6.2.4向量的数量积（第1课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦向量的夹角与数量积定义，课堂导入从物理中力的合成、功的计算入手，类比数的运算提出向量相乘问题，通过问题链搭建从向量加减、数乘到数量积的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以物理背景为依托，用数学眼光抽象数量积概念，通过问题驱动和拓展探究培养数学思维，例题涵盖三角形、方程等情境。学生能提升抽象能力和推理意识，教师可利用结构化资源实施探究式教学，提高课堂效率。

6.2 平面向量的运算 第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量的夹角与数量积定义 复习引入 1. 由于数学中的向量源于物理中的矢量，使得向量理论具有丰富的物理背景，其中向量加法运算法则的物理背景是什么？ 2. 向量可以按法则进行加法、减法运算，并且向量的和与差仍是一个向量.类比数的运算，一个自然的问题是向量能否相乘？ 3.我们把││ │cos理解为向量与的乘积，因为它是一个数量，所以称之为数量积，记作，如何从数学的视角定义向量的夹角和数量积？ 1.  由于数学中的向量源于物理中的矢量，使得向量理论具有丰富的物理背景，其中向量加法运算法则的物理背景是什么？ 力、位移的合成. 2. 向量向量可以按法则进行加法、减法运算，并且向量的和与差仍是一个向量.类比数的运算，一个自然的问题是向量能否相乘？ 在物理中，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F对物体所做的功W的计算公式是什么？ 力和位移都是矢量，如果用向量分别替代力F和位移s，设向量的夹角为，则││ │cos是向量还是数量？ 数量 思考1 思考2 W= ││ │cos，期中是F与s的夹角. F s 3.我们把││ │cos理解为向量与的乘积，因为它是一个数量，所以称之为数量积，记作，如何从数学的视角定义向量的夹角和数量积？ 具体情况请大家阅读教材. 教材导学 阅读教材： 1. 向量 的夹角的含义及取值范围是什么？ 2.当非零向量的夹角=0，Π， 时，向量的位置关系分别如何？ 3.向量数量积的定义是什么？ 1.  向量 的夹角的含义及取值范围是什么？ 对于两个非零向量，作=， = ,则∠AOB=为向量的夹角，记作 . 7 2.当非零向量的夹角=0，Π， 时，向量的位置关系分别如何？ 当=0时， 同向， 当=Π时， 向， 当=时， 垂直，记作 8 3.向量数量积的定义是什么？ 设两个非零向量的，把数量││ │cos叫向量的数量积（或内积），记作， 即= ││ │cos： =0. 9 拓展探究 1.设非零向量的夹角为，则cos的计算公式是什么？ 2.设非零向量的夹角为，则的取值符号与的取值范围有什么关系？ 3.向量的数量积有什么几何意义？ 10 1.设非零向量的夹角为，则cos的计算公式是什么？ cos= . 11 2.设非零向量的夹角为，则的取值符号与的取值范围有什么关系？ (1) ＞0 0°≤＜90°； (2) =0 90°； (3) ＜0 90° ＜≤ 180°. 12 3.向量的数量积有什么几何意义？ 设非零向量的夹角为，作=， = , 则BM⊥OA，垂足为M. 若为锐角，则 =OA×OM； 若为钝角，则 =-OA×OM. A B o M A B M o 13 例1（多选）已知非零向量 满足 ，且││ = ││= │ ，则（ ）. A.向量的夹角为60° B.向量的夹角为60° C.向量的夹角为60° D.向量的夹角为120° 巩固应用 【解析】作向量 = , = , 则= . ││ = ││= │ ,则△ABC为正三角形.由图可知，向量， 的夹角都为60°， 的夹角为120°. ABD A B C 例2 在△ABC 中，已知=0, 4,求AB边的长. 解析: cosB=0，从而B=90°，即BA⊥BC， A B C AB•AC• cosA= . 由已知， =4. AB=2. 15 例3 在△ABC 中，AB=10,BC=6,CA=8,O为△ABC 的外心，求和的值. B A D C O 【解析】 + = ，则△ABC是以AB为斜边的Rt △， O是AB的中点. 由已知，AO=5,CA=8,cosA= + , 则• = - • = -│ │ • │ │ cosA=-8×5× =-32. 取BC的中点D,连接OD,则OD⊥BC,CD=3. = │ │ • │ │ cos∠OCB=CD×CB=3×6=18. 例4 已知为非零向量，且│ │=2 │ │，若关于x的方程+ │ │x+ •=0有实根，求向量的夹角的取值范围. . 【解析】据题意，△= -4 •0. 设向量的夹角为， 则-4 │ ││ │cos0. 又│ │=2 │ │≠0， 则4- 8 cos0，得cos≤ ， 小结 1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有相应的物理背景和几何意义，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是实数而不是向量. 2. 数量积的定义││ │cos是计算数量积的一个公式，但不只用于求数量积，它还有其它的一些运算功能，比如求向量的模，夹角等. 3. 在几何背景下求数量积，一般先利用向量的线性运算，使两个向量的起点相同，便于确定其夹角，或利用数量积的几何意义转化为求线段的长. 18 作业 《课时作业》 6.2.3 向量的数量积 第1课时 向量的夹角与数量积定义 $