6.2.4第1课时　向量数量积的概念课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的概念、性质及运算律，从物理功的实例导入，先明确向量夹角定义，再引出数量积定义，通过过关自诊巩固基础，为后续几何图形计算、模与夹角等重难探究搭建学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察物理实例建立概念，通过数学思维设计不同角度例题（如平行四边形中数量积、模的最值）培养推理与运算能力，用数学语言精准表述性质与运算律。帮助学生深化理解，教师可依此提升教学效率。

第六章　平面向量及其应用 6.2.4　向量的数量积 第1课时　向量数量积的概念 【课标要求】 1.通过物理中功的实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.了解平面向量的运算性质及其几何意义. 3.通过数量积及其几何意义的探究,体会数形结合、一般与特殊等数学方法. 基础落实•必备知识全过关 知识点一　向量数量积的定义 1.向量a与向量b的夹角 (1)夹角的定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则　　　　　　=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.   (2)显然,当θ=0时,a与b　　　　;当θ=π时,a与b　　　　.  (3)如果a与b的夹角是　　　　,我们说a与b垂直,记作　　　　　　.  确定a,b的夹角时,起点要重合,记作<a,b> ∠AOB 同向 反向 a⊥b 2.向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量____________　　　　　　　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作　 　　　,即 a·b=|a||b|cos θ. (2)零向量与任一向量的数量积为　　　　.  (3)向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. 在书写时不能用a×b或ab表示 |a||b|cos θ a·b 0 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在等边三角形ABC中,<>=60°.(　　) (2)两个向量夹角的取值范围是[0,π].(　　) (3)a·b=|a||b|.(　　) × × √ 2.两个向量的数量积是向量吗? 提示 两个向量的数量积是实数,可能大于0,可能小于0,也可能等于0. 知识点二　向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=　　　　　　　.  (2)a⊥b⇔　　　　　　　.  (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=　　　　__________或|a|=　　　　　　.  (4)由|cos θ≤1|,得|a·b|　　　|a||b|.  (5)cos θ=. |a|cos θ a·b=0 |a|2 ≤ 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a·b=0,则a与b中至少有一个是零向量.(　　) (2)若a·b>0,则a与b的夹角为锐角.(　　) (3)对于任意向量a,都有a·a=|a|2.(　　) × × √ 2.已知|a|=7,则a·a=　　　　　.  3.在△ABC中,=0,则△ABC为　　　　三角形.  直角 解析 a·a=|a|2=72=49. 49 知识点三　平面向量数量积的运算律 交换律 　　　　　　　  结合律 ____________________________________ 分配律 ____________________________________ 名师点睛 向量数量积的运算不适合约分,即a·b=a·c b=c. 　a·b=b·a (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) (a+b)·c=a·c+b·c 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)a·b-a·c=a·(b-c)=(b-c)·a.(　　) (2)若a·c=b·c(c为非零向量),则a=b.(　　) (3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. (　　) √ × √ 2.设a,b,c是向量,(a·b)c=a(b·c)一定成立吗? 提示 因为向量的数量积是实数,所以(a·b)c是与c共线的向量,同理,a(b·c)是与a共线的向量,而a与c的关系不确定,所以这个式子不一定成立. 重难探究•能力素养全提升 探究点一　求平面向量的数量积 角度1.数量积的简单计算 【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求: (1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b). 解 (1)a·b=|a||b|cos 120°=2×3×=-3. (2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5. (3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos 120°-3|b|2=8-15-27=-34. 规律方法　求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 变式训练1若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,且(a+2b)·(a-3b)=-72,则a的模为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.12 解析 由(a+2b)·(a-3b)=-72,得a2-a·b-6b2=-72, 即|a|2-4|a|cos 60°-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0, 解得|a|=6(负值舍去).故选C. C 角度2.几何图形中向量数量积的计算 【例2】 在▱ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°, 求:(1);(2). 解 (1)因为 ,且方向相同,所以的夹角是0°, 所以=||||·cos 0°=3×3×1=9. (2)因为的夹角为60°,所以的夹角为120°, 所以=||||·cos 120°=4×3×(-)=-6. 规律方法　求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π]; (2)分别求|a|和|b|; (3)求数量积,即a·b=|a||b|cos θ. 变式训练2已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为　　　　　.  1 解析 如图所示,根据平面向量的数量积的定义可得=||||cos θ. 由图可知,||·cos θ=||,因此=||2=1. 探究点二　向量模的相关问题 角度1.利用数量积求向量的模 【例3】 已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|=　　　　　.  5 解析 ∵|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4|a|2+4|a||b|cos 60°+|b|2=4×25+4×5×5×+25=175,∴|2a+b|=5. 规律方法　向量模的求解方法 根据数量积的定义a·a=|a||a|cos 0°=|a|2,得|a|=,这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量模的平方,再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再求其算术平方根即为|a+b|. 变式训练3已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,则|a-b|=　　　　　.  　 解析 所以a2+2a·b+b2=16. ① 因为|a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9, 代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3. 又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10, 所以|a-b|=10. 角度2.与模有关的最值问题 【例4】 若平面向量a,b,c满足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,则|b-c|的取值范围是(　　) A.[] B.[] C.[] D.[1,3] B 解析 |a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0, 可得a·c=b·c, 则|b-c|2=(b-c)2=b2-2b·c+c2=4+1-2a·c=5-2·1·1·cos<a,c> =5-2cos<a,c>∈[3,7], 可得|b-c|的取值范围是[]. 规律方法　向量模的最值问题的求法 涉及向量模的最值问题,一般是把模平方,利用平面向量的数量积运算,把问题转化为关于某个量的函数,进而求出最值.需要掌握向量模的一些简单几何意义:(1)|a|为正值,则说明当表示向量的有向线段的起点确定后,其终点在以起点为圆心,以|a|为半径的圆上运动;(2)若|a+b|=|a-b|,则有a⊥b;(3)若(a+b)·(a-b)=0,则|a|=|b|. 变式训练4若两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-kb|的最小值为 (　　) A. B. C.1 D. B 解析 ∵两个单位向量a,b的夹角为120°, ∴a·b=|a||b|cos 120°=-, ∴|a-kb|=.∴|a-kb|的最小值为. 探究点三　求向量的夹角 【例5】 已知向量a,b,|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°.若a+b与ta-b的夹角为钝角,则t取值范围为(　　) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1) D 解析 ∵a+b与ta-b的夹角为钝角, ∴(a+b)·(ta-b)=ta2-a·b+ta·b-b2<0, 又|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,∴t-1×1×cos 60°+1×1×cos 60°·t-1<0,即t-<0,解得t<1, 又a+b与ta-b不共线,∴t≠-1, ∴t的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,1).故选D. 规律方法　求向量夹角的方法 (1)几何法.借助图形求两个向量夹角时,首先要使两个向量起点重合,从而找到两个向量的夹角,然后再观察向量夹角与图形内角的关系,从而确定夹角大小. (2)代数法.向量a,b夹角的余弦值为cos<a,b>=. 变式训练5(1)已知非零向量a,b,则“两向量a,b数量积大于0”是“两向量a,b夹角是锐角”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若“a,b的夹角是锐角”,设夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ>0;当θ=0时,满足a·b=|a||b|cos θ>0,但a,b的夹角不是锐角.所以“两向量a,b数量积大于0”是“两向量a,b夹角是锐角”的必要不充分条件. A (2)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且|a-2b|=|a+4b|,则a,b的夹角为(　　) A. B. C. D. C 解析 由已知|a-2b|=|a+4b|可得a2-4·a·b+4b2=a2+8a·b+16b2, 即a·b+b2=0,a·b=-b2.又因为|a|=2|b|,所以cos<a,b>==-, 所以夹角为. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量数量积的定义. (2)向量数量积的性质. (3)向量数量积的运算律. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区: (1)向量夹角共起点. (2)夹角为锐角或钝角时,共线向量不满足. $