精品解析：山西晋城市高平一中实验学校等校2026届高三考前自测数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学样卷（二） 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，故A正确. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 3. 已知为抛物线上一点，若点到抛物线准线的距离为6，则点的横坐标为（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】设点的横坐标为，可知，准线为， 所以，解得． 4. 若函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，. 5. 某中学一个数学课外兴趣小组经常在周末利用AI技术构建现实生活中的数学模型，对学过的各章节知识进行复习．若该兴趣小组构建了一个神经网络方面的损失函数模型，并随机取a，b的数据如下表，则为整数的概率为（ ） 的数据取值为 6，8，9 b的数据取值为 12，13，14，15，18 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式，结合分类讨论思想求解即可. 【详解】因为为整数， 所以当时，可取12，13，14，15，18； 当时，可取12，15，18； 当时，可取12，14，18； 所以为整数的概率为． 6. 古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆和正方形ABCD的中心是重合的，圆的半径为，正方形ABCD的边长为4，P为圆上的动点，且，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，连接，正方形ABCD的边长为， ， ，解得， 圆的面积为． 7. 已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，可得，再根据正弦函数的性质求得时，，进而结合题设可得，进而求解即可. 【详解】，， ∵当时，，则， ， 若存在，使得成立， 只需，解得， 结合选项，实数的取值不可能是9． 8. 如图，在底面为正方形的长方体中，为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足，若四面体的体积的最小值为，则长方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得点的轨迹是平面ABCD内以点为圆心、圆心角为且半径为1的圆弧，分析可得点到BD的距离的最小值为，进而可得面积的最小值为，再根据棱锥的体积公式结合题设可求得，进而求解即可. 【详解】由，则点的轨迹是平面ABCD内以点为圆心、圆心角为且半径为1的圆弧， 如图，连接AC交BD于点四边形ABCD为正方形，为AC的中点，且， ． 设点到BD的距离为，则， 面积的最小值为． 平面，解得， 设长方体的外接球的半径为， ， 长方体的外接球的表面积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（ ） A. B. 15 C. 10 D. 4 【答案】CD 【解析】 【详解】由圆，圆心为，半径为， ∵在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2， ∴只需点到直线的距离小于或等于2， ，解得， 结合选项，实数的取值可以为10，4. 10. 已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时，为奇函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用放缩法判断即可；对于B，求出，进一步判断即可；对于C，根据函数的奇偶性及对数运算判断即可；对于D，结合复合函数的导数得到，进一步判断即可. 【详解】对于A，，即，A项正确； 对于B，的定义域为， ， 所以，B项错误； 对于C，的定义域为，当时，， ， 所以，所以为奇函数，C项正确； 对于D，设，，， 即，所以在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增，所以， 所以，D项正确． 11. 已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据与的关系结合题设可得，进而求解判断即可；由可得，进而结合可得，即可判断；对于C，由，结合二次函数的性质求解判断即可；对于D，易得当时，，且，进而利用累加法求解判断即可. 【详解】对于A，，，而， ，故A错误； 对于B，，而，则，即， ，故B正确； 对于C，，而， 当时，，故C正确； 对于D，， ， 当时，，且， ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某新能源汽车工厂随机抽取10名检测工人，对他们某天检测的新能源汽车车辆数进行统计，统计数据如下表，则这10名工人检测车辆数的第60百分位数是______． 检测车辆数 10 11 12 14 15 检测工人数 2 3 1 3 1 【答案】13 【解析】 【详解】该10名工人检测车辆数从小到大排序为10，10，11，11，11，12，14，14，14，15， ，故从小到大，选取第6个数和第7个数的平均数作为第60百分位数， 即． 13. 已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 【答案】4 【解析】 【详解】联立，得 ， 则，解得，且， 所以，解得． 14. 已知在钝角中，角A，B，C的对边分别为．，则角的取值范围为______；若，则______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用正、余弦定理和诱导公式对式子进行化简. 【详解】∵在钝角中，， ， ， 或（舍去）， ， ， ， 由，可得． ， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质，和题目已知条件，列出方程，求出公比，进而写出通项公式； （2）根据等比数列前项和公式，求出，再构造数列，进而分组求出. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，且， ，，由等比性质可知， 因为，所以， . 【小问2详解】 ， ． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面分别是BC和PA的中点． （1）求证：平面PCD． （2）求直线PB与平面EFD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，作辅助线，构造平行四边形，证明结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量和法向量，进而根据线面角的向量方法求出结果. 【小问1详解】 如图，取PD的中点，连接， 分别是BC和PA的中点，，且， 为平行四边形，． 平面平面平面PCD． 【小问2详解】 如图所示，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 所以． 设平面EFD的法向量为， 则，令，则． 设直线PB与平面EFD所成的角为， ， ∴直线PB与平面EFD所成角的正弦值为． 17. 某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了3架甲种无人机和2架乙种无人机，从这5架无人机中随机抽取2架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为，试飞不合格的概率为，恰抽到架甲种无人机记为事件． （1）求； （2）若抽取的2架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据题意结合组合知识求解即可； （2）由题意，的可能取值为0，1，2，利用全概率公式分别求出每一个对应的概率，再根据数学期望的公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，． 【小问2详解】 记架甲种无人机试飞合格为事件， 则， ． 由题意，的可能取值为0，1，2， ∴ ， ， ， 的分布列为 0 1 2 ． 18. 如图，已知双曲线的焦距为，过点且不垂直轴的直线：交双曲线于M，N两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求实数的值； （3）设，若点满足，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设求出，进而求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及列方程求解即可； （3）设，由可得，由可得，进而得到，结合求出，进而代值求得，进而求解即可. 【小问1详解】 双曲线的焦距为，则， ，解得， 双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 设， 联立，得，且， 则， ， ， 整理得 ，解得或． 【小问3详解】 设， 即， ， ， ∵， ， 点的轨迹方程为． 19. 已知函数为常数，曲线在点，处的切线的斜率为． （1）求函数的解析式． （2）证明：当时，导函数恰有一个极大值． （3）证明：函数在区间上恰有两个零点． 【答案】（1） （2） ，设 则，其中恒成立， 设 ， 则． 当时，， 当，即时，，函数在上单调递减， 又 ， ，使得，即， ∴对于，有． 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． ∴当时，导函数恰有一个极大值为． （3）由（2）可知，，使得， ∴， ∴ ， 又，当，且时，， ，使得，，使得． ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在单调递减． ． ， ，使得 ． ∴ ， ，使得． 当 时，函数在区间上无零点． ∴函数在区间上恰有两个零点． 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义列式计算求解； （2）对二次求导，结合导数与极值，计算即可证明； （3）利用导数，根据三角函数与指数函数的单调性结合零点的存在性定理证明即可. 【小问1详解】 ， 且曲线在点处的切线的斜率为，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学样卷（二） 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为抛物线上一点，若点到抛物线准线的距离为6，则点的横坐标为（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 4. 若函数则（ ） A. B. C. D. 5. 某中学一个数学课外兴趣小组经常在周末利用AI技术构建现实生活中的数学模型，对学过的各章节知识进行复习．若该兴趣小组构建了一个神经网络方面的损失函数模型，并随机取a，b的数据如下表，则为整数的概率为（ ） 的数据取值为 6，8，9 b的数据取值为 12，13，14，15，18 A. B. C. D. 6. 古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆和正方形ABCD的中心是重合的，圆的半径为，正方形ABCD的边长为4，P为圆上的动点，且，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（ ） A. B. C. 5 D. 9 8. 如图，在底面为正方形的长方体中，为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足，若四面体的体积的最小值为，则长方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（ ） A. B. 15 C. 10 D. 4 10. 已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时，为奇函数 D. 11. 已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某新能源汽车工厂随机抽取10名检测工人，对他们某天检测的新能源汽车车辆数进行统计，统计数据如下表，则这10名工人检测车辆数的第60百分位数是______． 检测车辆数 10 11 12 14 15 检测工人数 2 3 1 3 1 13. 已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 14. 已知在钝角中，角A，B，C的对边分别为．，则角的取值范围为______；若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面分别是BC和PA的中点． （1）求证：平面PCD． （2）求直线PB与平面EFD所成角的正弦值． 17. 某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了3架甲种无人机和2架乙种无人机，从这5架无人机中随机抽取2架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为，试飞不合格的概率为，恰抽到架甲种无人机记为事件． （1）求； （2）若抽取的2架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为，求的分布列和数学期望． 18. 如图，已知双曲线的焦距为，过点且不垂直轴的直线：交双曲线于M，N两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求实数的值； （3）设，若点满足，求点的轨迹方程． 19. 已知函数为常数，曲线在点，处的切线的斜率为． （1）求函数的解析式． （2）证明：当时，导函数恰有一个极大值． （3）证明：函数在区间上恰有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $