精品解析：山西大同市灵丘豪洋中学2026届高三5月仿真模拟数学试题

2026年普通高等学校招生仿真模拟 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 为了调查某梨园中梨的生长情况，在梨园中随机采摘了个梨．经整理分析后发现，梨的重量（单位：kg）近似服从正态分布，且，．若从该梨园中随机采摘个梨，则该梨的重量在内的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是单位向量，且与的夹角是120°，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，均为锐角，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 8. 已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X，Y满足，则 B. 数据8，11，13，14，17，20，21，25的分位数为20.5 C. 在经验回归方程中，若样本相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 10. 在三棱锥中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 若，则三棱锥外接球的表面积为 D. 若，则点在平面的投影是的外心 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，点P是E上位于第一象限内的一点，记，，，则下列说法正确的是（ ） A. E的离心率为2 B. 点P到E的两条渐近线的距离之积为定值 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数是______ 13. 已知数列满足，，则______． 14. 已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，，点D在边上，且，求的长． 16. 为了即将到来的运动会短跑比赛，体育老师计划从高三（1）班的同学中通过短跑预赛选出适合参加短跑比赛的学生加以训练，短跑预赛的规则是：设置某一个时间，每位同学可以试跑三次，若三次均未成功，则不通过预赛；若有一次试跑成功，则无需再跑，视为通过预赛．已知甲同学每次能试跑成功的概率是，且每次试跑相互独立，互不影响． （1）记甲同学的试跑的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （2）在甲同学通过预赛的条件下，求甲是第三次试跑成功的概率． 17. 如图，在四棱柱中，四边形ABCD是菱形，，，，，点E是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆的左顶点为，点是C上的一点． （1）求C的方程； （2）已知圆，点G是C上的动点，以EG为直径的圆交圆E于F，H两点，求四边形EFGH的面积的最小值； （3）过点的直线l交C于M，N两点，点Q是线段MN上异于M，N的一点，且，求证：． 19. 已知函数． （1）若，求证：当时，； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）已知，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生仿真模拟 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法运算化简，再应用复数的几何意义得出点即可判断. 【详解】由题意知， 所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限． 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，解得， ； ，解得， ； ， ． 3. 若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为点为抛物线上一点， 所以，解得. 因为抛物线的准线为， 所以点P到其焦点的距离为． 4. 为了调查某梨园中梨的生长情况，在梨园中随机采摘了个梨．经整理分析后发现，梨的重量（单位：kg）近似服从正态分布，且，．若从该梨园中随机采摘个梨，则该梨的重量在内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以．故C正确． 5. 已知，是单位向量，且与的夹角是120°，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，， 因为，所以 ， 即 ，解得． 6. 已知，均为锐角，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为，均为锐角所以. ． 7. 已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列的性质可得，根据等比数列前项和公式计算可得，进而计算可解. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，，，则，． 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即． 令，可得，解得或（舍去），所以， 因为，所以， 所以 ，所以， 所以，解得． 8. 已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出4是的一个周期，再结合周期性可得，即可得结果. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 则，即， 当时，则， 且，可知对任意恒成立， 又因为是定义在上的奇函数，则，， 可得，即， 则，得，可知4是的一个周期， ， ， 所以 ， 所以， 又因为 ，即，可得， 所以 ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X，Y满足，则 B. 数据8，11，13，14，17，20，21，25的分位数为20.5 C. 在经验回归方程中，若样本相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】ABD 【解析】 【详解】若随机变量X，Y满足，则，A正确； 因为，分位数为，B正确； 经验回归方程中，样本相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误； 由，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确． 10. 在三棱锥中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 若，则三棱锥外接球的表面积为 D. 若，则点在平面的投影是的外心 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，取的中点，连接，即可得到平面，从而判断A；利用三棱锥的体积即可判断B；将三棱锥补成长方体即可求出C；根据线面垂直即可判断D. 【详解】 对于A，取的中点，连接，由于，，， 由等腰三角形的性质可得，，由于平面且与交于点，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B，三棱锥的体积， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，当，由于，，， 由勾股定理可得，，，将三棱锥补成长方体，易得长方体的外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积，故C正确； 对于D，当时，因为，设为点在平面上的投影，则，所以点在平面的投影不是的外心，故D错误． 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，点P是E上位于第一象限内的一点，记，，，则下列说法正确的是（ ） A. E的离心率为2 B. 点P到E的两条渐近线的距离之积为定值 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据离心率公式计算判断A，应用点到直线距离公式结合双曲线方程计算判断B，应用斜率公式计算判断C，应用两角和正切公式计算判断D. 【详解】由双曲线，则 ， 对于A，则E的离心率，故A错误； 对于B，设点，则 ，即 ， 而E的两条渐近线方程为， 所以点P到E的两条渐近线的距离之积为，故B正确； 对于C，设点，则 ，即，而， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 所以 ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项公式为 令，解得， 所以的系数为． 13. 已知数列满足，，则______． 【答案】103 【解析】 【详解】由题意得， ． 14. 已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦及正弦函数的性质可知，从而得在上恰有3个实数根，可得，，由正弦函数的性质可知，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以函数在区间上恰有3个零点， 即在上恰有3个实数根， 所以，， 又， 所以在上恰有3个实数根， 所以， 解得， 即的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，，点D在边上，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，并根据诱导公式、两角和的正弦公式及同角三角函数关系式，求得，从而得到； （2）由点D在边上，且，知，根据求向量模的方法可得，即的长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 所以， 又，所以， 又，则． 【小问2详解】 因为点D在边上，且， 所以， 所以， 所以，即AD的长为． 16. 为了即将到来的运动会短跑比赛，体育老师计划从高三（1）班的同学中通过短跑预赛选出适合参加短跑比赛的学生加以训练，短跑预赛的规则是：设置某一个时间，每位同学可以试跑三次，若三次均未成功，则不通过预赛；若有一次试跑成功，则无需再跑，视为通过预赛．已知甲同学每次能试跑成功的概率是，且每次试跑相互独立，互不影响． （1）记甲同学的试跑的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （2）在甲同学通过预赛的条件下，求甲是第三次试跑成功的概率． 【答案】（1） X 1 2 3 P ， （2） 【解析】 【分析】（1）分析X的所有可能取值，求出相应概率，列出X的分布列并求出数学期望； （2）记“第i次试跑成功”分别为事件，“甲同学通过预赛”为事件B，计算相关概率，并利用条件概率公式计算求解． 【小问1详解】 由题意知X的所有可能取值为1，2，3， ， ， ， X的分布列为： X 1 2 3 P ． 【小问2详解】 记“第i次试跑成功”分别为事件，，“甲同学通过预赛”为事件B， ， ， ， 在甲同学通过预赛的条件下，甲是第三次试跑成功的概率为． 17. 如图，在四棱柱中，四边形ABCD是菱形，，，，，点E是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再得出平面ABCD，最后应用面面垂直判定定理证明； （2）建系，先求出平面的法向量，再应用面面角余弦公式求解，最后应用同角三角函数关系计算求解. 【小问1详解】 取BC的中点O，连接DO，，如图所示． 因为四边形ABCD是菱形，，故是等边三角形，所以，， 又，，，平面，故平面， 又平面， 故，，故，故， 又，DO，平面ABCD，所以平面ABCD， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 以O为坐标原点，OD，OB，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，，，，，， 故，，， 设平面EDB的法向量为， 所以，即得， 令，解得，，所以． 设平面的法向量为， 所以，即得， 令，解得，，所以． 所以， 所以， 即二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆的左顶点为，点是C上的一点． （1）求C的方程； （2）已知圆，点G是C上的动点，以EG为直径的圆交圆E于F，H两点，求四边形EFGH的面积的最小值； （3）过点的直线l交C于M，N两点，点Q是线段MN上异于M，N的一点，且，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据顶点及点在椭圆上列方程计算求解即可求解； （2）根据垂直关系得出面积结合椭圆方程及二次函数最值计算求解最小值； （3）先设直线，再联立结合韦达定理及弦长公式，最后得出点Q在定直线上即可证明； 【小问1详解】 由题意知 解得，， 所以C的方程为． 【小问2详解】 解：以EG为直径的圆交圆E于F，H两点，所以，， 所以， 所以四边形EFGH的面积， 设，则，所以，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以四边形EFGH的面积的最小值为． 【小问3详解】 证明：当直线l的斜率为0时，直线l的方程为，易得，或，，此时． 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，， 由得， 则 ， 解得或，所以，， 因为，所以，即，即， 解得，所以 ，所以点Q在直线上， 又直线是线段AP的垂直平分线，所以 19. 已知函数． （1）若，求证：当时，； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用放缩法，令，求导，根据导数证明即可； （2）分，，三种情况，利用导数与函数单调性、最值得关系，分类讨论求解即可； （3）由（1）和（2）结合题意可得，根据不等式性质结合二倍角公式计算即可证明. 【小问1详解】 若，则， 令，，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，； 【小问2详解】 由题意知， 当时，， 所以在上单调递增，所以，符合题意； 当时，令，， 则在上单调递减， 所以， 所以在上单调递增， 又，所以存在， 当时，，即， 所以在上单调递减，所以，不合题意； 当时，， 令，，则， 令，则， 所以在上单调递减，令， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在，使得， 所以即在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以存在，，使得，， 所以即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以存在，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以， 所以当时，，符合题意． 综上，a的取值范围是； 【小问3详解】 因为， 由（1）和（2）可知当时，， 即，当且仅当时，等号成立． 又，，，所以，，， 所以， 所以， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $