6.2.4　向量的数量积（第2课时　向量数量积的应用）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦向量数量积的应用，核心知识点包括投影向量概念及利用数量积判断向量垂直。课堂导入通过回顾向量数量积公式，结合图示（如图①②的投影变换）引出投影向量定义，搭建从基础数量积到应用的学习支架。 其亮点在于以几何直观呈现投影向量意义（如过A、B作垂线得投影向量），通过逻辑推理（如例2用数量积为0证垂直）培养数学眼光与思维，采用公式法和数形结合（变式训练1结合三角形图形计算投影向量）。小结归纳方法，助力学生掌握应用，教师可提升教学效率。

第六章　平面向量及其应用 6.2.4　向量的数量积 第2课时　向量数量积的应用 【课标要求】 1.通过几何直观,了解投影向量的概念以及投影向量的意义. 2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 基础落实•必备知识全过关 知识点　向量a在向量b方向上的投影向量 1.如图①,设a,b是两个非零向量,=a,=b,我们考虑如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b　　　　,叫做向量a在向量b上的　　　　　.  投影 投影向量 2.如图②,我们可以在平面内任取一点O,作=a,=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,对于任意的θ∈[0,π],都有=|a|cos θ e. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)向量a在向量b上的投影向量与向量b平行.(　　) (2)向量a与向量b的数量积等于向量a与向量b在向量a上的投影向量的数量积.(　　) √ √ 2.若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　　.  3.若a·b=-6,|a|=8,与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为　　　　　. -e -e 解析 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e=3×cos 120°e=-e. 解析 向量b在向量a上的投影向量为·e=-e. 重难探究•能力素养全提升 探究点一　求向量的投影向量 【例1】 已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角θ为,则向量a在向量e上的投影向量是　　　　　;向量e在向量a上的投影向量是　　　　　.  -2e　 　-a 解析 向量a在向量e上的投影向量是|a|cos θ e=4cose=-2e.因为与向量a方向相同的单位向量为a,所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cos θ=cosa)=-a. 规律方法　向量a在向量b上的投影向量的求法 将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos θ e(θ为向量a与向量b的夹角,e是与b方向相同的单位向量,且e=)中计算即可. 变式训练1如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,点D是BC的中点,求: (1)上的投影向量; (2)上的投影向量. 解 如图,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠ABD=45°,BC=4. 又点D是BC的中点,所以AD⊥BC,BD=2. 延长AB到点E,则的夹角为∠DBE=180°-45°=135°. (1)上的投影向量是||cos 135°·=4×=-. (2)上的投影向量是||cos 135°·=2=-. 探究点二　利用数量积判断两个向量的垂直关系 【例2】 已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. B 解析 因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0, (a-b)·b=a·b-b·b=|a||b|cos θ-|b|2=2|b|2cos θ-|b|2=0,因为b≠0,所以|b|≠0, 故cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=. 规律方法　两个平面向量垂直 a⊥b⇔a·b=0. 变式训练2若非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值. 解 因为(a+2b)⊥(ka-b), 所以(a+2b)·(ka-b)=0, 即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,又|a|=|b|, 所以k|a|2+|a|2-2|a|2=0, 因为a≠0,所以|a|≠0, 化简可得k+-2=0,解得k=. 探究点三　平面向量数量积的综合应用 【例3】 已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　　　　.  　 解析 因为|a-b|=,所以a2-2a·b+b2=3,① 因为|a+b|=|2a-b|, 所以a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2, 化简得a2=2a·b,代入①得b2=3,|b|=. 变式训练3向量|a|=|b|=1,|c|=且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　　) A.- B.- C. D. 解析 因为a+b+c=0,所以a+b=-c, 即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+2a·b=2,所以a·b=0.如图,设=a,=b,=c, 由题知,OA=OB=1,OC=,△OAB是等腰直角三角形,AB边上的高OD=,AD=,所以CD=CO+OD=, tan∠ACD=,cos∠ACD=,a-c=,b-c=, 则cos<a-c,b-c>=cos∠ACB=cos 2∠ACD=2cos2∠ACD-1=2×-1=. D 本节要点归纳 1.知识清单: 投影向量公式. 2.方法归纳:数形结合、公式法. 3.常见误区:向量数量积不满足结合律. $