7.3　组合（第2课时　排列与组合的综合应用）课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦排列与组合的综合应用，通过复习简单组合问题（如“含有/不含”元素）过渡到多面手、分组分配等复杂情境，搭建从基础公式到综合问题的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以商品抽样、最短路径等现实实例引导学生用数学眼光观察数量关系，通过分类讨论、间接法等培养数学思维的推理能力，规律方法总结助力形成模型意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助系统题型与方法提高教学效率。

第7章　计数原理 7.3　组合 第2课时　排列与组合的综合应用 【课标要求】 1.能够判断所研究的问题是不是排列或组合问题. 2.进一步熟练掌握排列数、组合数公式的计算技能. 3.熟练掌握用排列、组合解决常见问题的方法. 题型分析·能力素养提升 【题型一】简单的组合问题 例 1 [链接教材例4]某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种? 解 (1)从余下的34种商品中,选取2种有=561(种),所以某一种假货必须在内的不同取法有561种. (2)从34种可选商品中,选取3种,有=5 984(种),所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种. (3)选取2件假货有种,选取3件假货有种,共有选取方法=2 100+455=2 555(种),所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种. (4)选取3件的总数有,因此共有选取方法=6 545-455 =6 090(种),所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 规律方法　组合问题的两类题型及求解方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理. 跟踪训练1(1)夏老师从家到学校,可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道,由于夏老师不知道杨高路有一段在修路,导致第一天上班就迟到了,所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路,如图,假设夏老师家在M处,学校在N处,AB段正在修路要绕开,则夏老师从家到学校的最短路径有(　　)条. A.23 B.24 C.25 D.26 D 解析 由M到N的最短路径需要向右走四段路,向上走三段路,所以有条路,由M到A的最短路径需要向右走两段路,向上走一段路,所以有条路,由B到N的最短路径需要向右走一段路,向上走两段路,所以有条路,所以由M到N不经过AB的最短路径有=26(条).故选D. (2)某公园有P,Q,R三只小船,P船最多可乘3人,Q船最多可乘2人,R船只能乘1人,现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,共有不同的乘船方法为(　　) A.36种 B.33种 C.27种 D.21种 C 解析 第一类,P船两大人一小孩,Q船一大人一小孩,有=6种方法.第二类,P船一大人两小孩,Q船两大人,有=3种方法.第三类,P船一大人两小孩,Q船一大人,R船一大人,有=6种方法.第四类,P船一大人一小孩,Q船一大人一小孩,R船一大人,有=12种方法.根据分类计数原理,共有6+3+6+12=27种不同的方法.故选C. 跟踪训练2男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员(注:队长和运动员可为同一人). 解 (1)分两步完成,首先选3名男运动员,有=20种选法,再选2名女运动员,有=6种选法,共有=120种选法. (2)“至少有1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”,从10人中任选5人,有=252种选法,全是男运动员有=6种选法,所以“至少有1名女运动员”的选法有=246种选法. (3)“只有男队长”的选法有种,“只有女队长”的选法有种,“男女队长都入选”的选法有种,所以队长中至少有1人参加的选法共有2=196(种). (4)当有女队长时,其他人选法任意,共有种.不选女队长,必选男队长,共有种,其中不含女运动员的选法有种,此时共有种.既要有队长,又要有女运动员的选法共有=191(种). 【题型二】多面手问题 例 2 有11名外语翻译人员,其中5名是英语翻译人员,4名是日语翻译人员,另外2名英、日语都精通.从中找出8人,使他们可以组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,这两个小组能同时工作,问:这样的8人名单共可开出几张? 解 这是一个“多面手”(英、日语都会的人)问题,可按“多面手”的参与情况进行分类. (方法一)按“多面手”参与英语翻译组的情况进行分类. 设集合A={只会翻译英语的5人},B={只会翻译日语的4人},C={同时精通英、日语的2人},则完成此事应分为三类: (1)英语翻译组4人全部来自A,共=75种方法; (2)英语翻译组4人中,3人来自A,1人来自C,共=100种方法; (3)英语翻译组4人中,2人来自A,2人来自C,共=10种方法. 根据分类计数原理,这样的8人名单共可开出75+100+10=185(张). (方法二)按“多面手”参与日语翻译的情况进行分类. (1)日语翻译组4人全部来自B,共=35种方法; (2)日语翻译组4人中,有3人来自B,1人来自C,共=120种方法; (3)日语翻译组4人中,有2人来自B,2人来自C,共=30种方法. 根据分类计数原理,这样的8人名单共可开出35+120+30=185(张). 规律方法　对于多面手问题可以从多面手的入选情况分类(多面手选1人,选2人等等来做单面手的工作,其他人员待选),也可以从单面手的入选情况来分类(多面手留着待选). 跟踪训练3某校去年11月份,高二年级有10人参加了赴外国交流访问团,其中3人只会唱歌,2人只会跳舞,其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演,3人唱歌,3人跳舞,不同的选法有(　　) A.675种 B.575种 C.512种 D.545种 A 解析 根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.第一类2个只会跳舞的都不选,则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞,接着从剩余的5人中选择3人唱歌,故有=100(种);第二类2个只会跳舞的有1人入选,有种,再从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞,有种,再从剩余的6人中选择3人唱歌,有种,故有=400(种);第三类2个只会跳舞的全入选,有种,再从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞,有种,再从剩余的7人中选择3人唱歌,有种,故有=175(种),所以共有100+400+175=675种不同的选法,故选A. 【题型三】分组与分配问题 例 3 (1)若方程x1+x2+x3+x4=8,其中x2=2,则方程的正整数解的个数为(　) A.10 B.15 C.20 D.30 A 解析 因为方程x1+x2+x3+x4=8,其中x2=2,则x1+x3+x4=6,将其转化为有6个完全相同的小球,排成一列,利用挡板法将其分成3组,第一组小球数目为x1;第二组小球数目为x3;第三组小球数目为x4,共有=10种方法,故方程的正整数解的个数为10,故选A. (2)有5人参加某会议,现将参会人员安排到酒店住宿,要在a,b,c三家酒店选择一家,且每家酒店至少有一个参会人员入住,则这样的安排方法共有(　) A.96种 B.124种 C.150种 D.130种 C 解析 根据题意分2步进行,①5人在a,b,c三家酒店选择一家,且每家酒店至少有一个参会人入住,可以把5人分成三组,一种是按照1,1,3分组,另一种是按照1,2,2分组.当按照1,1,3来分时共有=10种分组方法,当按照1,2,2来分时共有=15种分组方法,故一共有10+15=25种分组方法;②将分好的三组对应三家酒店,有=6种对应方法,则安排方法共有25×6=150(种),故选C. (3)将5个不同的小球装入编号为1,2,3,4的4个盒子中,不允许有空盒子出现,共　　　　种放法;若将5个相同的小球放入这4个盒子中,允许有空盒子出现,共　　　　种放法.(结果用数字作答)  240　 56　 解析 5个不同的小球分成4组,每组个数分别为1,1,1,2,不同的分组情况有=10种方法,再将4组球放入4个不同的盒子,共=240种方法;5个相同的小球放入4个盒子,若允许有空盒子,可先借4个小球,共9个小球,再用隔板法分成4组放入盒子,共=56种方法. 例 4 现有6本不同的书,如果满足下列要求,分别求分法种数. (1)分成三组,一组3本,一组2本,一组1本; (2)分给三个人,一人3本,一人2本,一人1本; (3)平均分成三个组,每组两本. 解 (1)根据题意,第一组3本有种分法,第二组2本有种分法,第三组1本有1种分法,所以共有×1=60种分法. (2)根据题意,先将6本书分为1,2,3的三组,有×1=60种分法,再将分好的三组分给3人,有=6种情况,所以共有60×6=360种分法. (3)根据题意,将6本书平均分为3组,有=15种不同的分法. 规律方法　分组与分配问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题 ①对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以(n为均分的组数),避免重复计数. ②对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组数的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,分组过程中有几个这样的均匀分组,就要除以几个这样的全排列数. ③对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数. (2)对于相同元素的“分配”问题,常采用的方法是“隔板法”. 隔板法:将n(n∈N*,n≥2)个完全相同的元素分成m份(m∈N*,m≤n),每份至少一个的分法种数可按下列方法得到. ①将n个元素排成一排,在它们中间共有(n-1)个位置; ②在这(n-1)个位置中插入(m-1)个挡板,恰好把n个元素分成m份,每份至少一个; ③由组合数的定义可知共有种分法. 跟踪训练4学校有6个优秀学生名额,要求分配到高一、高二、高三,每个年级至少1个名额,则分配方案有(　　) A.135种 B.10种 C.75种 D.120种 B 解析 “学生名额”是相同元素,故相同元素分配分组问题,用“隔板法”,故有=10(种),故选B. 跟踪训练5设有99本不同的书(用排列数、组合数作答), (1)分给甲、乙、丙3人,一人得93本,另两人各得3本,共有多少种不同的分法? (2)分成3份,一份93本,另两份各3本,共有多少种不同的分法? 解 (1)99本不同的书,分给甲、乙、丙3人,一人得93本,另两人各得3本,3人中,谁都有得到93本的可能,所以不同的分法共有(种). (2)99本不同的书,分成3份,一份93本,另两份各3本,两份3本的有重复,所以不同的分法共有(种). 【题型四】排列组合的综合问题 例 5 [链接教材例6]有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数. (1)有女生但人数必须少于男生; (2)A女生一定担任语文课代表; (3)B男生必须包括在内,但不担任语文课代表. 解 (1)先选后排,5人可以是2女3男,也可以是1女4男,所以先选有种,后排有种,所以共有不同选法()·=5 400(种). (2)除去一定担任语文课代表的A女生后,先选后排,共有不同选法=840(种). (3)先选后排,但先安排不担任语文课代表的该男生,所以共有不同选法=3 360(种). 例 6 (1)用五种不同的颜色给如图所示的四块区域涂色,要求相邻的区域颜色不同,则一共有多少种不同的涂色方法? (2)记正方体中两条平行的棱为一对“平行棱”,现从正方体所有棱中任取4条,要求至少得到2对“平行棱”,则一共有多少种不同的取法? 解 (1)若选择四种颜色,则有=120种不同的涂色方法;若选择三种颜色,则有=60种不同的涂色方法,故一共有120+60=180种不同的涂色方法. (2)正方体中一共有3组,每组有4条分别平行的直线,则: 若4条棱中恰有2对“平行棱”,则2对分别来自不同的2组,每组2条,不同的取法有=108(种); 若4条棱中恰有3对“平行棱”,则3对分别来自不同的2组,一组1条,一组3条,则不同的取法有=96(种); 若4条棱中恰有6对“平行棱”,则6对均来自同一组,一组4条,则不同的取法有=3(种). 故从所有棱中任取4条,且至少得到2对“平行棱”一共有108+96+3=207种不同的取法. 规律方法　解决排列组合综合计数问题,关键是设计完成一件事情的合理过程,“先选后排”是解决这类问题常用的策略.要分清需要完成的事情与顺序是否有关,要优先考虑特殊的元素或特殊的位置,还要多角度思考问题,用多种方法验证计算结果. 跟踪训练6用0~9这10个数字组成无重复数字的四位数,求其中比7 630大的数的个数. 解 若千位是8,9,有=1 008(个).若千位是7,百位是8,9,有=112(个).若千位是7,百位是6,有=34(个).共1 008+112+34=1 154(个). 跟踪训练7在混放在一起的6件不同的产品中,有2件次品,4件正品.现需要通过检测将其区分,每次随机抽取一件进行检测,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. (1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品,求共有多少种不同的抽法; (2)已知每检测一件产品需要100元费用,求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种. 解 (1)由题意知,第一次抽到的必是正品,共抽取4次或5次检测结束,第1次抽到的是正品有种抽法;第2次抽到的是次品有种抽法;第3次抽到的是正品有种抽法;当抽取4次结束时,第4次抽到的必是次品,共有=24种抽法;当抽取5次结束时,若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品,则共有=48种抽法;若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品,则共有=48种抽法.综上,第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法. (2)由题意知,检测费用为400元,说明一共抽取了4次检测结束,共有以下两种情况:①4次抽到的均为正品,共有=24种抽法;②前3次抽到2件正品,1件次品,且第4次抽到的是次品,共有=72种抽法.所以,检测结束时,检测费用为400元的抽法共有96种. $