精品解析：甘肃省白银市第十一中学2026年九年级第二次诊断考试数学试题

白银市第十一中学2026年九年级第二次诊断考试 年级：九年级 科目：数学 （考生注意：本卷满分150分，考试时间为120分钟） 温馨提示：亲爱的的同学，请你沉着冷静，充满自信，认真审题，仔细答卷，祝你考出好成绩！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线天后达到了万，将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法的一般形式为，其中要求，为正整数，进行解答，即可． 【详解】解：万． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项等知识．根据运算法则计算后即得到答案． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. 与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 4. 如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，由菱形的性质可得，，．利用勾股定理可计算出，则，最后利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在直角中，， ∴， ∴． 5. 一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，对于一次函数（k为常数，），当的图象过一、二、三象限；当的图象过一、三、四象限；当的图象过一、二、四象限；当的图象过二、三、四象限；当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而增减小，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，四边形内接于，，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，三角形内角和定理， 首先求出，然后利用等边对等角，三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴，   故选：C． 7. 新郑红枣是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜“的盛赞．某生态示范园计划种植一批枣树，原计划总产值为万公斤，为满足市场需求，示范园决定改良枣树品种，改良后平均亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万公斤，种植亩数减了亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原来平均亩产量为x万公斤，则改良后平均亩产量是原来的万公斤，根据“总产量比原计划增加了万公斤，种植亩数减了亩”列出分式方程即可． 【详解】解：设原来平均亩产量为x万公斤，则改良后平均亩产量是原来的万公斤，则， 故选：A 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 8. 《孤独星球》曾公布亚洲十大最佳旅游地，甘肃荣登榜首．甘肃拥有着除海洋外所有的地貌，不仅承载着深厚的历史底蕴，更拥有着令人陶醉的山水风光，从孤寂空旷的大漠戈壁到连绵不绝的黄金沙丘，每一处都散发着独特的魅力，这也是甘肃能够跻身亚洲最佳旅行地前列的原因．下面的统计图反映了2018—2025年甘肃省国庆假期旅游人数的情况，根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ） A. 2025年甘肃省国庆假期旅游人数最高 B. 2022年甘肃省国庆假期旅游人数最低 C. 2023—2025年甘肃省国庆假期旅游人数持续增加 D. 从2023年开始甘肃省国庆假期旅游人数突破2000万 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形统计图的意义解答即可 【详解】解：选项A：所有年份中2025年的旅游人数2973万最高，结论正确； 选项B：所有年份中2022年的旅游人数909万最低，结论正确； 选项C：2023年2480万年2621万年2973万，人数持续增加，结论正确； 选项D：2019年甘肃省国庆假期旅游人数已经达到2150万，早已经突破2000万，因此该结论错误 9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质推出，，再利用角的和差和对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图1，动点从矩形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当点在上运动时，该一次函数解析式为：，当点运动在时，随着的增加而减小，直到点在停止运动． 【详解】由图象和运动轨迹分析可得， ， 点在停止运动时， 所以, 当点P运动到中点时, , ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，原式先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 把二次函数先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数平移的规律：上加下减，左加右减．根据函数平移的规律上加下减，左加右减直接代入即可得到答案； 【详解】解：∵二次函数的图像先向右平移2个单位．再向下平移3个单位， ∴解析式为， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 14. 自行车是绿色环保的交通工具，图是某自行车的传动结构．图是该结构的示意图，其中的半径是厘米．的半径是厘米，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式可知旋转周，转动的长度是，因为转动的长度与转动的长度相等，可列方程：，解方程即可求出的值． 【详解】解：旋转周，转动的长度是， 根据题意可得：， 解得：． 故答案为：． 15. 发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从到，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率与电流的图象如图3所示．若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的运用，根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数的解析式为，代入计算可得解析式，再把时，代入解析式计算即可． 【详解】解：根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 二次函数图象经过， ， 故答案为：． 16. 如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…，如此继续下去得到四边形．则四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后根据矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，得到四边形的面积变化规律求解即可． 【详解】解：连接，设， ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ，，， ， ∴四边形是平行四边形； ， ， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理可得：， ∴四边形是菱形． 连接， ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可求：， ∴， …， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角的三角函数值、零指数幂，立方根，负整数指数幂，再进行加减计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂，立方根，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20. 用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． （1）动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． （2）推理计算：若的半径为1，则的长度为 ． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图图应用与设计，垂直平分线的定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据题干中的步骤作图即可； （2）连接，由垂直平分，求得，由勾股定理求得，再解直角三角形求得，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，利用弧长公式即可求得的长． 【小问1详解】 解：如图所示，七边形为所要作的正七边形； 【小问2详解】 连接， ∵垂直平分的半径为1， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 的长． 故答案为：． 21. 在2026年中央广播电视总台春节联欢晚会上，A，B，C，D四家公司的机器人组团登台，参与了多个节目的表演，展示了人形机器人、四足机器人等多种形态的“具身智能”技术．某校想从这四家公司中挑选一家公司租赁机器人在校庆活动中为师生表演节目． （1）学校租赁到A公司机器人的概率为_____； （2）若学校的分部也需要租赁机器人，请用画树状图或列表的方法，求出该学校和分部租到不同公司机器人的概率（每家公司的机器人被租到的可能性一样大）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式，根据总结果数和符合要求的结果数计算概率； （2）用列表法列出所有等可能结果，数出符合“租到不同公司”的结果数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：学校从A，B，C，D共4家公司中挑选1家，所有等可能的结果共有4种，租赁到A公司机器人的结果只有1种． 因此租赁到A公司机器人的概率为． 【小问2详解】 解：列表如下， A B C D A B C D 由表可得，所有等可能的结果共有16种，其中学校和分部租到不同公司机器人的结果有12种． 因此该学校和分部租到不同公司机器人的概率为． 22. 光伏产业对于优化能源结构、推动绿色发展意义重大．某能源部门在某地安装了一批光伏发电板，如图1，某校实践活动小组对其中一块光伏发电板的支架高度进行了测量，图2为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为18m，斜坡的坡角为55°，在斜坡顶部处测得光伏发电板顶端点的仰角为25°，坡底与支架的距离． （1）求斜坡顶部到坡底水平面的垂直高度； （2）求该光伏发电板支架的高度（结果精确到个位）． （参考数据：，，，，） 【答案】（1）14.76米 （2）31米 【解析】 【分析】（1）过点D作于点F，作于点，利用正弦的定义求解即可；（2）证明四边形为矩形，求出，在中，利用三角函数求解即可； 【小问1详解】 如图，过点D作于点F，作于点H． 由题意得米，， 在中， ， （米）． 答：斜坡顶部D到坡底水平面的垂直高度为14.76米． 【小问2详解】 在中， ， （米）， ，，， 四边形为矩形， ，米， （米）， 米， 在中， ， （米）， （米）． 答：该光伏发电板支架AB的高度约为31米． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. “逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”的成功举办，标志着我国载人航天工程正式进入空间站应用与发展阶段．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取m名学生进行测试，并对成绩(满分：100分)进行整理、描述和分析，将成绩划分为A(90≤x≤100)，B(80≤x<90)，C(70≤x<80)，D(60≤x<70)四个等级，并绘制出下列不完整的统计图． 其中 B 等级的成绩数据(单位∶分)∶80，86，80，82，85，88，86，89，81，86． 根据以上信息，回答下列问题． （1）抽取的总人数m= ，并补全条形统计图． （2）在所抽取的m名学生的测试成绩中，中位数是 分，B等级的众数是 分． （3）若该中学共有 3000名学生，且全部参加这次测试，请估计学生的测试成绩不低于 80分的总人数． 【答案】（1）， （2）， （3）名 【解析】 【分析】本题考查了从统计图提取信息，中位数的定义，样本估计总体等知识，掌握相关定义，准确提取信息并进行准确计算是解题的关键． （1）由图得等级B有人，占，可求m，从而可求C等级的人数，即可求解； （2）把数据按从小到大排列后，中间两个数是，可求中位数，由图可得A和B等级的人数，从而可求； （3）由图可得等级A和B等级的人数，可求所占百分比，乘以总人数，从而可进行估算． 【小问1详解】 解：人， 等级的人数：(人)， 补全条形统计图如图： 故答案为: ，； 【小问2详解】 把B 等级数据按从小到大排列为， 中间两个数是、， ∴中位数是 ； 在这组数据里分的最多， ∴众数为， 故答案为:，； 【小问3详解】 解：名， 答：估计学生的测试成绩不低于 80分的总人数为名． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求反比例函数、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设，则，表示出，，结合得出，求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得，解得， 一次函数的解析式为， 把点代入，得， ∴ 把点代入，得， 反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 解：把代入，得， ， 设，则， ，， ， ， 或， 或． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，因为于点E，所以，即可证明是的切线； （2）由，得，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则的半径长为3． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E，交的延长线于点F， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的半径长为3． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 26. 【模型建立】 （1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）10或26． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由可知，再利用证明，得到，然后结合勾股定理即可得出结论； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，利用证明，得到，再根据勾股定理即可得出结论； （3）延长到点，使，连接，易得是等腰直角三角形，利用证明，得到，因此得到是等腰直角三角形，进而可求出，故．如解图3，过点A作交于点E，利用证明，得到，由勾股定理得，所以，进而可得． 【详解】解：（1）．理由如下： 由题意，得与均为等腰直角三角形， ，由勾股定理得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2）．理由如下： 如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，． ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如解图2，延长到点，使，连接． ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ， ， ， ， ． 如解图3，过点A作交于点E，则． ， ． ， ． 又， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的面积为10或26． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】（1） （2）①，②5 【解析】 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【小问1详解】 解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． 【小问2详解】 解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市第十一中学2026年九年级第二次诊断考试 年级：九年级 科目：数学 （考生注意：本卷满分150分，考试时间为120分钟） 温馨提示：亲爱的的同学，请你沉着冷静，充满自信，认真审题，仔细答卷，祝你考出好成绩！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线天后达到了万，将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（ ）． A. B. C. D. 5. 一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 新郑红枣是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜“的盛赞．某生态示范园计划种植一批枣树，原计划总产值为万公斤，为满足市场需求，示范园决定改良枣树品种，改良后平均亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万公斤，种植亩数减了亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 《孤独星球》曾公布亚洲十大最佳旅游地，甘肃荣登榜首．甘肃拥有着除海洋外所有的地貌，不仅承载着深厚的历史底蕴，更拥有着令人陶醉的山水风光，从孤寂空旷的大漠戈壁到连绵不绝的黄金沙丘，每一处都散发着独特的魅力，这也是甘肃能够跻身亚洲最佳旅行地前列的原因．下面的统计图反映了2018—2025年甘肃省国庆假期旅游人数的情况，根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ） A. 2025年甘肃省国庆假期旅游人数最高 B. 2022年甘肃省国庆假期旅游人数最低 C. 2023—2025年甘肃省国庆假期旅游人数持续增加 D. 从2023年开始甘肃省国庆假期旅游人数突破2000万 9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点从矩形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解___________． 12. 把二次函数先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后解析式为__________． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14. 自行车是绿色环保的交通工具，图是某自行车的传动结构．图是该结构的示意图，其中的半径是厘米．的半径是厘米，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则的值为___________． 15. 发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从到，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率与电流的图象如图3所示．若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为，则m的值为______． 16. 如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…，如此继续下去得到四边形．则四边形的面积是______． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． （1）动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． （2）推理计算：若的半径为1，则的长度为 ． 21. 在2026年中央广播电视总台春节联欢晚会上，A，B，C，D四家公司的机器人组团登台，参与了多个节目的表演，展示了人形机器人、四足机器人等多种形态的“具身智能”技术．某校想从这四家公司中挑选一家公司租赁机器人在校庆活动中为师生表演节目． （1）学校租赁到A公司机器人的概率为_____； （2）若学校的分部也需要租赁机器人，请用画树状图或列表的方法，求出该学校和分部租到不同公司机器人的概率（每家公司的机器人被租到的可能性一样大）． 22. 光伏产业对于优化能源结构、推动绿色发展意义重大．某能源部门在某地安装了一批光伏发电板，如图1，某校实践活动小组对其中一块光伏发电板的支架高度进行了测量，图2为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为18m，斜坡的坡角为55°，在斜坡顶部处测得光伏发电板顶端点的仰角为25°，坡底与支架的距离． （1）求斜坡顶部到坡底水平面的垂直高度； （2）求该光伏发电板支架的高度（结果精确到个位）． （参考数据：，，，，） 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. “逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”的成功举办，标志着我国载人航天工程正式进入空间站应用与发展阶段．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取m名学生进行测试，并对成绩(满分：100分)进行整理、描述和分析，将成绩划分为A(90≤x≤100)，B(80≤x<90)，C(70≤x<80)，D(60≤x<70)四个等级，并绘制出下列不完整的统计图． 其中 B 等级的成绩数据(单位∶分)∶80，86，80，82，85，88，86，89，81，86． 根据以上信息，回答下列问题． （1）抽取的总人数m= ，并补全条形统计图． （2）在所抽取的m名学生的测试成绩中，中位数是 分，B等级的众数是 分． （3）若该中学共有 3000名学生，且全部参加这次测试，请估计学生的测试成绩不低于 80分的总人数． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 【模型建立】 （1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $