北京市第一六一中学2025-2026学年高三第二学期考前热身测试数学试题

北京一六一中学2025—2026学年度第二学期热身阶段测试 高三数学试卷 班级________ 姓名________ 学号________ 考生须知 1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟． 2．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束后，将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置． 1．已知集合，集合，则 A． B． C． D． 2．下列函数中，在上单调递增的偶函数为 A． B． C． D． 3．若直线与圆无公共点，则 A．或 B． C． D．或 4．在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则各项系数的最大值为 A．3 B．4 C．5 D．10 5．将抛物线平移使其顶点与坐标原点重合，得到抛物线，则的准线方程为 A． B． C． D． 6．设，是两个不同的平面，则的充要条件是 A．存在无数条直线与，都平行 B．存在无数个平面与，都垂直 C．对任意的直线，都存在直线，使得 D．对任意的直线，都存在直线，使得 7．设，，为非零实数，且，则 A． B． C． D． 8．如图，半径为1的圆与直线相切于点，点，同时从点出发，点沿着直线向右、点沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．连结，，与圆交于点，记扇形的面积为，与线段，围成的面积记为，点，运动过程中，下列关系中正确的是 A． B． C． D． 9．四面体中，，，．若该四面体某面的三角形周长为18，则四面体的体积最大值为 A．36 B． C． D． 10．设函数定义域为，值域为．对，都满足．若集合可取得中所有值，则实数最小值为 A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上． 11．复数=________． 12．已知向量，，函数的一个零点为，则________． 13．双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 14．玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示．某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列．若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则最矮的玉琮内圆柱形孔洞的体积为________，这5个玉琮模型的高度和为________cm． 15．设函数，对于下列四个判断： ①函数的最小正周期为； ②函数的图象上的点到原点的距离不可能为1； ③函数的值域是； ④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点． 所以，其中所有正确的结论序号是________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案填在答题中相应黑色框区域内． 16．（本小题共13分） 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．（本小题14分） 如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为的正方形，为的中点，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题13分） 某地区组织高中学生参加“AI科技赋能”主题知识网络竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干．为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的学生，获奖情况统计结果如下： 性别 人数 获奖人数 一等奖 二等奖 三等奖 男生 200 10 15 15 女生 300 25 25 40 假设所有学生的获奖情况相互独立． （Ⅰ）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率； （Ⅱ）用频率估计概率，从该地区高中男生中随机抽取1名，从该地区高中女生中随机抽取1名，以表示这2名学生中获奖的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）用频率估计概率，从该地区高中学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高中男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高中女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 19．（本小题15分） 已知椭圆的左顶点为，上顶点为．原点到直线的距离为，的面积为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，．判断直线是否与直线平行，说明理由． 20．（本小题15分） 设函数，已知曲线在点的切线为，． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）已知，分别为，的导函数，当时，且，证明：时，． 21．（本小题15分） 对于有穷正数数列，，，，若满足对任意的，，都有（是常数，且），则称数列具有性质． 对数列定义“分拆”，将中的第项分拆为两项，并得到数列，，…，，，…，，，，其中，且．特别地，当时，，，…，，，；当时，，，…，，，． 对有穷正数数列，，…，，令数列，，，，…．若数列，，，…，均具有性质，则称为数列的阶完美分拆数列． （Ⅰ）若，判断以下数列是否为的1阶完美分拆数列（结论不要求证明）： ①，，；②，， （Ⅱ）当时，若为数列的1阶完美分拆数列，证明：数列中被分拆的一定是最大项； （Ⅲ）若数列，，，为数列，的阶完美分拆数列，证明：的最大值为4． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 学科网（北京）股份有限公司 $ 热身阶段测试标准答案和评分标准 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D A C D C B C 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上． 11． 12．1 13．之一，不能都写；的任意一值 14．，50 15．①②④ 注：两空的小题第一空2分，第二空3分； 15．题无错选，全部选对得5分，选对一个2分，选对两个4分． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案填在答题卡中相应黑色框区域内． 16．解：（Ⅰ）根据余弦定理，可得， 因为，所以， 因为， 所以． 5分 （Ⅱ）选择条件②，因为，， 所以， 因为，所以，所以，， 7分 由正弦定理， 9分 可得， 10分 设边上的高为，又因为， 12分 所以． 13分 选择条件③， 因为，所以， 所以． 7分 由余弦定理， 9分 可得，所以． 10分 设边上的高为，又因为， 12分 所以． 13分 17．解：（Ⅰ）在五面体中，底面是正方形， 所以． 1分 因为平面，平面， 所以平面． 2分 因为平面，平面平面， 所以． 3分 因为为中点，， 所以． 所以四边形是平行四边形． 所以． 4分 因为平面，平面， 所以平面． 5分 （Ⅱ）取的中点，作，． 因为为正方形， 所以． 因为， 所以． 因为，， 所以． 7分 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 8分 所以．即，，两两互相垂直． 如图建立空间直角坐标系，则 ，，，，． 因此，，平面的法向量． 10分 设平面的法向量为．则 即 令，则，．于是． 11分 设平面与平面夹角为，则 ． 14分 18．解：（Ⅰ）设事件为“分别从上述名男生和名女生中各随机抽取名，抽到的名学生都获一等奖”， 则． 4分 （Ⅱ）随机变量的所有可能取值为，，． 记事件为“从该地区高中男生中随机抽取名，该学生获奖”， 事件为“从该地区高中女生中随机抽取名，该学生获奖”． 由题设知，事件，相互独立， 且估计为，估计为． 5分 所以，估计为； ， 估计为； ，估计为． 8分（没有分布列倒扣分） 所以的分布列为 故估计的数学期望． 10分 （Ⅲ）． 13分 19．解：（Ⅰ）由题可知，，． 因为的面积为，所以． 因为点到直线的距离为，所以． 所以 3分 得 4分 所以椭圆的方程为． 5分 （Ⅱ）判断：， 6分 理由如下：由题知直线的斜率存在， 设过点的直线的方程为，即． 7分 由得． 由，得． 设，， 则，． 8分 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 9分 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 10分 要证点为线段的中点，只需证明，即． 因为 12分 14分 所以点为线段的中点． 又线段的中点为 所以 15分 20．解：（Ⅰ） 2分 因为曲线在点的切线为 所以，解得，． 5分 （Ⅱ）由题意得，的定义域为 7分 令，且它与符号相同 令， 8分 令得 所以时，，单调递增；时，，单调递减 因此，即 所以单调减区间为，没有增区间 10分 （Ⅲ）因为，， 11分 所以，即， 故单调递增， 13分 又因为， 14分 所以， 即． 15分 21．解：（Ⅰ）①是；②否． 3分 （Ⅱ）因为数列为数列的1阶完美分拆数列，所以数列的最大项只有一项， 4分 证明如下： 假设数列的最大项至少有两项，令，都是数列的最大项， 设，因为，所以，与矛盾， 所以数列的最大项只有一项． 6分 记数列的唯一最大项为，假设数列中被分拆的项是，且， 令，则，与矛盾，即假设不成立， 所以分拆的项一定是数列中的最大项． 8分 （Ⅲ）当，时，的1阶完美分拆数列为，，； 的2阶完美分拆数列为，，，； 的3阶完美分拆数列为，，，，； 的4阶完美分拆数列为，，，，，． 所以数列，存在4阶完美分拆数列． 9分 下面证明对于任意数列，，不存在5阶完美分拆数列． 假设数列，的2阶完美分拆数列为，，，，不妨设． 由（Ⅱ）知，为得到的3阶完美分拆数列，一定分拆，得到数 列，，，，，其中，，，及． 若，则由，即及，可得 ． 若，有，与题设矛盾，不合题意． 此时，数列，，，，中的最大项无法再分拆，此时分拆结束． 于是，为得到4阶完美分拆数列，必须有，此时，． 11分 所以，分拆为，，得到数列，，，，，，其中，及． 于是． 若是数列，，，，，中的最大项， 因为，即，又， 于是，与假设矛盾． 所以不是此时数列的最大项． 若是数列，，，，，中的最大项， 因为，所以， 又，所以，与假设矛盾． 所以不是此时数列的最大项． 13分 所以是此时数列的最大项． 此时，应有，否则，， 于是， 与题设矛盾，不合题意，所以． 若，有，与题设矛盾，不合题意． 此时，数列，，，，，中的最大项无法再分拆，此时分拆结束． 因此，若数列，存在阶完美分拆数列，则．综上的最大值为 15分 学科网（北京）股份有限公司 $