7.4.1 二项式定理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

该高中数学课件围绕二项式定理展开，涵盖定理公式、二项式系数及通项公式等核心知识点，通过知识辨析问题导入，衔接组合数知识，为特定项求解、乘积展开式等内容搭建学习支架。 其亮点在于以知识辨析培养数学眼光，通过典例及多解法（如三项展开式的因式分解法）训练数学思维，用通项公式精准表达强化数学语言。学生能提升抽象与推理能力，教师可借助系统题型总结高效教学。

7.4　二项式定理 7.4.1　二项式定理 必备知识 清单破 知识点 二项式定理 二项式定理 公式(a+b)n= an+ an-1b+…+ an-kbk+…+  bn,n∈N*叫作二项式定理 (a+b)n的二项展开式  an+ an-1b+…+ an-kbk+…+ bn,n∈N* 二项式系数  (k=0,1,2,…,n) 二项展开式的通项 二项展开式的第(k+1)项:Tk+1= an-kbk 第7章　计数原理 高中同步 知识辨析 1. an-kbk是(a+b)n的二项展开式中的第几项? 2.(a+b)n与(b+a)n的二项展开式在结构形式上相同吗? 3.二项展开式中项的系数与二项式系数一定相等吗? 第7章　计数原理 高中同步 一语破的 1.第(k+1)项. 2.不相同.尽管(a+b)n与(b+a)n的二项展开式是相等的,但它们在结构形式上却不相同.(a+b)n的 二项展开式中的项按a的降幂、b的升幂排列,第(k+1)项为 an-kbk;(b+a)n的二项展开式中的项 按b的降幂、a的升幂排列,第(k+1)项为 bn-kak. 3.不一定.项的系数是指除变量外连同符号的常数部分,与变量的系数有关,而第(k+1)项的二 项式系数为 ,与变量的系数无关. 第7章　计数原理 高中同步 　  　　求二项展开式中的特定项(项的系数),实质是考查其通项Tk+1= an-kbk,一般需要建立方程 求k,再将k的值代回求解,注意k的取值为0,1,2,…,n. (1)求第m项:令k+1=m,直接代入通项. (2)求含am的项:令n-k=m,解出k的值,代入通项. (3)求常数项:隐含条件是字母的指数为0. (4)求有理项:令通项的所有字母的指数都等于整数,求解时必须合并通项中同一字母的指数, 根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性求解. (5)求整式项:令通项中同一字母的指数合并后为非负整数,求解方式与求有理项一致. 关键能力 定点破 定点 1 二项展开式中的特定项(项的系数)问题 第7章　计数原理 高中同步 典例 在 的展开式中,第6项为常数项. (1)求n的值; (2)求含x2的项的系数与二项式系数; (3)求展开式中所有的有理项. 第7章　计数原理 高中同步 解析    (1) 的展开式的通项为Tr+1=  ×(-3)r = ×(-3)r (r=0,1,2,…,n).因为 展开式的第6项为常数项,所以 =0,解得n=10. (2)由(1)知Tr+1= ×(-3)r ,r=0,1,…,10. 令 =2,得r=2,所以含x2的项的系数为 ×(-3)2=405,含x2的项的二项式系数为 =45. (3)根据题意得 所以r=2或r=5或r=8,所以展开式中的有理项分别为T3= ×(-3)2x2= 405x2,T6= ×(-3)5=-61 236,T9= ×(-3)8x-2=295 245x-2. 第7章　计数原理 高中同步 方法总结 　　已知展开式的某项或其系数求参数,可由通项写出已知项,根据题中数据得到参数的值. 第7章　计数原理 高中同步 　   1.求两个二项式乘积的展开式中特定项的一般步骤 (1)分别求每个二项展开式的通项; (2)找到构成展开式中特定项的组成部分; (3)利用多项式乘法分别相乘即可. 2.求三项展开式中特定项的方法 (1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法:先将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组用二项式定 理展开. (3)利用组合知识:把(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的乘积,利用组合知识分析项的构成,注意最后把 各个同类项合并. 定点 2 两个二项式乘积、三项展开式问题 第7章　计数原理 高中同步 典例 (1)在 (1+x)6的展开式中,含x2的项的系数为 (　    ) A.15　    B.20　    C.30　    D.35 (2)(x2+3x+2)5的展开式中x2的系数为　　　    . 第7章　计数原理 高中同步 解析    (1)(1+x)6的展开式的通项为Tk+1= xk,k=0,1,2,…,6. 因为 (1+x)6=(1+x)6+ (1+x)6, 所以展开式中含x2的项为 x2+ × x4=30x2,所以展开式中含x2的项的系数为30. (2)解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5.(1+x)5的展开式的通项为Tr+1= xr,0≤r≤5,r ∈N,(2+x)5的展开式的通项为Tk+1= 25-kxk,0≤k≤5,k∈N, 所以 的展开式的通项为Tr+1,k+1=  25-k·xr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N. 令r+k=2,可得 或 或  因此, 的展开式中x2的系数为  ×23+  ×24+  ×25=800. 解法二: = ,其展开式的通项为Tk+1= (x2+3x)5-k2k(0≤k≤5,k∈N),  的展开式的通项为Tr+1= (x2)5-k-r·(3x)r= 3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N), 第7章　计数原理 高中同步 所以Tk+1=  2k×3rx10-2k-r(0≤k≤5且0≤r≤5-k,k,r∈N). 令10-2k-r=2,可得k=3,r=2或k=4,r=0. 当k=3,r=2时,x2的系数为  ×23×32=720; 当k=4,r=0时,x2的系数为  ×24×30=80. 综上, 的展开式中x2的系数为720+80=800. 解法三:(x2+3x+2)5表示5个因式(x2+3x+2)的乘积,要得到含x2的项,分以下两种情况:①从1个因 式中取x2,其余4个因式中都取2;②从2个因式中取3x,其余3个因式中都取2,故x2的系数为 ×24 + ×32×23=80+720=800. 第7章　计数原理 高中同步 答案    (1)C    (2)800 第7章　计数原理 高中同步 $