7.4.2　二项式系数的性质及应用课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质及应用，涵盖杨辉三角规律、对称性、增减性、最值、系数和及整除问题，通过杨辉三角历史背景导入，衔接二项式定理，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是通过杨辉三角观察培养数学眼光，题型分析中的逻辑推理发展数学思维，用公式和赋值法强化数学语言。如例1多选题引导发现规律，例2赋值法求系数和。帮助学生提升抽象与推理能力，为教师提供系统题型与规律总结，提高教学效率。

第7章　计数原理 7.4.2　二项式系数的性质及应用 【课标要求】 1.能掌握二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题. 2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　二项式系数表及其数字规律 二项式系数表 此表的规律如下: (1)每一行中的二项式系数都是“对称”的. (2)每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. (3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. (4)第1行为1=20,第2行的两数之和为2,第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26. 名师点睛 二项式系数与二项展开式中某一项的系数是不同的概念. 知识点二　二项式系数的对称性、增减性、最值 一般地,(a+b)n展开式的二项式系数,…,有如下性质: (1)对称性: (2)由杨辉三角的特点(2)可得: (3)增减性和最大值: 当r<时,,当r>时, 当n是偶数时,展开式中间一项的二项式系数最大;当n是奇数时,展开式中间两项的二项式系数相等且最大. (4)各二项式系数的和 ①已知(1+x)n=x+x2+…+xk+…+xn,令x=1,则2n=+…+,也就是说,二项展开式的各个二项式系数的和为2n. ②奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,且都等于2n-1.也就是说,在二项式定理中,令a=1,b=-1,则(1-1)n=+…+(-1)n,即+…=+…=2n-1. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) 如图,在“杨辉三角”中, (1)由杨辉三角知第10行的数为(0≤i≤10,i∈N),一共有11个数.(　　) (2)利用杨辉三角展开(1-x)5=1-5x+10x2-10x3+5x4-x5.(　　) (3)斜线AB的上方,从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则第10项是(　　) √ √ × 在(1-x)10展开式中, (4)最大的二项式系数是(　　) (5)最大的项的系数是(　　) (6)各项的二项式系数之和为210.(　　) (7)各项的系数和为0.(　　) √ × √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】与“杨辉三角”有关的问题 例 1 (多选题)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表,数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是(　　) A.1+ B.第2 025行的第1 013个数和第1 014个数最大 C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数 D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3 ABD 解析 A选项,1+=1+6+=84,=84,故A正确;B选项,由图可知,第n行有n+1个数字,如果n是奇数,则第和第+1个数字最大,且这两个数字一样大;如果n是偶数,则第+1个数字最大,故第2 025行的第1 013个和第1 014个数最大,故B正确;C选项,第6行、第7行、第8行的第7个数字分别为1,7,28,其和为36,第9行第7个数字是84,故C错误;D选项,依题意得第34行第14个数字是,第34行第15个数字是,所以=2∶3,故D正确.故选ABD. 规律方法　“杨辉三角”问题解决的一般方法 跟踪训练1(1)“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现,而欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5个数与第6个数的比值为(　　) A B C D.1 A 解析 由题意可知,第10行的数就是二项式(a+b)10的展开式中各项的二项式系数,因此,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为.故选A. (2)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列,俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,则此数列的第2 025项为(　　) A B C D A 解析 由“杨辉三角形”可知,第一行1个数,第二行2个数,…,第n行n个数,所以前n行共有个数,当n=63时,=2 016,所以第2 025项是第64行的第9个数字,即为.故选A. 【题型二】赋值法求二项式定理中的系数和问题 例 2 [链接教材例4]设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值: (1)a0; (2)a1+a3+a5+…+a99; (3)(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2. 解 (1)在(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100中,令x=0,得a0=2100. (2)令x=1,得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a99 +a100=(2+)100,两式相减,得a1+a3+a5+…+a99=. (3)(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+a5+…+a99)2 =(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…-a99+a100) =(2-)100·(2+)100=[(2-)(2+)]100=1. 规律方法　二项式定理给出的是一个恒等式,对于x,y的一切值都成立.因此,可将x,y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令x,y等于多少,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.如: (1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)求各项系数之和,只需令x=1,则各项系数之和分别为(a+b)n,(a+b+c)m; (2)形如(ax+by)n(a,b∈R)求各项系数之和,只需令x=y=1,则各项系数之和为(a+b)n; (3)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)的各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…= 变式探究 在本例条件下,求下列各式的值: (1)a0+a2+a4; (2)a1+a2+a3+a4+a5; (3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4. 解 (1)因为a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,所以a0+a2+a4==122. (2)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,所以a0=25=32. 又因为a0+a1+a2+…+a5=1, 所以a1+a2+a3+a4+a5=-31. (3)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5, 所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4. 令x=1,得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10. 跟踪训练2若(1-x-2x2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10. (1)求a0+a1+a2+a3+…+a8+a9+a10的值; (2)求a2+a4+a6+a8+a10的值; (3)求a1的值. 解 (1)令x=1,则a0+a1+a2+a3+…+a8+a9+a10=(1-1-2)5=-32.① (2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+a8-a9+a10=(1+1-2)5=0,② 令x=0,则a0=1,=a0+a2+a4+a6+a8+a10=-16, ∴a2+a4+a6+a8+a10=-16-a0=-16-1=-17. (3)(1-x-2x2)5=(1-2x)5(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,即a1为含x项的系数,即(-2x)0×x+(-2x)1×x0=5x+(-10x)=-5x,则a1=-5. 跟踪训练3已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值: (1)a0+a1+a2+…+a5; (2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|; (3)a1+a3+a5. 解 (1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1. (2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5. 由(2x-1)5展开式的通项Tk+1=(-1)k·25-k·x5-k知,a1,a3,a5为负值,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243. (3)由a0+a1+a2+…+a5=1, -a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35. 所以a1+a3+a5==-121. 【题型三】二项展开式中的最值问题 例 3 [链接教材练习,T1]在()8的展开式中, (1)求二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项是第几项? 解 (1)Tk+1=·()8-k·(-)k=(-1)k··2k·.二项式系数最大的项为中间项,即第5项,所以T5=·24·=1 120x-6. (2)设第k+1项系数的绝对值最大, 则所以解得5≤k≤6, 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 规律方法　二项式系数的最值与项的系数的最值问题求解方法 (1)二项式系数的最值问题 如果二项式的幂指数n是偶数,中间项是第(+1)项,其二项式系数最大;如果二项式的幂指数n是奇数,中间项有两项,即为第项和第(+1)项,它们的二项式系数相等且最大. (2)项的系数的最值问题 求常规二项展开式中的系数最大项时,可设第k+1项的系数为Tk+1最大,然后解不等式即可. 跟踪训练4(1)已知()n的展开式中只有第5项是二项式系数最大,则该展开式中各项系数的最小值为(　　) A.-448 B.-1 024 C.-1 792 D.-5 376 C 解析 ∵展开式中只有第5项是二项式系数最大,则n=8,∴展开式的通项为Tr+1=)8-r(-)r=(-2)r,r=0,1,…,8,则该展开式中各项系数 ar=(-2)r,r=0,1,…,8,若求系数的最小值,则r为奇数且解得r=5, ∴系数的最小值为a5=(-2)5=-1 792.故选C. (2)关于(2x-)n的展开式中共有7项,下列说法中正确的是(　　) A.展开式中二项式系数之和为32 B.展开式中各项系数之和为1 C.展开式中二项式系数最大的项为第3项 D.展开式中系数最大的项为第4项 B 解析 因为二项式(2x-)n的展开式中共有7项,所以n=6,所有项的二项式系数和为26=64,故A不正确;令x=1,则(2×1-)6=1,即所有项的系数的和为1,故B正确;选项C,二项式系数最大的项为第4项,故C不正确;选项D,二项式的展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r(-)r=(-1)r26-rx6-3r,故系数为(-1)r26-r,系数的最大项只从r=0,2,4,6中选择,当r=0时,(-1)026=64,当r=2时,(-1)224=240,当r=4时,(-1)422=60,当r=6时,(-1)620=1,故当r=2时系数最大,所以展开式中系数最大的项为第3项,故D不正确.故选B. 【题型四】整除和余数问题 例 4 [链接教材例5](1)用二项式定理证明34n+2+52n+1能被14整除; 证明 34n+2+52n+1=92n+1+52n+1=[(9+5)-5]2n+1+52n+1=(14-5)2n+1+52n+1 =142n+1-×142n×5+×142n-1×52-…+×14×52n-×52n+1+52n+1 =14(142n-×142n-1×5+×142n-2×52-…+×52n). 因为上式是14的倍数,能被14整除,所以34n+2+52n+1能被14整除. (2)求9192除以100的余数. 解 (方法一)9192=(100-9)92=10092-×10091×9+×10090×92-…-×100×991+992,前面各项均能被100整除,只有末项992不能被100整除,于是问题转化为求992除以100的余数. 因为992=(10-1)92=1092-×1091+×1090-…+×102-×10+(-1)92 =1092-×1091+×1090-…+×102-920+1=(1092-×1091 +×1090-…+×102-1 000)+81,所以9192除以100的余数为81. (方法二)由9192=(90+1)92=×9092+×9091+…+×902+×90+1,得前面各项均能被100整除,只有末尾两项不能被100整除, 因为×90+1=8 281=8 200+81,所以9192除以100的余数为81. 规律方法　用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时,一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r<m)的形式,利用二项展开式求解. 跟踪训练5(1)32 025被8除的余数为(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 B 解析 32 025=3×32 024=3×91 012=3×(8+1)1 012 =3(×81 012×10+×81 011×11+…+×81×11 011 +×80×11 012)=3(×81 012+×81 011×11+… +×81×11 011)+3,其中3(×81 012+×81 011×11 +…+×81×11 011)是8的整数倍,故32 025被8除的余数为3.故选B. (2)设a∈Z,且0≤a≤13,若512 025+a能被13整除,则a等于(　　) A.0 B.1 C.11 D.12 B 解析 512 025+a=(52-1)2 025+a=522 025-·522 024+·522 023-·522 022+…+·52-+a=52(522 024-·522 023 +·522 022-·522 021+…+)-1+a,而522 024-·522 023+ ·522 022-·522 021+…+是整数,52是13的倍数, 即52(522 024-·522 023+·522 022-·522 021+…+)能被13整除, 因此a-1能被13整除,而a∈Z,0≤a≤13, 即-1≤a-1≤12,所以a-1=0,即a=1.故选B. $