精品解析：甘肃白银市2026年九年级毕业会考综合练习数学试卷

白银市2026年九年级毕业会考综合练习 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 年，白银市计划粮食产量稳定在吨以上．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是由5个完全相同的小正方体组成的一个立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，已知直线与直线都相交．若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为，表示“开阳”的点坐标为，则表示“天权”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 某特产食品销售店今年1—4月的销售总额如图1，其中甘肃奶油杏肉的销售额占当月食品销售总额的百分比如图2．根据图中信息作如下推断，其中不合理的是（ ） A. 这4个月，食品销售总额为290万元 B. 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升 C. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最低的是2月份 D. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元 10. 如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4.4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：________________． 12. 正八边形的内角和等于_____． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 14. 如图，在中，，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点处，则的度数为_____． 15. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______cm． 16. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则第10个图形中右下方的“三角形数”中的所有点数是_____． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解不等式组：． 20. 欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A； ②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R； ③连接，则是的切线． （1）按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． （2）若的半径是2，的半径是，求的长． 21. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题． 实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角，楼顶D的仰角； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据：，，，） 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 我国在《黄帝内经》以及《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．） 【数据的收集与整理】 20名同学听音乐前频数分布表 心率x（次/分） 频数 5 5 4 a 各组平均心率（次分） 64 75 86 95 这20名同学听音乐时的心率在B组的是：71，71，73，74，74，76． 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 b 78 听音乐时 73 c 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______；______；______； （2）请你结合上表中的两种统计量分析节奏舒缓的音乐对心率的影响； （3）下午在学校的阶梯教室有本年级的100名同学参加这项课题研究，如果该小组在活动时播放该音乐，请估计心率在A组的同学人数． 24. 如图，点B和是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 25. 如图，内接于，是的直径，点在上，C是的中点，，垂足为，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）当的直径为，时，求的长． 26. 已知正方形和等腰直角，，连接，． （1）【问题发现】如图1，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； （2）【问题探究】将绕点逆时针旋转（如图2），连接，，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，再将绕点顺时针旋转至，连接，探究线段与线段的数量关系及位置关系，并说明理由． 27. 如图，抛物线交轴于和两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，是的中点，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点，过点作于点，与轴交于点，求线段的长； （3）如图2，连接，当为的中点时，点在轴上，在的右侧作平行四边形．连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市2026年九年级毕业会考综合练习 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个正数的平方等于，那么叫作的算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可；本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根是正数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是； 故选：B． 2. 年，白银市计划粮食产量稳定在吨以上．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中要求，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：对于，将小数点向左移动位得到，满足要求，则， ． 3. 如图，这是由5个完全相同的小正方体组成的一个立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：题中立体图形的俯视图为． 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是关键． 根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：B ． 5. 如图，已知直线与直线都相交．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ， ， ． 6. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先变形方程统一分母形式，确定最简公分母后，给方程两边同乘最简公分母消去分母，整理后对比选项得到结果． 【详解】解：， ∴原方程可变形为， 给方程两边同时乘以最简公分母，得： ， 整理右边得：． 7. 如图，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的半径相等、等边三角形的判定与性质得到是等边三角形，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：在中，，，则是等边三角形， ， ， ． 8. 如图是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为，表示“开阳”的点坐标为，则表示“天权”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置． 根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为． 故选：A． 9. 某特产食品销售店今年1—4月的销售总额如图1，其中甘肃奶油杏肉的销售额占当月食品销售总额的百分比如图2．根据图中信息作如下推断，其中不合理的是（ ） A. 这4个月，食品销售总额为290万元 B. 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升 C. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最低的是2月份 D. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、折线统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否合理，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 从1月到4月，食品销售总额为：（万元）， 故选项A不符合题意； 甘肃奶油杏肉4月份的销售额为：（万元）， 3月份的销售额为：（万元）， 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升，故选项B不符合题意； 这4个月中，甘肃奶油杏肉：1月份是（万元）， 2月份是（万元）， 3月份是万元， 4月份是万元， 故这4个月中，甘肃奶油杏肉售额最低的是3月，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元，故选项C符合题意；故选项D不符合题意； 故选：C． 10. 如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，连接， 根据图2知：当点与点重合时，， 当与重合时，， ， ， 当点到达点时，， ， ． 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式5，再利用平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 正八边形的内角和等于_____． 【答案】##1080度 【解析】 【分析】边形的内角和为，据此列式求解即可． 【详解】解：， ∴正八边形的内角和等于． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． 14. 如图，在中，，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点处，则的度数为_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．先根据三角形内角和求出的度数，再利用折叠性质得到的度数，最后根据三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：在中，，， ． 由折叠可知，． ． 故答案为：． 15. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 故答案为：． 16. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则第10个图形中右下方的“三角形数”中的所有点数是_____． 【答案】66． 【解析】 【分析】题目中“三角形”数的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件∶从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，可得出最后结果． 【详解】第四个：25=10+15 第五个：36=15+21 第六个：49=21+28 第七个：64=28+36 第八个：81=36+45 第九个：100=45+55 第十个：121=55+66 故答案为：66 【点睛】此题考查的是规律题，从序号和等式之间找到规律是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂和算术平方根，最后计算有理数加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；4 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果即可． 【详解】解：原式 当时，原式 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 20. 欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A； ②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R； ③连接，则是的切线． （1）按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． （2）若的半径是2，的半径是，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，作圆，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，正确理解题意作出对应的图形是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）如图所示，连接，可得，再利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解；如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴． 21. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 【答案】（1） （2）两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率，掌握好用画树状图或列表法计算概率是解题关键． （1）根据概念计算公式进行求解即可； （2）先将所有可能结果用表格形式列出，根据表格计算概率． 【小问1详解】 解：小明从四张邮票中随机抽取一张，抽中是（寒露）的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二次 第一次 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的结果有7种， ∴两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为． 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题． 实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角，楼顶D的仰角； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据：，，，） 【答案】两幢楼楼顶B，D之间的距离约为米 【解析】 【分析】过点B作于点G．根据矩形的判定和性质，解直角三角形的知识解答即可． 本题考查了仰角的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握仰角的计算是解题的关键． 【详解】解：过点B作于点G． 依题意，得米，米， 米． 在中，， 米， 米． 在中，，米， 米， （米）． 在中，（米）， 两幢楼楼顶B，D之间的距离约为米． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 我国在《黄帝内经》以及《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．） 【数据的收集与整理】 20名同学听音乐前频数分布表 心率x（次/分） 频数 5 5 4 a 各组平均心率（次分） 64 75 86 95 这20名同学听音乐时的心率在B组的是：71，71，73，74，74，76． 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 b 78 听音乐时 73 c 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______；______；______； （2）请你结合上表中的两种统计量分析节奏舒缓的音乐对心率的影响； （3）下午在学校的阶梯教室有本年级的100名同学参加这项课题研究，如果该小组在活动时播放该音乐，请估计心率在A组的同学人数． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3）心率在A组的同学人数为人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，平均数，中位数，用样本估计总体，熟知上述概念是解题的关键． （1）根据平均数，中位数的定义即可解答； （2）根据方差，平均数，中位数做出判断即可； （3）利用样本估计总体即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：从平均数看：听音乐前的平均数，听音乐时的平均数是，所以节奏舒缓的音乐能使心率降低； 从中位数看：听音乐前的中位数是，听音乐时的中位数是，所以节奏舒缓的音乐能使心率降低； 从方差看：听音乐前的方差是，听音乐时的方差是，方差变小，所以节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定； 【小问3详解】 解：人， 答：心率在A组的同学人数为人． 24. 如图，点B和是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】此题考查反比例函数和一次函数的交点问题，正确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，求出点，将代入即可求出，得到一次函数解析式； （2）求出点，点，点E的坐标为，根据三角形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6，则， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得： ，则； ∴直线解析式为； 【小问2详解】 ∵，轴， ∴点， 在中， 当时，， 则点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 25. 如图，内接于，是的直径，点在上，C是的中点，，垂足为，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）当的直径为，时，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等弧对等角即等边对等角，等量代换确定，再由平行线判定与性质得到，即可得证； （2）连接，交于点，由直径所对的圆周角是直角，再结合已知条件判定四边形是矩形，然后由等弧所对的弦相等求出，再由勾股定理求出，然后由三角形中位线的判定与性质得到相关线段长度，最后在中由勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点，如图所示： 是的直径， ， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 26. 已知正方形和等腰直角，，连接，． （1）【问题发现】如图1，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； （2）【问题探究】将绕点逆时针旋转（如图2），连接，，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，再将绕点顺时针旋转至，连接，探究线段与线段的数量关系及位置关系，并说明理由． 【答案】（1），．理由如下： 延长交于点，如图所示： 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ； （2），．理由如下： 延长交于点，交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ，， 又， ，即； （3），．理由如下： 延长交于点，如图所示： 由（2）知，， ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，． 【解析】 【分析】（1）延长交于点，由等腰直角三角形、正方形性质得到相关边和角度关系，进而判定，进而由全等性质、直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理求解即可； （2）延长交于点，交于点，由等腰直角三角形、正方形性质得到相关边和角度关系，进而判定，进而由全等性质求解即可； （3）由（2）求得的相关边及相关角度等量关系，得出，且，最后由平行四边形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 如图，抛物线交轴于和两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，是的中点，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点，过点作于点，与轴交于点，求线段的长； （3）如图2，连接，当为的中点时，点在轴上，在的右侧作平行四边形．连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先由（1）中表达式得出顶点坐标及与轴交点坐标，由中点坐标公式求出点，得出相关线段长度及角度关系，求出后，代入求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，以，为邻边构造平行四边形，由动点最值问题的将军饮马模型及造桥方法，利用平移得到，由两点之间距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得，解得， ； 【小问2详解】 解：由可知顶点，与轴交点为，， 是的中点， ， ，， ，， ，， ， ， 把代入中得，即， ； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，以，为邻边构造平行四边形，如图所示： ，则当且仅当，，三点共线时取等号， 为的中点， ， 由平移的性质可知点到点向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度，故点的坐标在点的基础上也向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度，即， ，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $