7.4.1　二项式定理课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件围绕二项式定理展开，以计数原理为基础证明定理，系统梳理展开式特征、通项公式及应用，通过知识点递进构建学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过自主诊断发现认知盲点，题型分析强化正逆用及特定项求解，结合数学思维与语言，如逆用定理化简多项式，总结解题步骤。学生提升逻辑推理能力，教师可高效开展教学。

第7章　计数原理 7.4.1　二项式定理 【课标要求】1.能用计数原理证明二项式定理.2.理解二项式定理及二项展开式的特征,能记住二项式定理和二项展开式的通项.3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　二项式定理 (a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N*). 1.这个公式叫作二项式定理. 2.二项展开式:等号右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,二项展开式共有(n+1)项. 3.二项式系数:(r=0,1,2,…,n)叫作第r+1项的二项式系数. 名师点睛 二项式(a+b)n的展开式的特点 (1)展开式共有n+1项,比二项式的次数大1; (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.字母a的幂指数按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到为0,字母b的幂指数按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1直到为n; (3)二项式系数与项的系数:展开式的二项式系数依次是,…,,…,,项的系数是a与b的系数(包括二项式系数). 知识点二　二项展开式的通项 (a+b)n展开式中的第r+1项称为二项展开式的通项,记作Tr+1=an-rbr. 名师点睛 二项展开式的通项在形式上的特点 (1)二项展开式的通项在形式上的特点:①它表示二项展开式的第r+1项,该项的二项式系数是;②字母b的次数和组合数的上标相同;③a与b的次数之和为n. (2)二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项an-rbr和(b+a)n的二项展开式的第r+1项bn-rar是有区别的,应用二项式定理时,其中的a和b是不能随便交换位置的. (3)通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的,如(a-b)n的二项展开式的通项是Tr+1=(-1)ran-rbr(只需把-b看成b代入二项式定理). (4)两个常用的二项展开式: ①(a-b)n=an-an-1b+…+(-1)ran-rbr+…+(-1)nbn(n∈N*). ②(1+x)n=1+x+x2+…+xr+…+xn. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)二项式(a+b)6的展开式中共有6项.(　　) (2)(x-2)3=x3-6x2+12x-8.(　　) (3)二项式(a+b)6的展开式的第3项为a6-3b3.(　　) (4)(x-2)3展开式的第2项为-6x2.(　　) × √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】二项式定理的正用、逆用 例 1 [链接教材例1](1)求(3)4的展开式; (2)求(1-x)5(1+x+x2)5的展开式; (3)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 解 (1)(方法一)(3)4 =(3)4+(3)3·()+(3)2·()2+(3)·()3+)4 =81x2+108x+54+. (方法二)(3)4=()4=(1+3x)4 =(3x)+(3x)2+(3x)3+(3x)4] =(1+12x+54x2+108x3+81x4) =+54+108x+81x2. (2)(1-x)5(1+x+x2)5=[(1-x)(1+x+x2)]5=(1-x3)5 =×15(-x3)0+×14(-x3)1+×13(-x3)2+×12(-x3)3 +×11(-x3)4+×10(-x3)5 =1-5x3+10x6-10x9+5x12-x15. (3)原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)1+(x-1)0-1 =[(x-1)+1]5-1=x5-1. 规律方法　1.正用:求形式简单的二项展开式时,可直接由二项式定理展开,展开式注意二项展开式的特点(即前一个字母是降幂,后一个字母是升幂).形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简,再用二项式定理展开. 2.逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.逆用二项式定理时,如果项的系数是正负相间的,则原式是(a-b)n的形式. 跟踪训练1(1)化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(　　) A.(2x+1)5 B.2x5 C.(2x-1)5 D.32x5 D 解析 依题意可知,多项式的每一项都可看作(2x+1)5-r·(-1)r,故该多项式为[(2x+1)-1]5的展开式,化简[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.故选D. (2)(1+)5+(1-)5=　　　.  83 解析(1+)5 =10()5+11()4+12()3+13()2+14()1+15()0, (1-)5=10(-)5+11(-)4+12(-)3+13(-)2+14(-)1 +15(-)0,可得两式和的结果为82,故答案为82. 【题型二】二项展开式的通项的应用 角度1二项式系数与项的系数 例 2 [链接教材例2]在二项式(3)10的展开式中,求: (1)第4项的二项式系数; (2)第4项的系数. 解 (1)(3)10的展开式的通项是 Tr+1=(3)10-r(-)r=310-r(-)r·(r=0,1,2,…,10). 该展开式中第4项(r=3)的二项式系数为=120. (2)该展开式中第4项的系数为×37×(-)3=-77 760.　 规律方法　1.二项式系数都是组合数(r∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. 2.第r+1项的系数是此项字母前连同符号的数,而此项的二项式系数为(r∈{0,1,2,…,n}).例如,在(1+2x)7的展开式中,第四项是T4=17-3×(2x)3,其二项式系数是=35,而第四项的系数是23=280. 跟踪训练2已知在()n的二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3. (1)求n的值; (2)求展开式中x3的系数及含x3的项的二项式系数. 解 (1)∵第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3, ∴=8∶3,∴,∴n=10. (2)由(1)知,()n=()10,其通项为Tr+1=(-2)r×. 令5-r=3,可得r=2. ∴展开式中x3的系数为(-2)2×=180. 含x3的项的二项式系数为=45. 角度2求展开式中的特定项 例 3 [链接教材例3]已知在()n的展开式中,第6项为常数项. (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项Tr+1=(-3)r(-3)r.　 ∵第6项为常数项, ∴当r=5时,有=0,得n=10. (2)令=2,得r=2, ∴所求的系数为·(-3)2=405. (3)由题意,得=t(t∈Z), 则10-2r=3t,即r=5-t. 又∵r∈N,∴t应为偶数,可得t=2,0,-2,∴r=2,5,8, ∴第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为405x2,-61 236,295 245x-2. 规律方法　1.求(a+b)n的二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第r项,Tr=an-r+1br-1;(2)求含ar的项(或含apbq的项);(3)求常数项;(4)求有理项. 2.求二项展开式的特定项的常用方法 求展开式中的特定项,主要考查(a+b)n的展开式的通项公式an-kbk的运用,一般需要借助方程的思想求未知数k,再将k的值代回通项公式求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,则有以下常见结论: (1)求第m项,此时令r+1=m,即r=m-1,代回通项公式求解; (2)h(r)=0⇔Tr+1是常数项; (3)h(r)是非负整数⇔Tr+1是整式项; (4)h(r)是负整数⇔Tr+1是分式项; (5)h(r)是整数⇔Tr+1是有理项. 跟踪训练3已知在二项式(x+a)5的展开式中,含x2的项为20x2. (1)求实数a的值; (2)求展开式中系数为有理数的项. 解 (1)(x+a)5的展开式的通项公式为Tr+1=x)5-r·ar=()5-rarx5-r, r∈N且r≤5,当5-r=2,即r=3时,(x+a)5的展开式中含x2的项为2a3x2=20x2,即a3=1,解得a=1,所以实数a的值为1. (2)由(1)知,(x+1)5的展开式的通项公式为Tr+1=x5-r,r∈N且r≤5, 依题意,为整数,因此r=1,3,5,当r=1时,T2=22x4=20x4;当r=3时,T4=2x2=20x2;当r=5时,T6=x0=1,所以展开式中系数为有理数的项为20x4,20x2,1. 角度3两个多项式之积的特定项 例 4 (1)(x3+1)·(2x-)6的展开式中的常数项为(　　) A.240 B.-240 C.400 D.80 D 解析 (2x-)6的展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r(-)r=(-1)r·26-r·x6-3r,①令6-3r=0,得r=2,则(2x-)6的展开式中的常数项为(-1)2·26-2=15×16=240; ②令6-3r=-3,得r=3,则(2x-)6的展开式中含x-3的项的系数为(-1)3·26-3= -20×8=-160,所以(x3+1)·(2x-)6的展开式中的常数项为240×1+(-160)×1 =80.故选D. (2)在(x+2)4(x-1)3的展开式中,x2的系数为　　　　　.  24 解析 展开式中x2项为(-1)3x2·22+24·x2·(-1)+23·x2·(-1)2=24x2,所以x2的系数为24. 规律方法　求形如(a+b)m(c+d)n展开式特定项的步骤 第一步:分别写出(a+b)m与(c+d)n的二项展开式的通项; 第二步:根据特定项的次数,分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些项相乘得到(如x2可由常数项与x2项或x-1项与x3项等相乘得到); 第三步:把相乘后的项相加即可得到特定项,从而解决问题. 跟踪训练4(1)(x3-)(x-)5的展开式中的常数项为(　　) A.40 B.60 C.80 D.120 A 解析 (x-)5的展开式的通项公式为Tr+1=x5-r(-)r=(-2)rx5-2r, 而(x3-)(x-)5=x3(x-)5-(x-)5,令5-2r=-3,得r=4,令5-2r=1,得r=2, 所以(x3-)(x-)5的展开式中的常数项为(-2)4-(-2)2=40.故选A. (2)在(1+ax)2(1-x)5的展开式中,x4项的系数为35,则实数a的值为　　　　　.  -1或3 解析 由二项式定理的通项,可得10(ax)2·13(-x)2=a2x2·x2=10a2x4, 11(ax)1·12(-x)3=2ax··(-x3)=-20ax4,12(ax)0·11(-x)4=1×5x4=5x4, 因为x4项的系数为35,所以10a2-20a+5=35,整理得a2-2a-3=0,解得a=-1或a=3.故答案为-1或3. $