)a+ab3 (2)a2+b2-ab 19.(8分) 有-块长方形木板ABCD,木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加2W3cm(即DE=2W3cm),宽AB 增加7V3cm(即BG=7V3cm),得到-个面积为192cm的正方形AGFE, (I)求长方形木板ABCD的面积； (②)木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2,宽为乡cm的长方形木料，木工乙是否可以裁出 所求的长方形木料，请说明理由 数学试卷第？页（共8页） B G (第19题) 20.(8分) 根据平方差公式： (反+1)（反-1）=(2)2-1=1，由此得到本5-1，由此我们可以得下面的规 律，请根据规律解答后面的问题」 第1式： 石本5-1第2式：柜55，第3式：本5-5， 第4式： g54… ()根据规律填空：第5式：6+5=一 ②若2+tE+4++h+ih=49,求n的值 21.(8分) 观察下列各式：V+=2骨V2+=3V3+=4V唱 根据上列式子的规律，解答下列问题： (1)填空V4+培=一5+号=一 数学试卷第？页（共8页） (2)计算（请写出计算过程）： V13+: (3)请你将猜想到的规律用含有正整数n的等式表示出来，并证明 22.(12分) 秦九韶，字道古，南宋著名数学家与李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家他精研星象、音律、算术、诗 词、弓剑、营造之学.他完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式如下：设一个三角形的三边长分别为， b,。,面积为s,则$一a62-(+)月，此公式我们称为秦九韶公式 古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而著名在他的著作《度量》一书中，给出如下公式： 设一个三角形的三边长分别为a,b,c,p专(ab十c),面积为S,则有下列面积公式： S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)我们称这个公式为“海伦公式 (1)若一个三角形边长依次为5、6、7，请用“海伦公式”求这个三角形的面积 2)若一个三角形的三边长分别是5，√6，√万，请用秦九韶公式”求这个三角形的面积： (3)请将“秦九韶公式转化为“海伦公式 数学试卷第？页（共8页） 23.(13分) 【观察发现】 :(V6+h5)2-(V6)+(5)2+2W6x5=11+230 N11+23o-（W6+W5)2-6+5 :(2+5)2=22+(5)2+2x2×W3=7+45, V7+43=(2+5)2=2+5 【初步探索】 0)化简：10+2W21; (2)化简V7-V40; ③)化简2-5 【解决问题】 (④)某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出.甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为 80cm2和(14+6√5)cm2快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表纸箱厚度不计)： 型号 长 宽 高 A型 10cm 8cm 12cm B型 12 cm 10cm 15cm C型 16 cm 10cm 10 cm 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？（参考 数据： 5N2.24) 一、选择题：1.D:2.B:3.C:4.D:5.B:6.A:7.D8.A:9.B:10.C 二、填空题：11.x≥9：12.12：13.2027：14.18：15.55. 三、解答题： 1 16.解：(1)原式=√24÷3- 12X18+4W2…1分 =22-3+42 …4分 =6万-3；…5分 (2)原式=3-2万+4万-(5-4)…8分 =2万+2.…10分 17.解：(1)背景墙长方形ABCD的周长=2(BC+AB)=227+√⑧)…1分 =(65+4万)m…2分 答：背景墙的周长为(65+42)m: …3分 (2)长方形4BCD的面积：√27×√8=35×22=66(m2).…4分 大理石的面积：25×2=26(m2).…5分 壁纸的面积：66-26=46(m2).…6分 整个电视墙的总费用：22×46+200×2√6=886+4006=4886（元）.… …7分 答：整个电视背景墙需要花费488V6元.………………8分 18.解：(1)a=22-3,b=22+3, a+b=(2迈-3)+(2万+3)=4万，…1分 ab=(22-3)(22+3)=(25)-32=8-9=-1,…3分 a2b叶ab2=ab(a+b）…4分 =-1×4万=-4万；…5分 (2)由(1)知，a+h=42,ab=-1. 2+b}-ab=(a+b)2-3ab…6分 =(42)2-3X(-1）…7分 =32+3=35.… …8分 19.解：(1)由题意得：正方形的边长为：9亚=85cm,…1分 .AD=85-25=65cm,…2分 AB=85-75=√5m, …3分 .矩形ABCD木板的面积为65×5=18@m2;…4分 (2)可以裁出，…5分 理由：之从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm,宽为m。 裁出长为：26 2x2三460m…6分 6 由(1)得长方形ABCD的长为65cm,宽为，5cm, 46=%,65=1085=厘 21 .46<65. …7分 <乃，二可以裁出所求的长方形木粒 ，8分 20.解：(1)6-5：…2分 (2)由(1)可得：一1 =√n+打-五， m+1+n 111 1 -+…+ 迈+15+反4+5n+灯+ =2-1+5-√2+4-√5+…+n+I- …4分 =t打-1，…5分 +万-1=49…6分 nt=50,nt1=2500,…7分 n=2499.…8分 21解：0-5后 …1分 …2分 3x15+打 …4分 15 (3)猜想规律： 1 In+- =(n+1) .…6分 n+2 +2n为正整数 1 证明：n+ n(n+2)+1 n+2n+1 n+1) n+2 :7分 n+2 n+2 1 （+1+2心猪想成这…8分 22.解：(1)一个三角形边长依次为5.6、7，即a=5,b=6,c=7, p=)ah扣）)5+6+7)E9…1分 根据“海伦公式”可得：S=Vn(p-a)(p-b)(p-℃)=9x4x3x2=66; …2分 (2a=5,b=6,c=7,a2=5,b2=6,2=7, …3分 srg万-层风w …4分 0周j=0-4=图 …5分 2 …6分 (3):“秦九韶公式” s=w汀-9可 .…7分 2 …8分 -吗 …9分 -可 (c+a-b)(c-a+b) 2 …10分 1 p=z(atbte).:.atb+e=2p.:.atb=2p-c,atb-c=2p-2c, 同理c+a-b=2p-2b,c-a+b=2p-2a, 11分 (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) 4 3 2 12p(2p-2c(2p-2b)(2p-2a】 42 2 =√斤×2p(p-c)p-b)x2(p-a)=p0-a)p-b)(p-c),….12分 1 s原 =p(p-a)(p-B)(p-c) 23.解：(1)√10+22厅=√7+3+27x=7+5)=万+5；…2分 (2)V7-√40=√5+2-210=√(5)2+(2)2-25×√2 …3分 =√(5-2)7 44…4分 =5-万： 44…5分 (3)2-5= 4-25 …6分 2 /1+3-2x1x√5 12+(5)2-2x1x√3 5-1) …7分 2 2 2 2(6-亚B-1x265 …8分 4 2 2 (4)√80=45，√14+65=√3+(5)2+2x35=√(3+5)=3+5.… …9分 5s224,∴45s4×2.24=8.96,3+5s3+224=5.24. 二45>8.A型包装纸箱的宽为8，A型包装纸箱不符合；…10分 45+3+5=&96+5.24=14.2<15,8.96<10. .将甲、乙两个饰品盒上下叠放，B型纸箱可以：…11分 :45=8.96<10,45+3+,5=142<16,.将甲、乙两个饰品盒左右并列排 放，C型纸箱可以.…12分 12×10×15=1800,16×10×10=1600,1600<1800, .从节约空间的角度考虑，应选择C型号纸箱.…13分 综上所述，符合条件的包装纸箱型号有两种，分别为B型和C型，若从节约 空间的角度考虑，应选择C型号的纸箱。