期末复习核心突破篇 第十一章不等式与不等式组 2025-2026学年人教版七年级数学下册

2025-2026人教版七年级数学下期末复习核心突破篇 第十一章------不等式与不等式组 一、 核心考点体系 考点模块 核心考查内容与要求 典型题型与关键点 1. 不等式的基本概念与性质​ 1.1 不等式的定义： 能用不等号（<, >, ≤, ≥, ≠）连接式子并识别。 1.2 不等式的解与解集： 理解解的意义，能在数轴上表示解集。 1.3 不等式的性质： 重中之重是性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 题型：概念辨析、判断变形正误。 关键：区分“解”与“解集”；性质3的逆用是常见陷阱（如由 ac > bc推 a > b需考虑c的正负）。 2. 一元一次不等式的解法​ 2.1 解法步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（五步）。 2.2 解集表示： 准确在数轴上表示（空心圈“>”或“<”；实心点“≥”或“≤”）。 2.3 特殊解： 求整数解、最大/最小整数解等。 题型：计算题、与方程综合题。 易错点：去分母漏乘常数项；移项忘变号；系数为负时，化1未变号；数轴表示混淆空心与实心。 3. 一元一次不等式组的解法​ 3.1 解集的确定： 掌握口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”，求公共解集。 3.2 数轴辅助： 画数轴确定多个不等式解集的公共部分。 题型：求解不等式组、解集判断。 关键：先分别解每个不等式；借助数轴直观找交集；注意边界点是否包含。 4. 含参数的不等式（组）​ 4.1 根据解集求参数： 已知不等式（组）的解集，反求参数的值或范围。 4.2 根据解的情况求参数： 已知有解、无解、有特定整数解等，求参数范围。 题型：填空、选择、解答题（压轴）。 难点：需分类讨论；端点值取舍易错；是本章主要难点之一。 5. 一元一次不等式的应用​ 5.1 列不等式解应用题： 从实际问题中抽象不等关系，设未知数，列不等式（组）。 5.2 常见模型： 分配问题、积分问题、利润问题、方案设计问题等。 题型：解答题。 关键：抓住关键词（至少、不超过、不足等）；列式后注意实际意义检验（如人数为正整数）。 二、 高频易错点与解题策略 1. 性质应用错误：在乘除负数时忘记改变不等号方向，是最高频的错误。 2. 解不等式组逻辑混乱：务必坚持“先分别解，再求交集”的步骤，并用数轴辅助验证。 3. 含参问题端点取舍：判断边界值是否包含时，可将参数值代入原不等式（组）进行检验。 4. 应用题建模错误：仔细审题，明确“大于”、“小于”、“不低于”、“非负”等关键词的数学含义。 三、 思想方法与能力要求 · 数形结合思想：利用数轴表示和理解解集是本章的核心方法。 · 模型思想：将实际问题转化为不等式模型。 · 分类讨论思想：在解决含参问题时尤为重要。 总结：学习本章，需牢固掌握不等式性质和解法基础，通过大量练习熟练解不等式（组）的步骤，并重点攻克含参问题和实际应用这两大难点。建立数形结合的分析习惯，是提升解题准确率的关键。 考点1不等式概念及性质 1．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知实数满足：，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 考点2一元一次不等式的解法 6．一元一次不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．某商店老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为120元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（） A． B． C． D． 9．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 10．方程组的解满足，则的取值范围为（） A． B． C． D． 考点3不等式的特殊解 11．不等式的最大整数解是（     ） A．0 B．1 C． D．2 12．不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 14．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点4解一元一次不等式组 16．在平面直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 18．不等式组的正整数解是（    ） A．0，1 B．1 C．，0，1 D．1，0， 19．不等式组的非负整数解有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 20．不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C． D． 考点5含参不等式与不等式组 21．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 22．已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 23．若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 24．若不等式组有一个整数解为，则a的取值范围是___________． 25．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是_______． 考点6不等式的应用 26．为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． (1)求A、B两款服装的单价． (2)学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 27．【问题背景】 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据： 排碳计算公式 每人使用各种交通工具 每移动产生的碳排放量 家庭用电的二氧化碳排放量耗电量 汽油的二氧化碳排放量耗油量 天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 自行车： 公交车： 汽车： 【理解应用】 （1）王芳家某月的“碳足迹”：家庭用电，水，天然气，汽油，请计算王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量多少（结果保留1位小数）？ 【方案设计】 （2）为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案最省钱？ 28．某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 29．《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 30．甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 1. 不等式性质应用错误 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知为实数且，则下列说法中：，，③，④，⑤，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2. 解不等式组逻辑混乱 3．求不等式组：的所有正整数解． 4．解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 3. 含参不等式端点取舍 5．若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 7．关于的不等式组无解，应满足的条件________． 4. 应用题建模错误 8．某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个． ①根据题意，完成以下表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） x 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 9．为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 10．为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 二、 分层突破专练 三、 易错点剖析 一、 核心考点详解 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下期末复习核心突破篇 第十一章------不等式与不等式组 （解析版） 一、 核心考点体系 考点模块 核心考查内容与要求 典型题型与关键点 1. 不等式的基本概念与性质​ 1.1 不等式的定义： 能用不等号（<, >, ≤, ≥, ≠）连接式子并识别。 1.2 不等式的解与解集： 理解解的意义，能在数轴上表示解集。 1.3 不等式的性质： 重中之重是性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 题型：概念辨析、判断变形正误。 关键：区分“解”与“解集”；性质3的逆用是常见陷阱（如由 ac > bc推 a > b需考虑c的正负）。 2. 一元一次不等式的解法​ 2.1 解法步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（五步）。 2.2 解集表示： 准确在数轴上表示（空心圈“>”或“<”；实心点“≥”或“≤”）。 2.3 特殊解： 求整数解、最大/最小整数解等。 题型：计算题、与方程综合题。 易错点：去分母漏乘常数项；移项忘变号；系数为负时，化1未变号；数轴表示混淆空心与实心。 3. 一元一次不等式组的解法​ 3.1 解集的确定： 掌握口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”，求公共解集。 3.2 数轴辅助： 画数轴确定多个不等式解集的公共部分。 题型：求解不等式组、解集判断。 关键：先分别解每个不等式；借助数轴直观找交集；注意边界点是否包含。 4. 含参数的不等式（组）​ 4.1 根据解集求参数： 已知不等式（组）的解集，反求参数的值或范围。 4.2 根据解的情况求参数： 已知有解、无解、有特定整数解等，求参数范围。 题型：填空、选择、解答题（压轴）。 难点：需分类讨论；端点值取舍易错；是本章主要难点之一。 5. 一元一次不等式的应用​ 5.1 列不等式解应用题： 从实际问题中抽象不等关系，设未知数，列不等式（组）。 5.2 常见模型： 分配问题、积分问题、利润问题、方案设计问题等。 题型：解答题。 关键：抓住关键词（至少、不超过、不足等）；列式后注意实际意义检验（如人数为正整数）。 二、 高频易错点与解题策略 1. 性质应用错误：在乘除负数时忘记改变不等号方向，是最高频的错误。 2. 解不等式组逻辑混乱：务必坚持“先分别解，再求交集”的步骤，并用数轴辅助验证。 3. 含参问题端点取舍：判断边界值是否包含时，可将参数值代入原不等式（组）进行检验。 4. 应用题建模错误：仔细审题，明确“大于”、“小于”、“不低于”、“非负”等关键词的数学含义。 三、 思想方法与能力要求 · 数形结合思想：利用数轴表示和理解解集是本章的核心方法。 · 模型思想：将实际问题转化为不等式模型。 · 分类讨论思想：在解决含参问题时尤为重要。 总结：学习本章，需牢固掌握不等式性质和解法基础，通过大量练习熟练解不等式（组）的步骤，并重点攻克含参问题和实际应用这两大难点。建立数形结合的分析习惯，是提升解题准确率的关键。 考点1不等式概念及性质 1．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：用等号连接，是等式，不是不等式； 选项B：是代数式，没有不等关系，不是不等式； 选项C：用不等号连接，表示不等关系，符合不等式的定义； 选项D：是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 2．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 3．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变，，两边同时加，∴，A选项正确． ∵不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，，两边同时除以，∴，B选项错误． 当，时，满足，但，故C不一定成立，错误． ∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，，两边同时乘，∴，D选项错误． 4．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：由图可得：若，则． 5．已知实数满足：，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件做等量代换，逐一推导各选项的正误即可，解题关键是利用消元，代入不等式推导结论． 【详解】解：，， ，故选项A正确，不符合题意； 由得，代入， 得 ，故选项B正确，不符合题意； ，代入，得， ，即，故选项C错误，符合题意； 由以上推导可知，即， ，两边同除以正数得 ，即， ，两边同除以正数得 ，即， ，故选项D正确，不符合题意． 考点2一元一次不等式的解法 6．一元一次不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴， ∴， 将在数轴上表示如图， 观察选项D选项符合 ． 7．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， . 8．某商店老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为120元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该卫衣打折销售，先明确打x折的实际售价计算方法，再根据利润=实际售价-进价，结合利润率是利润占进价的百分比，根据利润率不低于的要求列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得． 9．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 10．方程组的解满足，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用加减消元法先解出方程组的解，再代入不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， ①②得， 解得． 把代入①得， 解得． 将， 代入得， 整理得， 解得：． 考点3不等式的特殊解 11．不等式的最大整数解是（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出满足条件的最大整数即可． 【详解】解：移项可得， 合并同类项得， 系数化为得， ∵小于等于的最大整数是 ∴不等式的最大整数解是． 12．不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】解一元一次不等式，再找出范围内的正整数即可． 【详解】解： ， 解得 ， ∴ 满足条件的正整数为 、、、，共4个． 13．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再找出解集范围内的最小整数即可得到答案． 【详解】解： 移项得 ∵大于 的整数为 ∴其中最小的整数为． 14．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：不等式两边同乘2去分母，得， 移项并合并同类项，得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴范围内的负整数为，共2个． 15．不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴满足的非负整数为，共个． 考点4解一元一次不等式组 16．在平面直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第四象限内横坐标为正，纵坐标为负列不等式组，解不等式组可得出答案． 【详解】∵点在第四象限， ∴， 解得：． 17．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【详解】解：解得 解得 ∴ 18．不等式组的正整数解是（    ） A．0，1 B．1 C．，0，1 D．1，0， 【答案】B 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． ∴正整数解是1． 19．不等式组的非负整数解有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，求出不等式组的公共解集，再找出解集中的非负整数，统计个数即可． 【详解】解：解不等式， ∵移项得， 合并同类项得， ∴， 解不等式， ∵去括号得， 移项得， ∴， ∴不等式组的解集为， 解集内的非负整数为，共2个． 20．不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后按照判断不等式组解集的口诀求出不等式组的解集，从而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， 由得，解得， 由得，解得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 考点5含参不等式与不等式组 21．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， ∵不等式组无解， ∴， 则． 22．已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的求解，先分别求解不等式组中两个不等式，再根据已知解集对应得到和的值，最后计算即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组的解集是， ，， 解得， ． 23．若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求解参数的取值范围，先分别解出两个一元一次不等式，再结合不等式组有解的条件，推导参数的取值范围即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： 关于的不等式组有解 即． 24．若不等式组有一个整数解为，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组有一个整数解为7，列出关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得， ∵不等式组有一个整数解为， ∴不等式组的解集为， ∴， ∴． 25．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有三个整数解”是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据解集中有且只有三个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：解不等式组 ， 由得， 由得，即， 故不等式组的解集为． 由于解集有且只有三个整数解，且， ∴整数解为 ，，． ∴． 故答案为：． 考点6不等式的应用 26．为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． (1)求A、B两款服装的单价． (2)学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 【答案】(1)A款服装单价为70元，B款服装单价为60元 (2)最多能采购A款服装150件 【分析】（1）设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设采购A款服装a件，则采购B款服装件，根据题意列出一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元， 根据题意得， 解得 ∴A款服装单价为70元，B款服装单价为60元； （2）解：设采购A款服装a件，则采购B款服装件， 根据题意得， 解得 ∴最多能采购A款服装150件． 27．【问题背景】 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据： 排碳计算公式 每人使用各种交通工具 每移动产生的碳排放量 家庭用电的二氧化碳排放量耗电量 汽油的二氧化碳排放量耗油量 天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 自行车： 公交车： 汽车： 【理解应用】 （1）王芳家某月的“碳足迹”：家庭用电，水，天然气，汽油，请计算王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量多少（结果保留1位小数）？ 【方案设计】 （2）为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）；（2）有3种建设方案；建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据不等关系，列出不等式． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据投入资金不超过50000元，两种租赁点都至少有一个列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：（1） ， 答：王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量． （2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据题意得： ， 解得：， ∴x的整数解有1，2，3， ∴有3种建设方案，方案一：建2个大租赁点，6个小租赁点；方案二：建3个大租赁点，5个小租赁点；方案三：建1个大租赁点，7个小租赁点； 方案一所需要费用：（元）； 方案二所需要费用：（元）； 方案三所需要费用：（元）； ∵， ∴建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱． 28．某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 【答案】运输方案共1种：甲型货车5辆、乙型货车5辆；最低运费3800元 【分析】本题考查不等式组解应用题，读懂题意，准确列出不等式组求解是解决问题的关键． 设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意，列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意列不等式组： ， 解不等式①得； 解不等式②得； ， 则只有1种运输方案：甲型货车辆，乙型货车辆； 总运费为：（元）， 答：有种运输方案，该方案为最低运费方案，最低运费3800元． 29．《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【答案】(1)87本 (2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 （2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 30．甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)场 【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出，根据为非负整数，即可得出答案； （2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出，即可得答案． 【详解】（1）解：设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． （2）解：设乙胜了场， ∵乙队保持不败， ∴平的场次为场， ∴， 解得：． ∴至少胜5场． 1. 不等式性质应用错误 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案 【详解】解：对于选项A，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∵ ， ∴ ，A错误； 对于选项B，举反例，当 ， 时，满足 ，但 ，，，B错误； 对于选项C，若 ，当 时，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，可得 ，C错误； 对于选项D，∵ ，平方数非负，因此得 ， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴ ，D正确 2．已知为实数且，则下列说法中：，，③，④，⑤，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用不等式性质逐个判断说法，统计正确个数即可得到结果． 【详解】解：已知，逐个判断： ①，不等式两边同乘，不等号方向改变，得，两边同加2，不等号方向不变，得，①正确； ② 举反例，取，满足，此时，，，不满足，②错误； ③ 举反例，取，满足，此时，不满足，③错误； ④ 当时，，不满足，④错误； ⑤对任意实数，，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得，⑤正确； 综上，正确的说法共2个． 2. 解不等式组逻辑混乱 3．求不等式组：的所有正整数解． 【答案】1，2，3 【详解】解：解不等式①，得，     解不等式②，得，     ∴不等式组的解集为，     ∴不等式组的所有正整数解为1，2，3． 4．解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【详解】解：解得 解得 ∴ 在数轴上表示如下： 3. 含参不等式端点取舍 5．若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 6．若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解得，则可得关于的不等式组的个整数解是、、、，然后列出不等式组即可求出的取值范围． 【详解】解：， ， ， ∴关于的不等式组的个整数解是、、、， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 7．关于的不等式组无解，应满足的条件________． 【答案】 【分析】已知不等式组无解，根据不等式组解集的规律列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：不等式组无解， ， 移项得 ， 合并同类项得． 4. 应用题建模错误 8．某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个． ①根据题意，完成以下表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） x 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)①见解析；②有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个； (2)方案①销售利润最大，最大利润是262元． 【分析】（1）①根据题意和表格中的数据可以将空白处的数据补充完整；②根据题意列出不等式组即可； （2）分别计算三种方案的利润，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，              纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） ②由题意得 解得． ∵为正整数， ∴，，． 有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个； （2）解：方案①利润为：（元）； 方案②利润为：（元）； 方案③利润为：（元）； ∵ ∴方案①销售利润最大，最大利润是262元． 9．为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 【答案】(1)A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． (2)共有三种购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；②购买A型设备6台，B型设备4台；③购买A型设备7台，B型设备3台． 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 【分析】（1） 设购买A型的价格是x万元，购买B型的设备y万元，根据购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解； （2）设购买A型号设备x台，则B型为台，根据市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，可列不等式组求解． 【详解】（1）解：设A型设备每台万元，B型设备每台万元，则 ， 解得∶ ， 故A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． （2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台， 根据题意得，， 解得：， ∵为整数， ∴x为5、6，7． 购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；费用为（万元）， ②购买A型设备6台，B型设备4台；费用为（万元）， ③购买A型设备7台，B型设备3台；费用为（万元）， 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 10．为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) 辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨 (2) 共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用． 【详解】（1）解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； （2）解：设安排型货车辆，则安排型货车辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少． 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元． 二、 分层突破专练 一、 核心考点详解 三、 易错点剖析 学科网（北京）股份有限公司 $