7.3　组合（第1课时　组合、组合数公式）课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦组合与组合数概念、公式及性质，通过对比排列（已学知识）明确组合无序性，构建从排列到组合的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于设置自主诊断（判断正误）和分层题型（概念判断、列举、公式应用等），结合数学思维（推理能力）与数学语言（应用意识），如例1辨析组合问题、例5证明恒等式，助力学生深化理解，教师可高效开展教学提升学生能力。

第7章　计数原理 7.3　组合 第1课时　组合、组合数公式 【课标要求】 1.理解组合与组合数的概念,正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会推导组合数公式,并会应用公式进行计算. 3.理解组合数的性质,并能应用性质求值、化简和证明. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　组合的概念 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 名师点睛 1.组合要求n个元素是不同的,被取出的m个元素也是不同的,即从n个不同元素中进行m次不放回地取出;组合的元素是无序的,即取出的m个元素不讲究顺序,即元素没有位置的要求. 2.排列与组合的关系 相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素”. 不同点:组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列中要求元素“按照一定的顺序排成一列”,因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果是否有影响,若有影响,则是排序问题,若无影响,则是组合问题. 知识点二　组合数与组合数公式 1.组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示. 2.组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 ,其中m,n∈N*,并且m≤n 阶乘 形式 名师点睛 1常用于计算. 2常用于证明. 3.组合数的性质: (1);(2);(3)规定=1. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同.(　　) (2)从1,2,3这3个数字中选取2个不同的数字求和,求有多少种选法是组合问题.(　　) (3)=10.(　　) (4)若,则正整数x的值是2.(　　) √ √ √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】组合的概念及判断 例 1 [链接教材练习,T1](多选题)给出下列问题,属于组合问题的有(　　) A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法 B.有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法 C.某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种 D.从2,3,5,7,11中任选两个数相乘,可以得到多少个不同的积 BCD 解析 对于A,从3名同学中选出2名同学后,分配到两个乡镇涉及顺序问题,是排列问题;对于B,从7人中选出4人观看不涉及顺序问题,是组合问题;对于C,射击命中不涉及顺序问题,是组合问题;对于D,乘法满足交换律,两数相乘的积不涉及顺序,是组合问题.故选BCD. 规律方法　判断一个问题是否为组合问题的流程 跟踪训练1判断下列问题分别是排列问题还是组合问题: (1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会,求有多少种不同的选法; (2)从1,2,3,4,5这5个数字中,每次任取2个不同的数作为一个点的坐标,求所有不同点的个数; (3)一个黄袋中装有四张分别写有1,3,5,7的卡片,另一个红袋中装有四张分别写有2,8,16,32的卡片.从红袋和黄袋中各任取一张卡片,问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种; (4)有四本不同的书要分别送给四个人,每人一本,问一共有多少种不同的送法. 解 (1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会,选出的学生不用排序,所以这是组合问题. (2)从1,2,3,4,5这5个数字中,每次任取2个不同的数作为一个点的坐标,由于坐标有横纵坐标之分,所以选出的2个不同的数需要排序,故这是排列问题. (3)从红袋和黄袋中各任取一张卡片,求这两张卡片上的数相加所得的和,因为加法满足交换律,故选出的卡片不用排序,所以这是组合问题. (4)因为四本不同的书送给四个人,要求每人一本,所以这四本书需要排序,故这是排列问题. 【题型二】组合的列举问题 例 2 [链接教材练习,T2]从甲、乙、丙、丁4人中选出2人. (1)这2人去参加某个会议,列出所有选出的2人; (2)这2人分别去A,B两地参加活动,列出所有可能的情况. 解 (1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6种选法. (2)甲A乙B、甲A丙B、甲A丁B、乙A丙B、乙A丁B、丙A丁B、甲B乙A、甲B丙A、甲B丁A、乙B丙A、乙B丁A、丙B丁A共12种情况. 跟踪训练2(1)写出从2,3,5,7这4个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数. ①列出所有的真分数; ②列出所有的分数; 解 ①共6个真分数. ②共12个分数. (2)我们有5个不同的球,标号为A,B,C,D,E.现在要从中选出3个球,问有多少种不同的选法? 解 ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE共10种不同的选法. 【题型三】组合数公式及应用 角度1利用组合数公式化简求值 例 3 [链接教材例2]计算: (1);(2);(3); (4) 解 (1)=455. (2)=21. (3)=19 900. (4)原式=-1=-1=56+4 950-1=5 005. 规律方法　计算时需应注意利用组合数的性质简化运算. 跟踪训练3(1)计算2的值是(　　) A.62 B.102 C.152 D.540 A 解析 2=2=2×+5×4=62.故选A. (2)计算=　　　　　.  27 解析 (方法一)=8+9+10=27. (方法二)=8,=9,=10, 可得=8+9+10=27. 角度2解方程或不等式 例 4 解下列方程或不等式: (1);(2)>3;(3)7>5 解 (1)由题意可得x≥3.原方程可化为,即,所以,所以10x(x-1)=5×4×3×2×1,解得x=4. (2)在不等式>3中,0≤m-1≤8,且0≤m≤8,m∈N,即有1≤m≤8,m∈N,原不等式化为,即,解得m>,则m=7或8,所以不等式的解集为{7,8}. (3)不等式7>5,即不等式> ,即7>,解得-2<n<11. 又因为n≥6且n∈N,所以关于n的不等式7>5的解集为{6,7,8,9,10}. 规律方法　组合数计算公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用公式计算; (2)涉及字母的可以用阶乘式计算; (3)计算时应注意利用组合数的性质以及简化运算. 跟踪训练4(1)不等式的解集为　　 　　.  {5,6,7,8,9,10,11} 解析 由题意,得x≥5,x∈N. 原不等式可化简为,即x2-11x-12<0,解得-1<x<12.又x≥5,x∈N,所以x∈{5,6,7,8,9,10,11}.故答案为{5,6,7,8,9,10,11}. (2)解下列方程: ①4=2+5;=2 解 ①因为4=2+5, 所以4x(x-1)(x-2)=2×+5(x+2)(x+1), 整理得2x3-9x2-4x-5=(2x3-10x2)+x2-4x-5=0, 所以2x2(x-5)+(x-5)(x+1)=(x-5)(2x2+x+1)=0. 又因为x≥3,所以x=5. ②因为=2,即=2,所以=2, 即=2(x+3)(x+2)(x+1). 因为x≥2,x∈N,所以x=48. 角度3证明组合恒等式 例 5 (1)已知k,n为正整数,k≤n,求证:k=n; (2)已知k,n为正整数,求证:+…+ 证明 (1)k=k=n. (2)由知,+…++…++…++…+=…=. 跟踪训练5(1)求证:; 证明 左式=,右式=,所以. (2)求证:; 证明 因为, 所以左边==右边. (3)若m,n,r均为正整数,试证明:+…+ 证明 构造数学模型证明:表示从n+m个不同元素中取r个元素的取法种数.将n+m个不同元素分为两组,其中A组n个元素,B组m个元素,从n+m个不同元素中取r个元素,可分类完成,依次为:A组取0个,B组取r个,有种取法;A组取1个,B组取r-1个,有种取法;……;A组取r个,B组取0个,有种取法. 由加法计数原理知共有+…+种取法,所以+…+. $