北京市第一六一中学2024-2025学年高三下学期热身阶段测试数学试题

高三数学 第 1 页 共 8 页 北京一六一中学 2024—2025 学年度第二学期热身阶段测试 高 三 数 学 试 卷 班级 姓名 学号 考 生 须 知 1．本试卷共 3 页，满分 150 分，考试时长 120 分钟。 2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 3．在答题纸上，选择题用 2B 铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答。 4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回。 一、选择题：本大题共 10 道小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目的要求。把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．。 1. 若集合  1,2,3,4,5,9A  ，  1B x x A   ，则 A B  （A） 1,3,4 （B） 2,3,4 （C） 1,2,3,4 （D） 0,1,2,3,4,9 2. 若 (1 i) 2z   ，则 z虚部是 （A） 1 （B）1 （C） i （D） i 3. 下列函数是偶函数，且在区间 (0 1), 上单调递增的是 （A） 21y x  （B） tany x （C） cosy x x （D） e ex xy   4. 若 0ab  ，且 a b ，则下列不等式一定成立的是 （A） 2 2a b （B） 2 b a a b   （C） 1 1 a b  （D） 2 a b ab  5. 若角的终边绕原点O逆时针旋转 2 π3 后与角 的终边重合，且 cos( ) 1   ， 的取值可以为 （A） π 6 （B） π 3 （C） 2π 3 （D） 5π 6 6. “ 0a  ”是“直线 2 1 0 ( )x ay a a    R 与圆 2 2 1x y  相交”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 已知边长为 2的菱形 ABCD中， π 3 DAB  ，点F为线段 BD（含端点）上一动点，点 E满足 3BE EC   ， 则 AF BE   的最大值为 （A）3 （B） 4 3 （C） 2 3 （D）0 8. 已知 1 2,F F 为椭圆 2 2 2 12 x yM m  ： 和双曲线 2 2 2 1 xN y n  ： 的公共焦点， P 为它们的一个公共点，且 1 1 2PF F F ，那么椭圆M 和双曲线 N的离心率之积为 （A） 2 （B）1 （C） 2 2 （D） 1 2 高三数学 第 2 页 共 8 页 9. 图 1是中国古代建筑中的举架结构, , , ,AA BB CC DD   是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举, 图 2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 1 1 1 1, , ,DD CC BB AA是举， 1 1 1 1,, ,OD DC CB BA 是相等的步,相邻桁 的举步之比分别为 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 ,0.5, ,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA     ．已知 1 2 3, ,k k k 成公差为 0.1的等差数列,且直线OA的斜 率为 0.725,则 3k  （A） 0.75 （B）0.8 （C）0.85 （D） 0.9 10. 在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有 100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为 70%，女 生成绩的优秀率为 50%；乙校男生成绩的优秀率为 60%，女生成绩的优秀率为 40%，对于此次测试，给出 下列三个结论： ①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率； ②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率； ③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中正确结论的个数 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 二、填空题：本大题共 5 小题，共 25 分。把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．。 11.已知函数   lnf x x ，若   1f ab  ，则    4 4f a f b  _________. 12.在 (1 3 )nx 的展开式中，若各二项式系数的和等于 64，则 n  ________，此时 2x 的系数是 ________．（用数字作答） 13.设函数   2sin 2 2cosf x x x  ，则函数  f x 的最小正周期为 ；若对于任意 xR ，都有  f x m 成 立，则实数m的最小值为 ． 14.正四面体 ABCD中，棱长为 4，则此四面体的表面积为_______；点M 为 BD中点，过M 的截面 与 棱 AB平行，点 P在截面 上，若 P到棱 AB和棱CD的距离都为 d，则 d的一个取值为_________. 15.曲线C是平面内到原点O的距离与到直线 1x  的距离的乘积等于常数 2a （ 1a  ）的点的轨迹. 给出下 列四个结论： ①曲线C过点(0,1)； ②曲线C关于 x轴对称； ③曲线C存在渐近线； ④曲线C与被 x轴截得的弦长大于 5 . 其中所有正确结论的序号是 . 高三数学 第 3 页 共 8 页 三、解答题：本大题共 6 题，共 85 分。把答案填在答题纸中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．。 16.（本题共 14分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A BC 中，AC BC ， 2AC BC  ， 1 3CC  ，点 ,D E分 别在棱 1AA 和棱 1CC 上，且 1, 2AD CE  ，M 为棱 1 1A B 的中点． （Ⅰ）求证： 1C M∥平面 1B DE； （Ⅱ）若 1CC 平面 ABC， （i）求二面角 1B B E D  的余弦值： （ii）点 B到平面 1DB E的距离. 高三数学 第 4 页 共 8 页 17.（本题共 13分）在 ABCV 中， cos cos 2 cosa B b A c C+ = ． （Ⅰ）求角C； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 ABCV 存在且唯一确定，求 c和 sin A 的值． 条件①： 2 2a  ， AC边上中线的长为 5 ； 条件②： 6b  ， ABCV 的面积为 6； 条件③： 10cos 10 B   ， AC边上的高 BD的长为 2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分． 高三数学 第 5 页 共 8 页 18.（本题共 13分）果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成．研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于 酯类化合物．某学习小组在实验中使用了 3 种不同的酵母菌（A型，B 型，C 型）分别对三组（每组 10 瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量．实验过程中部分发酵液 因被污染而废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）： 酵母菌类 型 该酯类化合物的含量 ( / L)gμ A型 X 2747 2688 X X 2817 2679 X 2692 2721 B型 1151 X 1308 X 994 X X X 1002 X C型 2240 X X 2340 2318 X 2519 2162 X X 根据发酵液中该酯类化合物的含量 ( / L)t gμ 是否超过某一阈值来评定其品质，其标准如下： 酵母菌类型 品质高 品质普通 A型 2700t  2700t≤ B型 1000t  1000t≤ C型 2300t  2300t≤ 假设用频率估计概率． （Ⅰ）从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率； （Ⅱ）设事件D为“从样本含 A型，B型，C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少 有一瓶品质高”，求事件 D发生的概率 ( )P D ； （Ⅲ）设事件 E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，试比 较事件 E发生的概率 ( )P E 与（Ⅱ）中事件 D发生的概率 ( )P D 的大小．（结论不要求证明） 高三数学 第 6 页 共 8 页 19.（本题共 15分）设 1F， 2F 分别为椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xE 的左、右焦点，点 ) 2 3,1(P 在椭圆E上， 且点 P和 1F关于点 )4 3,0(C 对称. （Ⅰ）求椭圆 E的方程； （Ⅱ）过右焦点 2F 的直线 l与椭圆相交于 A，B两点，过点 P且平行于 AB的直线与椭圆交于另一点Q，问 是否存在直线 l，使得四边形 PABQ的对角线互相平分？若存在，求出 l的方程；若不存在，说明理由. 高三数学 第 7 页 共 8 页 20.（本题共 15分）己知函数 ( ) ln( )f x a x  . （Ⅰ）当 2a  时，求 ( )f x 在 1x  处的切线的倾斜角； （Ⅱ）若 0x  是函数 ( ) ( )g x xf x 的极值点， （i）求实数 a的值； （ii）设函数 ( )( ) ( ) x f xF x xf x   ．证明： ( ) 1F x  ． 高三数学 第 8 页 共 8 页 21. （本题共 15分）若无穷数列 na 满足：只要  ,p qa a p q  N ，必有 1 1p qa a  ，则称 na 具有 性质 P . （Ⅰ）若 na 具有性质 P，且 1 1a  ， 2 2a  ， 4 3a  ， 5 2a  ， 6 7 8 21a a a   ，求 3a ； （Ⅱ）若无穷数列 nb 是等差数列，无穷数列 nc 是公比为正数的等比数列， 1 5 1b c  ， 5 1 81b c  ， n n na b c  ，判断 na 是否具有性质 P，并说明理由； （Ⅲ）设 nb 是无穷数列，已知  1 sinn n na b a n    N .求证：“对任意 1a ， na 都具有性质P ”的充 要条件为“ nb 是常数列”.