专题05平行四边形性质与判定期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题05平行四边形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握平行四边形的定义，熟记平行四边形边、角、对角线全部性质。 2.熟练掌握平行四边形五种判定方法，分清性质与判定的区别。 3.理解平行四边形对角线平分、邻角互补、对边平行且相等相关知识点。 4.掌握平行线间距离的概念及其基本性质。 1.能灵活运用平行四边形性质，进行线段、角度的计算与证明。 2.能根据题干条件，选择合适判定定理，证明四边形为平行四边形。 3.培养几何识图能力、逻辑推理能力，规范几何证明书写步骤。 4.能解决平行四边形与三角形相结合的综合性几何题型。 1.基础题：熟练解决边长、周长、角度、对角线求值类选择填空题，零失误。 2.中档题：熟练掌握平行四边形常规证明题，解题格式规范、推理严谨。 3.提升题：掌握平行四边形动态题型、三角形结合题型的解题思路。 4.杜绝失分：区分性质与判定，避免定理混用、证明步骤跳步、书写不规范等常见扣分点。 题型01.平行四边形的性质求解 题型02.平行四边形的性质证明 题型03.求平行线间的距离 题型04.由平行线间距离解决问题 题型05.判断能否构成平行四边形 题型06.添条件成为平行四边形 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.平行四边形判定与性质求解 题型09.平行四边形判定与性质证明 题型10.平行四边形与角平分线综合 题型11.平行四边形与对角线综合 题型12.平行四边形与中位线综合 题型13.平行四边形与坐标系综合 题型14.平行四边形中的折叠问题 题型15.平行四边形中的最值问题 题型16,平行四边形中的动点问题 题型17.多结论判定问题 题型18.平行四边形存在性问题 知识点01:平行四边形 核心定义 1.定义双重作用 性质：若是平行四边形➯两组对边分别平行； 判定：两组对边分别平行 ➫这个四边形是平行四边形。 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 3.平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形的性质（必考，大题核心） 平行四边形的性质用于：已知是平行四边形，求边、角、线段 维度 性质 几何语言 图示 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 补充重要推论 1.平行四边形被一条对角线分成两个全等三角形； 2.平行四边形被两条对角线分成四对全等三角形； 3.两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形。 知识点03:平行四边形的判定（根据条件，证明四边形是平行四边形） 分类 判定定理 适用场景 定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 题目已知平行关系 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 题目已知线段相等 边（高频） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 考试最简便、使用率最高 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 已知角度条件 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 题干出现对角线 重点强调 一组对边平行，另一组对边相等，不能判定平行四边形！（易错陷阱，可能是等腰梯形） 知识点04:平行线之间的距离. 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做两条平行线间的距离。 2. 核心性质 (1)两条平行线间的距离处处相等； (2)夹在两条平行线间的平行线段相等； (3)等底等高的平行四边形，面积相等。 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点05:平行四边形常见模型（考试必考） 1.角平分线模型：平行四边形 + 内角平分线➫ 出现等腰三角形； 2.对角线模型：利用对角线互相平分，求线段取值范围； 3.中点模型：结合三角形中位线，求解边长、证明平行； 4.动点问题：根据边平行且相等，判定动态平行四边形。 知识点06:本章高频易错点 易错点 错误写法 正确内容 对称性 平行四边形是轴对称图形 仅中心对称，不是轴对称图形 判定误区 一组对边平行、一组对边相等判定平行四边形 此条件无法判定，可能是等腰梯形 对角线 认为对角线相等 平行四边形对角线只平分、不相等（矩形才相等） 角度计算 混淆对角、邻角关系 对角相等，邻角互补 证明格式 直接跳步，缺少条件 几何证明必须：条件齐全，步步有据 题型01.平行四边形的性质求解 1．如图，的面积是20，则图中的阴影部分面积是（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 2．如图，在中，，平分交于点E，则的度数为________度． 3．如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在平行四边形中，，，． (1)尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 题型02.平行四边形的性质证明 5．如图，在中，对角线、相交于点O；求证：． 6．如图，点、是内的两点，且点在点的左侧，连接、、、、、，，，求证：． 7．如图，在中，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的面积． 题型03.求平行线间的距离 8．如图，在中，，垂足分别为D，F，则与之间的距离是______的长． 9．如图，，为、的平分线的交点，于，且，，则与之间的距离等于_______． 10．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 11．几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 题型04.由平行线间距离解决问题 12．小南、小洛沿如图所示的路线过马路，若两人同时出发，且速度相同，则两人同时到达马路对面，依据是____________________． 13．如图，直线，点E，F在直线上（不与点C，D重合），且．若的面积为8，则的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 14．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，其坐标分别是，，，，若，，，且． (1)求的面积； (2)如图2，过点O分别作于点E，于点F，求证：O、E、F三点共线； (3)如图3，求证：． 题型05.判断能否构成平行四边形 15．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的为__________填序号． ①，；②，ADBC；③，；④ABCD，∠A=∠C． 16．四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 17．下面有四个命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题是（    ） A．④ B．③ C．②③ D．①④ 18．如图，已知是等边三角形，D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F时，，连接、和． (1)判断四边形是怎样的四边形，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 题型06.添条件成为平行四边形 19．如图，在中，点，在对角线上，添加一个适当的条件，使四边形是平行四边形，这个条件可以是__________．（填一个条件即可，不添加任何辅助线） 20．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 21．如图，已知，添加下面的条件，仍不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 22．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形． (1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：　 　（填一个序号即可） (2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形． 题型07.证明四边形是平行四边形 23．已知四边形中，于点于点．求证：四边形是平行四边形． . 24．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 25．如图，是的中线，，交于点，且． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，在（1）的条件下，，设对角线、交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 题型08.平行四边形判定与性质求解 26．如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 27．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，．    (1)求证：点E是中点； (2)若，，则的长为 ___． 题型09.平行四边形判定与性质证明 29．如图，在中，过对角线BD上一点P作，，则图中面积相等的平行四边形有______对． 30．如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点，分别连接，交对角线于点，，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 31．如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连结，，． (1)求证：． (2)当，且时． ①如图2，若， ，三点共线，求四边形的周长． ②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 题型10.平行四边形与角平分线综合 32．如图，的对角线，相交于点，平分交于点，点是的中点．连接，若，则的长为_______． 33．如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 35．如图，在平行四边形中，平分，交于点． (1)尺规作图：作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，若的长为_____（直接写出答案）． 题型11.平行四边形与对角线综合 36．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 37．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接，则的长为______． 38．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，，，，直线过点O，连接，交于点，连，的周长等于6，①；②；③；④．以上说法正确的为______（填序号）． 39．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为的中点，连接．求证：． 题型12.平行四边形与中位线综合 40．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则OB的长为_____ ． 41．如图，平行四边形中，，对角线交于点O，M、N分别是的中点，则_____，点P是上一点，且，点L是的中点，连接，交于E、F，若， 则_____． 42．如图，在四边形中，是对角线，点分别是边，的中点，依次连接．求证：四边形是平行四边形． 题型13.平行四边形与坐标系综合 43．某智能定位系统在平面直角坐标系中布设监测节点，平行四边形区域为数据采集覆盖范围．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B在y轴上．若点A，D的坐标分别为，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 44．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____． 45．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 46．已知平行四边形，如图，已知点的坐标为，其中，满足，与轴交点于点 (1)求点坐标； (2)如图，点、分别为轴，轴上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，过作轴交于点，求证：； (3)如图，等腰，，连接，取的中点，连接，，探究，的关系． 题型14.平行四边形中的折叠问题 47．在中，E为上一点，将沿折叠至处，与交于点F．若，则∠FEG度数为_____． 48．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰为等边三角形，则的长度为______． 49．如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 50．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为12，，直接写出线段的长． 题型15.平行四边形中的最值问题 51．如图，平行四边形的周长为24，点、分别是边、上的两个动点，若线段长的最大值为10，最小值为6，则平行四边形的面积为（    ） A．33 B．30 C． D． 52．如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 53．如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 54．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ (3)如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 题型16,平行四边形中的动点问题 55．如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 56．如图，平行四边形中，，，点E是对角线上一动点，点F是边上一动点，连接、，则的最小值是_____． 57．如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为________． 58．如图，在中，，．点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 59．如图，在中，，，E是所在直线上的动点，连接，将沿着对折，点A的对应点为． (1)当为等边三角形时，请判断和的位置关系： ； (2)如图2，当点E与点D重合时，恰好垂直，求重叠部分的面积； (3)若，当与平行四边形的边互相垂直时，求线段的长度． 题型17.多结论判定问题 60．已知直线及线段，点在直线上，点在直线外．如图所示， （1）在直线上取一点（不与点重合），连接； （2）以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（与点位于直线异侧）； （3）连接交于点，连接，． 根据以上作图过程及所作图形，在下列结论：①；②；③中，一定正确的是______（填写序号）． 61．如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 62．如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型18.平行四边形存在性问题 63．如图，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向D运动，点P从点B出发以的速度在线段间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值______． 64．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 65．在几何问题中我们经常应用勾股定理解决相关问题，其中会涉及到无理数的平方计算，相关计算公式为：和，例如：， 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，分别是边上的动点，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点向点运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为___________； (2)连接，交于点，过点作于，当___________时，三点在一条直线上； (3)当点运动到的中点时，在平面内找一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平行四边形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握平行四边形的定义，熟记平行四边形边、角、对角线全部性质。 2.熟练掌握平行四边形五种判定方法，分清性质与判定的区别。 3.理解平行四边形对角线平分、邻角互补、对边平行且相等相关知识点。 4.掌握平行线间距离的概念及其基本性质。 1.能灵活运用平行四边形性质，进行线段、角度的计算与证明。 2.能根据题干条件，选择合适判定定理，证明四边形为平行四边形。 3.培养几何识图能力、逻辑推理能力，规范几何证明书写步骤。 4.能解决平行四边形与三角形相结合的综合性几何题型。 1.基础题：熟练解决边长、周长、角度、对角线求值类选择填空题，零失误。 2.中档题：熟练掌握平行四边形常规证明题，解题格式规范、推理严谨。 3.提升题：掌握平行四边形动态题型、三角形结合题型的解题思路。 4.杜绝失分：区分性质与判定，避免定理混用、证明步骤跳步、书写不规范等常见扣分点。 题型01.平行四边形的性质求解 题型02.平行四边形的性质证明 题型03.求平行线间的距离 题型04.由平行线间距离解决问题 题型05.判断能否构成平行四边形 题型06.添条件成为平行四边形 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.平行四边形判定与性质求解 题型09.平行四边形判定与性质证明 题型10.平行四边形与角平分线综合 题型11.平行四边形与对角线综合 题型12.平行四边形与中位线综合 题型13.平行四边形与坐标系综合 题型14.平行四边形中的折叠问题 题型15.平行四边形中的最值问题 题型16,平行四边形中的动点问题 题型17.多结论判定问题 题型18.平行四边形存在性问题 知识点01:平行四边形 核心定义 1.定义双重作用 性质：若是平行四边形➯两组对边分别平行； 判定：两组对边分别平行 ➫这个四边形是平行四边形。 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 3.平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形的性质（必考，大题核心） 平行四边形的性质用于：已知是平行四边形，求边、角、线段 维度 性质 几何语言 图示 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 补充重要推论 1.平行四边形被一条对角线分成两个全等三角形； 2.平行四边形被两条对角线分成四对全等三角形； 3.两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形。 知识点03:平行四边形的判定（根据条件，证明四边形是平行四边形） 分类 判定定理 适用场景 定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 题目已知平行关系 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 题目已知线段相等 边（高频） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 考试最简便、使用率最高 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 已知角度条件 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 题干出现对角线 重点强调 一组对边平行，另一组对边相等，不能判定平行四边形！（易错陷阱，可能是等腰梯形） 知识点04:平行线之间的距离. 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做两条平行线间的距离。 2. 核心性质 (1)两条平行线间的距离处处相等； (2)夹在两条平行线间的平行线段相等； (3)等底等高的平行四边形，面积相等。 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点05:平行四边形常见模型（考试必考） 1.角平分线模型：平行四边形 + 内角平分线➫ 出现等腰三角形； 2.对角线模型：利用对角线互相平分，求线段取值范围； 3.中点模型：结合三角形中位线，求解边长、证明平行； 4.动点问题：根据边平行且相等，判定动态平行四边形。 知识点06:本章高频易错点 易错点 错误写法 正确内容 对称性 平行四边形是轴对称图形 仅中心对称，不是轴对称图形 判定误区 一组对边平行、一组对边相等判定平行四边形 此条件无法判定，可能是等腰梯形 对角线 认为对角线相等 平行四边形对角线只平分、不相等（矩形才相等） 角度计算 混淆对角、邻角关系 对角相等，邻角互补 证明格式 直接跳步，缺少条件 几何证明必须：条件齐全，步步有据 题型01.平行四边形的性质求解 1．如图，的面积是20，则图中的阴影部分面积是（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【分析】过点E作于点F，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵的面积是20， ∴， ∴． 即图中的阴影部分面积是10． 2．如图，在中，，平分交于点E，则的度数为________度． 【答案】140 【分析】根据平行四边形的性质得出，，再由平行线的性质确定，利用角平分线及三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ． ∵平分， ． ∵是的外角， ． 3．如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长、交于点M，结合平行线的性质和中点利用可证，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】解：如图，延长、交于点M， 在中，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 由现有条件无法证明，故③不一定正确， 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 4．如图，在平行四边形中，，，． (1)尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）以点为圆心，长为半径交于点，点即为所作； （2）由（1）的作法即可得解． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， 作，由作图知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点符合题意； （2）解：由（1）得． 题型02.平行四边形的性质证明 5．如图，在中，对角线、相交于点O；求证：． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质得到全等三角形的判定条件，通过证明三角形全等即可证得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 6．如图，点、是内的两点，且点在点的左侧，连接、、、、、，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知条件和平行四边形的性质证明，进而可得结论． 【详解】证明：， ，     ∵四边形是平行四边形， ， ， ，     在和中， ∵，，， ，     ． 7．如图，在中，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，所以，，则有，然后通过等边对等角得，得，从而求证； （）连接，先证明，所以，，由（）知，通过等腰三角形“三线合一”得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由（）知， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴ ． 题型03.求平行线间的距离 8．如图，在中，，垂足分别为D，F，则与之间的距离是______的长． 【答案】 【分析】本题主要考查平行间的距离，先证明，由可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴与之间的距离是的长, 故答案为：． 9．如图，，为、的平分线的交点，于，且，，则与之间的距离等于_______． 【答案】18 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线之间的距离，关键是由角平分线的性质推出，．过作于，交于，推出，由角平分线的性质推出，，因此，即可得到与之间的距离． 【详解】解：过作于，交于， ， ， 平分，， ， 同理：， ， 与之间的距离等于18． 故答案为：18． 10．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 11．几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线间的距离，运用等积法求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以平行线与之间的距离为． 题型04.由平行线间距离解决问题 12．小南、小洛沿如图所示的路线过马路，若两人同时出发，且速度相同，则两人同时到达马路对面，依据是____________________． 【答案】两条平行线之间的距离相等 【分析】马路的两侧可看作一组互相平行的直线，小南和小洛的行走路线都是两条平行线间的垂线段，也就是平行线之间的距离；根据平行线的性质：平行线之间的距离处处相等，可得两人行走的路程相等，又因为两人速度相同、同时出发，因此会同时到达马路对面． 【详解】解：略 13．如图，直线，点E，F在直线上（不与点C，D重合），且．若的面积为8，则的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过点A作与点G，再根据同高等底进行求解即可． 【详解】解：如图，过点A作与点G， ∵， ∴是的高， ∵，且， ∴， ∵， 又∵， ∴的面积是8． 14．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，其坐标分别是，，，，若，，，且． (1)求的面积； (2)如图2，过点O分别作于点E，于点F，求证：O、E、F三点共线； (3)如图3，求证：． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）首先解方程组求出，得到，，然后利用三角形面积公式求解； （2）首先证明，然后由，即可得到O，E，F三点共线； （3）如图，连接，，由得到，得到，然后代入化简即可． 【详解】（1）解：∵ 解得： ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴ ∵于点E，于点F ∴O，E，F三点共线； （3）解：如图，连接， ∵，，，， ∴，，， 由（2）得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 题型05.判断能否构成平行四边形 15．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的为__________填序号． ①，；②，ADBC；③，；④ABCD，∠A=∠C． 【答案】③ 【分析】根据所给条件结合平行四边形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：①AB＝CD，AD＝BC可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定； ②AD＝BC，ADBC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定； ③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形； ④ABCD，∠A＝∠C可证出∠B＝∠D，再根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定； 故答案为：③． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 16．四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； B、∵，， ∴，则 ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； D、当时，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 17．下面有四个命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题是（    ） A．④ B．③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定求解即可． 【详解】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形，故是假命题； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，故是假命题； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形不是平行四边形，故是假命题； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，真命题． 理由：如图，在四边形中，，． 假设四边形不是平行四边形，则， 不妨设，则在上取点E，使得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，这与矛盾， ∴假设的四边形不是平行四边形不成立，即四边形是平行四边形． 综上：正确的命题是④． 故选：A． 18．如图，已知是等边三角形，D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F时，，连接、和． (1)判断四边形是怎样的四边形，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见详解 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的判定和性质等． （1）等边三角形的三边相等，三个角也相等，根据等边三角形的性质能证明，，所以四边形是平行四边形． （2）过点作于点，可求出的长，面积可求． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ，且， 四边形是梯形． 过点作于点， ，， ， ，， ， ， ∴， ． 题型06.添条件成为平行四边形 19．如图，在中，点，在对角线上，添加一个适当的条件，使四边形是平行四边形，这个条件可以是__________．（填一个条件即可，不添加任何辅助线） 【答案】答案不唯一，如或 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 连接交于点，由平行四边形的性质可得到，要证明四边形为平行四边形，只需要即可，故添加的条件只要能证明即可． 【详解】 如图，连接交于点， 四边形为平行四边形， ，，若，则有，即， 四边形为平行四边形． 故答案为∶(答案不唯一)． 20．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在四边形中， ∴当时，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，故A符合题意． 当时，四边形可能是等腰梯形，故B不符合题意． 当或时，无法证明，不能推出对角线互相平分，故C、D不符合题意． 21．如图，已知，添加下面的条件，仍不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 、当添加时，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、∵， ∴， 当添加时，得， ∴， 根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、当添加时，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、当添加时，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判定四边形是平行四边形，该选项符合题意． 22．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形． (1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：　 　（填一个序号即可） (2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】(1)①或②或④（填一个即可）； (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定解答即可； （2）添加①BE＝DF时，证明△ABE≌△CDF（SAS），求出AE＝CF，∠AEF＝∠CFE，可得AECF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加②AFCE时，证明△ADF≌△CBE（AAS），可得AF＝CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加④∠BAE＝∠DCF时，证明△ABE≌△CDF（ASA），求出AE＝CF，AECF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论． 【详解】（1）解：添加①，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加②，证明AF＝CE，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加④，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加③不能得出四边形AECF为平行四边形． 故答案为：①或②或④（填一个即可）； （2）证明：如图， 添加①BE＝DF时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AECF， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加②AFCE时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∴∠ADF＝∠CBE， ∵AFCE， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AF＝CE， ∵AFCE， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加④∠BAE＝∠DCF时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠BAE＝∠DCF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AECF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．平行四边形的判定定理：1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形． 题型07.证明四边形是平行四边形 23．已知四边形中，于点于点．求证：四边形是平行四边形． . 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，利用已知条件证三角形全等，得到，再利用平行四边形的判定解得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵, ∴, 在和中， ， ∴， ∴, 又∵， ∴四边形为平行四边形． 24．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【分析】根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； 【详解】略． 25．如图，是的中线，，交于点，且． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，在（1）的条件下，，设对角线、交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证出，由，即可得出四边形是平行四边形； （2）过点作于点，作于点，连接，，由角平分线的性质得出，，求出，由直角三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，证明，得出，进而得出结论； （3）由平行四边形的性质得出，由（2）得出，过作于，连接，由直角三角形的性质得出，，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由勾股定理得出即，解方程即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 是的中线， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）如图，过点作于点，作于点，连接，， 平分，， ，， ， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （3）四边形是平行四边形， ， 由（2）得：， ， 如下图，过点作于，连接，   ， ， ， ，， ， ，， ， 在中， 由勾股定理得：即， 解得：， 的长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型08.平行四边形判定与性质求解 26．如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 27．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形为平行四边形，得到，再结合平行线性质，角平分线性质，三角形内角和定理分析求解，即可解题． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形，， ， 平分， ， ， ， ， ． 28．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，．    (1)求证：点E是中点； (2)若，，则的长为 ___． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可证明结论； （2）证明四边形为平行四边形，得出，求出，证明，，得出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）证：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）解：根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 题型09.平行四边形判定与性质证明 29．如图，在中，过对角线BD上一点P作，，则图中面积相等的平行四边形有______对． 【答案】3 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB∥CD，AD∥BC，根据EF∥BC，MN∥AB，得到AB∥CD ∥MN，AD∥BC ∥EF，推出四边形BEPM、NPFD、AEPN、PMCF、ABMN、EBCF都是平行四边形，根据AB=CD，AD=BC，BD=DB，推出△ABD≌△CDB，得到，同理可得，，根据，得到，根据，得到，同理可得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵EF∥BC，MN∥AB， ∴AB∥CD ∥MN，AD∥BC ∥EF， ∴四边形BEPM、NPFD、AEPN、PMCF、ABMN、EBCF都是平行四边形， ∵AB=CD，AD=BC，BD=DB， ∴△ABD≌△CDB(SSS)， ∴． 同理，，． ∴， 即， ∵， ∴， 同理． 综上，，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形，全等三角形. 熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 30．如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点，分别连接，交对角线于点，，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点定义得，，证得为平行四边形，即可得对边； （2）先由平行四边形对边平行得出，结合中点定义证得；再由(1)中已证的四边形是平行四边形得出，可得，结合对顶角相等推出；然后利用判定，得到对应边；最后结合即可判定四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 31．如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连结，，． (1)求证：． (2)当，且时． ①如图2，若， ，三点共线，求四边形的周长． ②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用平行四边形对角线性质和对称点性质，通过等腰三角形等边对等角证明角相等； （2）①根据对称性质、等腰直角三角形判定及性质，结合平行四边形判定与性质求周长；②通过作平行线构造平行四边形，利用角度关系、中点性质设未知数，结合勾股定理求解边长，进而求面积 ． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵点与关于对称， （2）①，A，三点共线，且点与关于对称， ， ，， 为等腰直角三角形，根据勾股定理可得： ，， ∴ 四边形是平行四边形 ∵ ， ∴是正方形 ，. ②过点作的平行线，交，分别于点E，F； ∵点关于的对称点为点 ∴ ∵， ∴ ∴ 由∵ ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴为等腰的边中点， ∴为中点，为中点， ∵ ∴ 则 ∴ ∵， ∴， 设，则， 在Rt中，， 解，得 ， 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理及对称性质，熟练掌握这些性质定理，灵活运用判定与性质进行推理、计算是解题的关键． 题型10.平行四边形与角平分线综合 32．如图，的对角线，相交于点，平分交于点，点是的中点．连接，若，则的长为_______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 又∵对角线相交于点O， ∴是的中点． ∵平分， ∴． ∴． 将代入上式，得． 在中，是 的中位线. ． 33．如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴． 34．如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出、，进而得到是等边三角形，又根据，证得，易证得是的中位线，进而得到；利用得到，进而得到；根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， 、， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， 是的中位线， 、， ， 故①正确； ， ， 故②正确； 、， ， ， ， 故③正确； 在中，，由勾股定理得， ， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：A． 35．如图，在平行四边形中，平分，交于点． (1)尺规作图：作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，若的长为_____（直接写出答案）． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图进行求解即可； （2）由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 题型11.平行四边形与对角线综合 36．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质即可知为中点，所以为的中位线，即可求解． 【详解】的周长的一半, ， ， ， ， ， ， ，可知为中点，且点是的中点， 为的中位线， ， 的周长为． 37．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接，则的长为______． 【答案】1 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据角平分线的性质得，即可得是等边三角形，再证得是的中位线，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∵平分交于点， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点E是的中点， ∵四边形是平行四边形， ∴点O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 38．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，，，，直线过点O，连接，交于点，连，的周长等于6，①；②；③；④．以上说法正确的为______（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交于，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵的周长等于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； 过点作于M，交于， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴，故正确； 过点作于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过点作的延长线于点，则， AI ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴说法正确的有①②③④． 39．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵点M，N分别为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 题型12.平行四边形与中位线综合 40．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则OB的长为_____ ． 【答案】 6 【详解】解：∵点E、F是、的中点， ∴在中，， 且， ∴． 41．如图，平行四边形中，，对角线交于点O，M、N分别是的中点，则_____，点P是上一点，且，点L是的中点，连接，交于E、F，若， 则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等角对等边，可证明为的中位线，则；取的中点T，连接，由三角形中位线定理可得，，则；证明是的中位线，推出，则可证明，得到，进而可证明，再由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线交于点O， ∴，点O为的中点， ∵点N为的中点， ∴为的中位线， ∴； 如图所示，取的中点T，连接， ∵点L是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴； ∵点T，点M分别为的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：；． 42．如图，在四边形中，是对角线，点分别是边，的中点，依次连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中位线定理得出，，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：分别是的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， ∴四边形是平行四边形． 题型13.平行四边形与坐标系综合 43．某智能定位系统在平面直角坐标系中布设监测节点，平行四边形区域为数据采集覆盖范围．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B在y轴上．若点A，D的坐标分别为，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系的特点，结合题意得到，由平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 44．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合点在轴上及轴，利用中点坐标公式确定点的横坐标．过点作轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出点的纵坐标即可求解． 【详解】解：设点的坐标为 四边形是平行四边形 对角线与互相平分 点的坐标为，轴 点的横坐标为3 点在轴上 点的横坐标为0 设与的交点为，则点为的中点 点的横坐标为 又点为的中点 点的横坐标为 ， 解得 过点作轴于点 点的坐标为 在中，， 由勾股定理得： 点在第一象限 点的坐标为． 45．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，利用平行四边形对边平行的性质及角平分线定义可证为等腰三角形，从而得到，利用勾股定理求出的长，结合点坐标即可求出点坐标． 【详解】解：由作图步骤可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在边上，且轴， ∴点的纵坐标为， 又∵点的横坐标为，点在点右侧， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 46．已知平行四边形，如图，已知点的坐标为，其中，满足，与轴交点于点 (1)求点坐标； (2)如图，点、分别为轴，轴上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，过作轴交于点，求证：； (3)如图，等腰，，连接，取的中点，连接，，探究，的关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】（1）利用算术平方根，以及平方式的非负性求解，即可解题； （2）结合折叠的性质，推出，，然后证明四边形是平行四边形，得到，，进而推出，可知，推出，进而利用线段的和差即可证明； （3）延长至，使，连接，，延长交于点，利用三角形中位线定理得到，，证明，结合全等三角形性质推出，再结合角之间的数量关系代换推出，最后结合平行线性质即可得到的位置关系． 【详解】（1）解：， ， 即， 解得， 点坐标为； （2）证明：将沿折叠， ，， ∵平行四边形， ， 又∵， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ，即； （3）解：， 理由如下： 如图3，延长至，使，连接，，延长交于点， ，点是的中点， ，， ∵等腰，， ∴， ，，， ∴， ，， ∴为等腰直角三角形，， 点， ， ， ，即， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方式的非负性，折叠的性质，平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，全等三角形性质和判定，解题的关键在于作出合适的辅助线并灵活运用相关知识． 题型14.平行四边形中的折叠问题 47．在中，E为上一点，将沿折叠至处，与交于点F．若，则∠FEG度数为_____． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，再根据三角形外角的性质、邻补角互补、折叠的性质可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠至处，与交于点F， ∴， ∴． 48．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰为等边三角形，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，可证，由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 将纸片沿对角线对折， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 49．如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠可知，所以当A，，E三点共线时，的长度最小，作交CD的延长线于点G，根据勾股定理分别求出的长度，即可求长度的最小值． 【详解】解：连接AE，过点A作交CD的延长线于点G， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 为CD的中点，， ， ， ； 由折叠可知，， ∴， 当A，，E共线时，的长度最小， 此时，， 故选：C 【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求AE的长度． 50．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为12，，直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角 形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的 数量关系； （3）首先，由四边形是平行四边形，得，再由，，得，由折叠可知：，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知 ，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为12，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，证明如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为边的三等分点， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， 由三角形外角性质可知，， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则 ， ∴ ； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，，即， ∴， ∵平行四边形的面积为12，，即， ∴ ，则， ∴． 题型15.平行四边形中的最值问题 51．如图，平行四边形的周长为24，点、分别是边、上的两个动点，若线段长的最大值为10，最小值为6，则平行四边形的面积为（    ） A．33 B．30 C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作，交的延长线于点，根据题意可得，，设，在中和在中，运用两次勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由题意得，的最小值就是与之间的距离，即平行四边形的高， ∴， 当P与重合、与重合时，取到最大值， ∴， ∵平行四边形周长为24， ∴，即， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 在中， 解得， ∴． 52．如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知，当时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵为边上的一动点， ∴时有最小值，即有最小值， 此时在中，，， ， 即最小值为． 53．如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和三角形面积公式，可知的面积为定值，由，可得.要使最小，需最大；当点与点重合时，取得最大值，通过构造直角三角形利用勾股定理求出的长，进而求出的最小值． 【详解】解：过点作交的延长线于点，连接，， ∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ， ， 又， ∴， ∴要使最小，则需最大， ∵点为边上的一动点， ∴点与点重合时，最大此时， 的最小值为， 故答案为． 54．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ (3)如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 【答案】(1)证明：∵过点C、M分别作的平行线，并交于点P， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴. (2)； (3)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，结合已知条件即可得证； （2）根据平行线的性质，结合三角形的外角的性质，等边对等角，求出，根据垂线段最短得到当时，最短，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）过点作，交于点，延长至点，使，连接，则即为的最小值，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）证明：略. （2）解：∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，最短，此时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴线段长度的最小值为； （3）解：过点作，交于点，延长至点，使，连接， ∵长方形，，G是的中点， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形，垂直平分， ∴，，， ∴，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为. 题型16,平行四边形中的动点问题 55．如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 【答案】 【分析】过点作于，在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值， 此时，． 56．如图，平行四边形中，，，点E是对角线上一动点，点F是边上一动点，连接、，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点B作，交于点，则的最小值为的长；在中，，，即可求解． 【详解】解：过点B作，交于点，如图所示： 根据垂线段最短可知：的最小值为的长； ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 57．如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，则，进而说明的最小值为的长；再根据平行四边形的性质以及轴对称的性质可得，，过L作于G，再求得、，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在和中，，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， 如图∶将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，交于点I，则， ∴，即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵C点关于的对称点L， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ， 如图：过L作于G， ∴ ， ∴， ∴． 58．如图，在中，，．点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，求出的最小值即可得的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， ∵点是边上的动点， ∴当时，线段的长最小， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 59．如图，在中，，，E是所在直线上的动点，连接，将沿着对折，点A的对应点为． (1)当为等边三角形时，请判断和的位置关系： ； (2)如图2，当点E与点D重合时，恰好垂直，求重叠部分的面积； (3)若，当与平行四边形的边互相垂直时，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由等边三角形的性质证出，得出； （2）由折叠的性质得出，，求出，由三角形面积可得出答案； （3）分四种情况，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：若点E在的延长线上，，过点B作于点F， ∴由翻折可得，， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，，过点B作于点F， 同理可得； 当点E在上时，，延长交于点M， ∵折叠， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，，延长交于点F， ∵折叠， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长为或或或． 题型17.多结论判定问题 60．已知直线及线段，点在直线上，点在直线外．如图所示， （1）在直线上取一点（不与点重合），连接； （2）以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（与点位于直线异侧）； （3）连接交于点，连接，． 根据以上作图过程及所作图形，在下列结论：①；②；③中，一定正确的是______（填写序号）． 【答案】② 【分析】根据作图可得，则四边形是平行四边形，进而即可求解． 【详解】解：根据作图可得，则四边形是平行四边形， ∴，不一定相等，，故①不一定正确，②正确， ∵不一定相等，则不一定成立，即③不一定正确． 61．如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】①先根据角平分线和平行四边形的性质推出，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算和的长，可得的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②，， ，， ， 中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 中，， ，故②正确； ③由②知：， ，故③正确； ④由②知：是的中位线， ， ， ，故④错误； 62．如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，推出，得出，①正确； 只有为中位线时，才能，②不一定正确； 由角平分线的性质得出点到边，，的距离相等，即点到两边的距离相等，得出点在的平分线上，即是角平分线，④正确； 由角平分线的定义得出，由平行线性质得出，推出，由等腰三角形的性质得出，证出，即，③正确． 【详解】， ， ， ， ， 是等腰三角形，①正确； ， 只有为中点时，即为中位线时，才能，所以结论②不一定正确； 的两个外角平分线相交于点， 点到边，，的距离相等，即点到两边距离相等， 平分，④正确； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 即，③正确； 综上，正确为①③④共3个． 题型18.平行四边形存在性问题 63．如图，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向D运动，点P从点B出发以的速度在线段间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值______． 【答案】2或6 【分析】分两种情况：当点P从点B向点C运动时，当点P从点C向点B运动时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴当时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 当点P从点B向点C运动时，根据题意得： ， 解得：， 当点P从点C向点B运动时，根据题意得： ， 解得：， 综上分析可知：以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为2或6． 64．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 65．在几何问题中我们经常应用勾股定理解决相关问题，其中会涉及到无理数的平方计算，相关计算公式为：和，例如：， 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，分别是边上的动点，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点向点运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为___________； (2)连接，交于点，过点作于，当___________时，三点在一条直线上； (3)当点运动到的中点时，在平面内找一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）过点作于点，然后根据题意可得点，进而问题即可求解； （2）由题意得，则有，当点、、三点共线时，可知，然后问题可求解； （3）由题意可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当为对角线时；②当以为对角线时；③当以为对角线时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， 解得， ， 四边形是平行四边形，， ， ； （2）解：由题意得：是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 当点、、三点共线时，如图， ， ， ， 解得， 当时，、、三点在一条直线上； （3）解：由（2）及题意可知：， 当点运动到的中点时，则有， 解得， ， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则可分为如下： ①当为对角线时，，且， 又∵， ∴点C对应点Q，点P对应点M， ∵点C至点Q横坐标减1，纵坐标减1， ； ②当以为对角线时，，且， 又∵， ； ③当以为对角线时，即，且， 又∵， ， 综上所述：当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则点坐标为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $