精品解析：2026年湖南省岳阳市汨罗市九年级第三次学情自测数学试题

2026湖南中考考前冲刺卷（二） 数学 （时量：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共三大题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是整数，是整数，是分数，都属于有理数，是无限不循环小数， ∴是无理数． 2. 我国著名科学家钱学森被誉为“中国航天之父”．为了纪念钱学森，中国科学院紫金山天文台将一颗距地球约亿公里的行星命名为“钱学森星”．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 523000000 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：“亿”用科学记数法表示为． 3. 山西的许多地方春节有剪纸贴窗花的传统民间习俗，剪纸的图案内容都取材于生活，来源于生活．下列剪纸作品中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称及中心对称图形的概念逐一进行分析即可，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：对选项A：，错误； 对选项B，等式不恒成立，错误； 对选项C： ，C正确； 对选项D： ，错误． 5. 在平行四边形中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等求解，即可解题． 解题关键是掌握平行四边形对角相等的性质． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，，， ∴ ． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上的表示，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和不等式的解集在数轴上的表示方法是解题的关键．先分别解两个不等式，再利用数轴表示即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为，且其在数轴上表示为： 故选：B． 7. 一次射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示．他这10次成绩的众数是（ ） A. 9.2环 B. 9环 C. 8.6环 D. 8环 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线统计图和众数的定义求解即可． 【详解】解：首先从折线图中提取10次射击成绩，依次为：（单位：环）， 统计各成绩的出现次数： 环共出现次，是所有成绩中出现次数最多的， 因此这10次成绩的众数是环． 8. 如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质及判别式和根的关系是解题的关键． 根据二次项系数a判定开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点个数有判别式决定，由以上进行判断即可． 【详解】解：由抛物线图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，对称轴为，即，， ，故①正确； 抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②错误； ， 点A的坐标为，代入解析式得， ∵，等式两边同时除以得，故③正确； 设，， 二次函数的图象与x轴交于A，B两点， 和是方程的两根， ， ， ，故④正确； 综上所述：正确的有①③④，共3个， 故选：B． 10. 为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照上面推理计算出的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，代数式的恒等变形，掌握错位相减法是解题关键． 令为所求的和，乘以后得到新式，用新式减去原式，消去中间项，即可化简求出． 【详解】解：令， 则， ∵， ∴， ∴． 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】先算算术平方根以及零指数幂，再算加法，即可． 【详解】解：， 故答案为3． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根以及零指数幂是解题的关键． 12. 现有四张正面分别写有汉字“马”，“年”，“快”，“乐”的卡片，卡片除正面汉字不同外，其余均相同．将四张卡片的背面朝上洗匀．若从中随机抽取一张卡片，则抽得的卡片是“乐”的概率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，共有4种等可能的结果，其中抽得的卡片是“乐”的情况只有1种， 故抽得的卡片是“乐”的概率为． 13. 如图，，的面积等于5，，，则的面积是___________． 【答案】20 【解析】 【分析】过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可求解． 【详解】解：过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴， ∵的面积等于5，，， ∴， ∴． 14. 一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形圆心角是________． 【答案】##140度 【解析】 【分析】设该扇形的圆心角为，根据扇形弧长计算公式，代入已知弧长和半径即可求解圆心角。 【详解】解：设此扇形的圆心角为，由题意得：，，根据弧长公式， 代入得：， 等式两边同除以， 得：， 化简得：， 解得：． 15. 如图，函数与的图象交于点，不等式的解集______． 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，从而确定交点的坐标，然后观察函数图象，找出直线在直线上方部分所对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵点 在函数 的图象上， ∴， 解得，  ∴交点的坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象的上方， ∴不等式的解集为． 16. 如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，线段的延长线交x轴于点C，．则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，过作轴于，过作轴于，则，得到，，代入对应线段长度解得，最后根据解方程即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，则， ∴， ∴， ∵A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，， ∴，， 设， ∴，，，，， ∴， 解得， ∴， ∵． ∴， 解得． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式的加减，再把除法转化为乘法，可得化简的结果，再把代入化简后的代数式即可． 【详解】解： 当时，原式 19. 为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．该年级随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据．现从这两个班级中分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息． 【数据收集】甲班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； 乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8 a 8 6 乙班 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________、___________； （2）小明对小刚说：“体育考试在即．每个班级按时间多少进行排名，运动时间更多者排名更靠前．虽然我俩的平均每周锻炼时长都是小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____________班的学生．（填“甲”或“乙”） （3）你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请写出理由． 【答案】（1） （2）甲 （3）乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由见解析 【解析】 【分析】（）根据中位数、众数的定义解答即可； （）根据中位数的意义即可判断求解； （）先求出甲班的方差，再根据中位数和方差的意义即可判断求解． 【小问1详解】 解：甲班数据由小到大排序为：， ∴中位数， ∵乙班条形图中，时长为小时的人数最多， ∴众数； 【小问2详解】 解：甲班中位数为，乙班中位数为，小明与小刚平均时长均为小时，在甲班中，说明小明在甲班排名前名；在乙班中，说明小刚在乙班排名后名，所以小明是甲班的学生； 【小问3详解】 解：乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由如下： 甲班方差， 乙班的中位数大于甲班的中位数，说明乙班有一半以上学生的锻炼时长超过小时，整体锻炼时长更长； 乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班学生的锻炼时长波动更小，数据更稳定，故乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好． 20. 如图，在中，，、分别是边、的中点，连结并延长到点，使，连结、、． （1）求证：四边形是菱形． （2）连结．若，，则的长为______． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合三角形中线定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推得，，再由垂直平分线的性质可得，四边形是菱形即可得证； （2）结合菱形性质可知，，再由中位线性质推得、由解直角三角形的计算推出，最后根据勾股定理即可得解． 【小问1详解】 证：、分别是边、的中点，， ，， ，， 即， ， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 则， ， 中，． 【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、线段垂直平分线的性质、菱形的性质与判定、解直角三角形的相关计算、勾股定理，解题关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 21. 为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个． （1）求A类餐盒的价格． （2）某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1） A类餐盒每个的价格为1元 （2） 购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元 【解析】 【分析】（1）设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个，结合题意列不等式得到，设总费用为，由此列式，结合一次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元， ∴， 解得，， 检验，当时，原方程有意义， ∴A类餐盒每个的价格为1元； 【小问2详解】 解：根据（1）的计算可知，B类餐盒每个的价格为元， 设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个， ∴， 解得，， 设总费用为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，最小值为（元）， ∴， ∴购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元． 22. 项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．蔡旭哲成为目前在舱外执行任务次数最多的中国航天员．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，． 任务1 （1）求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 （2）求的长．（结果精确到） 参考数据 【答案】（1）米；（2）米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，过点作于，在中，求得，在中，求得，最后求得的长即可； （2）在中，求得的长，在中，求得的长，最后求得的长． 【详解】解：（1）过点作于点，过点作于点，过点作于， 四边形，四边形都是矩形， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 答：机械臂端点到工作台的距离的长约为米． （2）在中，由勾股定理可知：， 则， 在中， ， ， ． 答：的长约为米． 23. 如图，已知在中，，，，如果点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为（单位：）（）．解答下列问题： （1）当为何值时，； （2）设的面积为（单位：），求关于的函数关系式； （3）在点P，Q的运动过程中，在同一平面内是否存在点D，使得以点A，P，Q，D为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，； （2）关于的函数关系式为； （3）的值为或或． 【解析】 【分析】（）由，，，根据勾股定理求得，当时，则，此时，由，且，得，求得； （）作于点，可证明，得，求得，即可由，求得关于的函数关系式为； （）分三种情况讨论，一是四边形是菱形，且以为对角线，作于点，则，可证明，得，求得，则；二是四边形是菱形，且以为对角线，则，所以；三是四边形是菱形，且以为对角线，作于点，则，可证明，得，求得，则，解方程求出相应的值即可. 【小问1详解】 解：如图， ∵，，， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴当时，； 【小问2详解】 解：如图，作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于的函数关系式为； 【小问3详解】 解：存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形， 如图，四边形是菱形，且以为对角线，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，四边形是菱形，且以为对角线，则， ∴， 解得； 如图，四边形是菱形，且以为对角线，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，的值为或或． 24. 已知，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． （1）若抛物线经过点，点B的坐标为_________； （2）若点，在抛物线上，且，求m的取值范围； （3）已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）求出，得到抛物线解析式为，即可求解； （2）把点，代入抛物线，根据题意得到，求解即可； （3）根据题意，分两种情况讨论分别求解即可． 【小问1详解】 解：①抛物线过点， ， ， 抛物线解析式为：， 抛物线与y轴交于点A坐标为， 当时，即， 解得：，， 点； 【小问2详解】 解：点，在抛物线上， ，， 当时，即， 即：， 解得：； 【小问3详解】 解：抛物线， 抛物线对称轴为，顶点为， 点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， 分以下两种情况讨论： ①当抛物线的顶点在线段上时，即：， 解得：； ②当抛物线顶点落在上方时，当时，， 当时，，，对称轴为， ， 抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， 与线段GH有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ． 解得：， 综上，a的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026湖南中考考前冲刺卷（二） 数学 （时量：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共三大题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 我国著名科学家钱学森被誉为“中国航天之父”．为了纪念钱学森，中国科学院紫金山天文台将一颗距地球约亿公里的行星命名为“钱学森星”．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 523000000 3. 山西的许多地方春节有剪纸贴窗花的传统民间习俗，剪纸的图案内容都取材于生活，来源于生活．下列剪纸作品中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一次射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示．他这10次成绩的众数是（ ） A. 9.2环 B. 9环 C. 8.6环 D. 8环 8. 如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照上面推理计算出的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 现有四张正面分别写有汉字“马”，“年”，“快”，“乐”的卡片，卡片除正面汉字不同外，其余均相同．将四张卡片的背面朝上洗匀．若从中随机抽取一张卡片，则抽得的卡片是“乐”的概率为_____． 13. 如图，，的面积等于5，，，则的面积是___________． 14. 一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形圆心角是________． 15. 如图，函数与的图象交于点，不等式的解集______． 16. 如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，线段的延长线交x轴于点C，．则k的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．该年级随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据．现从这两个班级中分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息． 【数据收集】甲班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； 乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8 a 8 6 乙班 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________、___________； （2）小明对小刚说：“体育考试在即．每个班级按时间多少进行排名，运动时间更多者排名更靠前．虽然我俩的平均每周锻炼时长都是小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____________班的学生．（填“甲”或“乙”） （3）你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请写出理由． 20. 如图，在中，，、分别是边、的中点，连结并延长到点，使，连结、、． （1）求证：四边形是菱形． （2）连结．若，，则的长为______． 21. 为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个． （1）求A类餐盒的价格． （2）某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 22. 项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．蔡旭哲成为目前在舱外执行任务次数最多的中国航天员．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，． 任务1 （1）求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 （2）求的长．（结果精确到） 参考数据 23. 如图，已知在中，，，，如果点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为（单位：）（）．解答下列问题： （1）当为何值时，； （2）设的面积为（单位：），求关于的函数关系式； （3）在点P，Q的运动过程中，在同一平面内是否存在点D，使得以点A，P，Q，D为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 24. 已知，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． （1）若抛物线经过点，点B的坐标为_________； （2）若点，在抛物线上，且，求m的取值范围； （3）已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），请直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $