北京市第一六一中学2024-2025学年高三下学期热身阶段测试数学试题

北京市第一六一中学2024-2025学年高三下学期热身阶段测试数学试题 班级_______________姓名_______________学号_______________ 考生须知：1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟. 2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答. 4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. i D. -i 3. 下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 8. 已知为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 10. 在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为；乙校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为，对于此次测试，给出下列三个结论： ①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率； ②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率； ③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中正确结论的个数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 已知函数，若，则_____________. 12. 在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答） 13. 设函数，则函数的最小正周期为____；若对于任意，都有成立，则实数的最小值为____． 14. 正四面体ABCD中，棱长为4，则此四面体的表面积为___________；点为BD中点，过的截面与棱AB平行，点在截面上，若到棱AB和棱CD的距离都为，则的一个取值为_________. 15. 曲线是平面内到原点的距离与到直线的距离的乘积等于常数（）的点的轨迹. 给出下列四个结论： ①曲线过点； ②曲线关于轴对称； ③曲线存在渐近线； ④曲线与被轴截得的弦长大于. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题：本大题共6题，共85分.把答案填在答题纸中相应的位置上. 16. 如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 17. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值． 条件①:，边上中线的长为； 条件②:，的面积为6； 条件③:，边上的高的长为2． 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量，实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）： 酵母菌类型 该酯类化合物的含量（μg/L） A型 X 2747 2688 X X 2817 2679 X 2692 2721 B型 1151 X 1308 X 994 X X X 1002 X C型 2240 X X 2340 2318 X 2519 2162 X X 根据发酵液中该酯类化合物的含量t（μg/L）是否超过某一值来评定其品质，其标准如下： 酵母菌类型 品质高 品质普通 A型 B型 C型 假设用频率估计概率 （1）从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率； （2）设事件D为“从样本含A型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率； （3）设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率与（2）中事件D发生的概率的大小.（结论不要求证明） 19. 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由. 20. 已知函数． （1）当时，求在处的切线的倾斜角； （2）若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 21. 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质. （1）若具有性质，且，，求； （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由； （3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”. 北京市第一六一中学2024-2025学年高三下学期热身阶段测试数学试题 班级_______________姓名_______________学号_______________ 考生须知：1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟. 2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答. 4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 【11题答案】 【答案】4 【12题答案】 【答案】 ①. 6 ②. 135 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，在区间中即可） 【15题答案】 【答案】②③④ 三、解答题：本大题共6题，共85分.把答案填在答题纸中相应的位置上. 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）（ii） 【17题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在直线为满足题意，详见解析 【20题答案】 【答案】（1）； （2）（i）1；（ii），则且， 当时，，此时，即证， 当时，，此时，即证， 综上，只需证明在且上恒成立， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 【21题答案】 【答案】（1）．（2）不具有性质，理由：的公差为，的公比为， 所以，． ． ，但，，， 所以不具有性质． （3）证明：充分性： 当为常数列时，． 对任意给定的，只要，则由，必有． 充分性得证． 必要性： 用反证法证明．假设不是常数列，则存在， 使得，而． 下面证明存在满足的，使得，但． 设，取，使得，则 ，，故存在使得． 取，因为（），所以， 依此类推，得． 但，即． 所以不具有性质，矛盾． 必要性得证． 综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $