广东深圳市福田区西交利物浦大学基础教育集团外国语高级中学2025-2026学年第二学期高三考前自测数学试题

西浦教育集团外国语高中2025-2026学年度第二学期 高三年级 西浦五模考试 数学学科试题 答题注意事项： 1．本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ） A． B． C． D． 3．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为”是“渐近线方程为”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5、已知随机变量，且，则（）的最小值为（ ） A． B． C．16 D．48 6．已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（ ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，且，则使不等式成立的n的最大值为（ ） A．98 B．99 C．100 D．101 8．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（ ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 10．如图，已知圆柱，底面半径为1，，P为上一点，正方形内接于，则（ ） A．平面 B．四棱锥的体积不为定值 C．四棱锥外接球的表面积为 D．直线与平面所成角的最小值为 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则下列选项正确的是（ ） A． B．若D是边的中点，则线段的长的最小值为 C．的最大值为 D．若点O是的外心，且，，则 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则的值为______． 13．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上一点，以P为圆心，为半径的圆交y轴于M，N两点．若，则圆P的半径为______． 14．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量X，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有．根据该不等式可以对事件的概率作出估计．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数n的值至少为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查．该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示： （1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m． （2）利用分层抽样从阅读时间在的学生选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1人发言的概率． 16．（本小题满分15分） 如图，在斜三棱柱中，，O为的中点，且平面，，． （1）证明：四边形为矩形； （2）若点P在线段上（异于A点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 17．（本小题满分15分） 已知圆，外有一点． （1）当时，过点A作直线l，当直线l与圆相切时，求直线l的方程； （2）自点A发出的光线经过x轴反射后与相切，记与相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为，数列的前n项和为，求证：． 18．（本小题满分17分）已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在上的单调区间； （3）若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 19．（本小题满分17分）已知，为椭圆（）的左，右顶点，M为上的一点，N为双曲线上的一点（M，N两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且． （1）设O为坐标原点，证明：O，M，N三点共线； （2）设、的右焦点分别为、，M，N均在第一象限，直线与直线相交于点P，． （i）证明：； （ii）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 西浦教育集团外国语高中2025-2026学年度第二学期 高三年级西浦五模考试 数学学科试题 答题注意事项： 1．本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，项是符合题目要求的． 1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ABD 10．ACD 11．ACD 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．160 13．5 14．1250 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】解：（1）由题意可得，频率分布直方图中第一组和第二组的频率之和为，所以样本学生一个月阅读时间t的中位数； （2）阅读时间在的频率为，的频率为， 故两组的频率之比为，所以阅读时间在抽取3人，抽取2人，则小组中没有抽到学生发言的概率为，故小组中至少有1人发言的概率为． 16．【答案】（1）证明见解析； （2）或． 【详解】（1）在斜三棱柱中，连接，由，O为的中点，得，又，则，，而平面，则直线，，两两垂直，如图，以O为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 由，得， 又四边形为平行四边形，所以四边形为矩形． （2）由（1）得，，，， 则， 设，， ，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成的角为， 则 即，解得或， 所以的值为或． 17．【解】（1）圆，圆心，半径． 由题意可知直线l的斜率k存在，设直线l的方程为，即 由于直线l与圆相切，所以，解得或， 所以直线l的方程为或； （2）记点A关于x轴的对称点为，则． 由于反射光线所在直线经过点，且斜率存在， 设反射光线所在直线，即 又圆的圆心为，半径，直线与圆相切，则， 整理得，则两条切线的斜率之积 所以 ． 18．【答案】 的增区间为，无减区间 【解析】解：（1）已知函数， 由题设，且， 因此，因此切线方程为； （2）设， 令，因此， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， ，， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 因此，即， 故的增区间为，无减区间； （3）证明：由（1），（2）知，在上单调递增， 若，，必有， 若，，必有， 若，必有，，矛盾， 令，（）， ， 因此， 因此单调递增，， 在上，，单调递减，， ， 因此，， 因此，，即，原不等式成立． 19．【详解】（1）设，，则，， 因为，可知：， ， 2分 因为，可知：， 则， 由可知：， 可知：，因此，O，M，N三点共线． 5分 （2）（i）由可得：， ，，可知：． 由，可知： ，且M，N都在第一象限，则，； 7分 由（1）知： （*），，， 由（*）式结合，可知： ，，则，， 10分 因此可得： 由此可知：； 12分 （ii）由（i）可知： ，， 则； 直线，直线， 设点，于是，， 则，即， 则点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆， 15分 则，， 于是，则． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $