精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗第二中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025~2026学年度第二学期初二年级期中数学测试题 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的自变量是（ ） A. 商品名称 B. 数量 C. 单价 D. 金额 2. 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请估算的值（ ） A. 在0和1之间 B. 在1和2之间 C. 在2和3之间 D. 在3和4之间 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则（ ） A. 10 B. C. D. 5. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的每一个内角是______． 10. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 11. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为________． 12. 如图，矩形纸片ABCD的长AD＝6cm，宽AB＝2cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长______cm． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，，点E为上的一点，连接，F为的中点，若，则的长为_______． 14. 如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 三．解答题（共6小题，共58分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 17. 用长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为，底边长为． （1）求y关于x的函数解析式；写出自变量的取值范围． （2）在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 18. 如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 19. 如图，在中，为的中点，为线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）要使四边形为菱形，需要_________°． 20. 如图1，已知矩形的顶点，．且a，c满足．连接对角线． （1）直接写出A，B，C三点的坐标：A ，B ，C ； （2）如图2，将矩形沿对角线折叠，使点B落在点D处，、相交于点E．求折叠前后重合部分的面积； （3）如图3，点P是线段上的动点，点Q是射线上的动点，，分别以和为边作．在点P，Q运动的过程中，是否存在点P，使得为菱形？若存在，请求出所有满足条件的P的坐标和菱形的周长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期初二年级期中数学测试题 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的自变量是（ ） A. 商品名称 B. 数量 C. 单价 D. 金额 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，若变量A随着变量B的变化而变化，那么B就叫做自变量，A就叫做因变量，据此可得答案． 【详解】解：∵付款金额是随着矿泉水的数量的变化而变化的， ∴自变量是数量， 故选；B． 2. 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请估算的值（ ） A. 在0和1之间 B. 在1和2之间 C. 在2和3之间 D. 在3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】先估算出的值，再估算出的值在1和2之间． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B： ，B正确； 选项C： ，C错误； 选项D：∵，D错误． 4. 如图，在中，，则（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴． 故选：B． 5. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形要求边、角、对角线成立的条件逐个判断，即可解决问题． 【详解】解：A．，， 根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； B．，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C．，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D．，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：A． 6. 如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，得，结合正方形的面积求解即可； 【详解】解：因为是的边上的高， 所以， 所以， 根据正方形的面积，得， 故． 故． 7. 如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出符合条件的三种情况，然后根据图形判断即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B、C作对边的平行线，分别交于点， ∴可得， 由图可知，点D不可能在第三象限． 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：A． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的每一个内角是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据外角和可以直接求解． 【详解】解：∵正五边形的外角和为， 则每个外角为：， 则每个内角为：． 10. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】x≥-3 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】解：由题意得:x+3≥0． 解得x≥-3， 故答案为：x≥-3． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围及二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 11. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，根据正方形的性质，等边三角形的性质，得到，，等边对等角求出，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形，等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 12. 如图，矩形纸片ABCD的长AD＝6cm，宽AB＝2cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长______cm． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】由折叠的性质得：BE＝DE， 设DE长为xcm，则AE＝（6−x）cm，BE＝xcm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， 根据勾股定理得：AE2＋AB2＝BE2， 即（6−x）2＋22＝x2， 解得：x＝， 即DE长为cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，，点E为上的一点，连接，F为的中点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】三角形的中位线定理，求出的长，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可. 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点O，， ∴，， ∵F为的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴. 14. 如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 三．解答题（共6小题，共58分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，，即可证，即得，，进而得，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 17. 用长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为，底边长为． （1）求y关于x的函数解析式；写出自变量的取值范围． （2）在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的周长即可建立函数解析式，再由三边关系以及边长为正建立不等式求解自变量的取值范围即可； （2）根据两点确定图象即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∴， 由，得， 又， ∴， 故， ∴（）； 【小问2详解】 略 18. 如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）12 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 19. 如图，在中，为的中点，为线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）要使四边形为菱形，需要_________°． 【答案】（1）见解析 （2）90 【解析】 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得出，即可证明四边形为矩形； （2）先证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得出，根据平行线的性质得出，从而证明，即可得出四边形为菱形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：当时，四边形为菱形； 连接，交于点O，如图所示： ∵， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 20. 如图1，已知矩形的顶点，．且a，c满足．连接对角线． （1）直接写出A，B，C三点的坐标：A ，B ，C ； （2）如图2，将矩形沿对角线折叠，使点B落在点D处，、相交于点E．求折叠前后重合部分的面积； （3）如图3，点P是线段上的动点，点Q是射线上的动点，，分别以和为边作．在点P，Q运动的过程中，是否存在点P，使得为菱形？若存在，请求出所有满足条件的P的坐标和菱形的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）存在点和使为菱形，菱形的周长分别为16和8 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求得a，c，的值，进而根据矩形的性质结合坐标系，即可求解． （2）根据折叠的性质以及矩形的性质得出，设，勾股定理建立方程，求得，进而根据三角形的面积公式求出结果． （3）设，且，根据菱形的性质可得，进而得出P的坐标，求出菱形的边长进而求出周长． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∵矩形的顶点为，， ∴，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：，， 由折叠得：， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：在中，， 设则，则，， ①当Q在线段上时，则， ∵为菱形 ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴； ②当Q在的延长线上时，则， ∵为菱形 ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴； 综上，存在点和使为菱形，菱形的周长分别为16和8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $