7.3 第2课时 组合数的性质及应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦组合数的性质及应用，通过篮球比赛选队员情境导入，从实际问题抽象出组合数性质，衔接组合数定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过运动队选派等典例的直接法、间接法训练数学思维，结合选科、食堂搭配实例用数学语言解决问题。帮助学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

第2课时　组合数的性质及应用 1 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 2 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛.包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人. 【问题】　可以形成多少种队员上场方案？又可以形成多少种队员不上场 方案？这两种方案有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点　组合数的性质 1. ＝ ⁠. 2. ＝ ＋ （n，m∈N*，并且m≤n）. 　　提醒：（1）性质1，体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想.两 边下标相同，上标之和等于下标；（2）性质2，下标相同而上标差1的两个 组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数. 　 　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 若方程 ＝ ，则x＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或3 解析： 　由方程 ＝ 和组合数性质可得，在两个组合数下标相同的情 况下，当两个组合数上标和等于下标时，两个组合数相等，即x＋2＝5，x ＝3；当两个组合数上标相同时，两个组合数相等，即x＝2.故x＝2或3. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 计算： － ＝ ⁠. 解析： － ＝ － ＝ － ＝120. 3. 计算 ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析：原式＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝126. 120 126 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜组合数的性质及应用 【例1】　（链接教科书第81页习题10题）（1） ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ⁠； 解析： 因为 ＝ ，所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝（ ＋ ） ＋ ＋…＋ ＝（ ＋ ）＋ ＋…＋ ＝…＝ ＝ ＝7 315. （2）已知 － ＝ ，则n＝ ⁠. 解析： 由 － ＝ 得 ＝ ＋ ，由组合数的性质，可 得 ＝ ，故8＋7＝n＋1，解得n＝14. 7 315 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 应用组合数性质解题的一般思路 （1）当 中的m＞ 时，常利用组合数的性质1来进行转化，减少计 算量； （2）性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要 注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是 “合二为一”，使用变形 ＝ － ，为某些项前后抵消提供了 方便，在解题中要注意灵活应用. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　计算：（1）（ ＋ ）÷ ； 解：原式＝（ ＋ ）÷ ＝ ÷ ＝ ÷ ＝ 1÷ ＝ . （2） ＋ ＋…＋ . 解：法一　原式＝ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝ ＝330. 法二　原式＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝…＝ ＋ ＝ ＝330. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜有限制条件的组合问题 【例2】　（链接教科书第76页例4）某运动队有男运动员6名，女运动员4 名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； 解：第1步：选3名男运动员，有 种选法；第2步：选2名女运动 员，有 种选法，故共有 × ＝120（种）选法. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）至少有1名女运动员. 解：法一（直接法）　“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1 女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类计数原理知共有 × ＋ × ＋ × ＋ × ＝246 （种）选法. 法二（间接法）　不考虑条件，从10人中任选5人，有 种选法，其中全 是男运动员的选法有 种，故“至少有1名女运动员”的选法有 － ＝246（种）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 有限制条件的组合问题分类 （1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取 出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； （2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类 法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重 不漏. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下 述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种 荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天午餐不同的搭配方法共有（　　） A. 210种 B. 420种 C. 56种 D. 22种 解析： 　由分类计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所求，所以 每天午餐的不同搭配方法共有 ＋ ＝210（种）. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若 甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有（　　） A. 27种 B. 18种 C. 36种 D. 48种 解析： 　当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有 ＝9 （种）；当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有 ＝18（种）， 则甲、乙总的选法共有9＋18＝27（种）. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个 球同色的不同取法有（　　） A. 27种 B. 24种 C. 21种 D. 18种 解析： 　分两类：一类是2个白球有 ＝15（种）取法，另一类是2个黑 球有 ＝6（种）取法，所以共有15＋6＝21（种）取法. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. ＋ ＝ ⁠. 解析： ＋ ＝ ＋ ×1＝ ＋ ＝56＋4 950＝5 006. 5 006 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10 名医疗专家中有4名是外科专家.问： （1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ 解：首先从4名外科专家中任选2名，有 种选法，再从除外科 专家外的6名专家中选取4名，有 种选法，所以共有 ＝90 （种）抽调方法. （2）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 解：至多有2名外科专家的抽调方法有 ＋ ＋ ＝115（种）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 从2位女生，4位男生中选3人参加比赛，且至少有1位女生入选，则不同 的选法共有（　　） A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 解析： 　选3人分两种情况：若选1女2男，则有 ＝12（种）选法； 若选2女1男，则有 ＝4（种）选法，根据分类计数原理可得，共有12 ＋4＝16（种）选法.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同 的放法有（　　） A. 种 B. 种 C. 58种 D. 85种 解析： 　由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要 选出5个不同的盒子即可.故共有 种不同的放法. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 方程 ＝ 的解为（　　） A. 4或9 B. 4 C. 9 D. 其他 解析： 　当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　原式＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝… ＝ ＋ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信 封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 （　　） A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 解析： 　先将1，2捆绑后放入信封中，有 种放法，再将剩余的4张卡片 放入另外两个信封中，有 （种）放法，所以共有 ＝18（种） 放法. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政 治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物 理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择 2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在 物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目， 下列说法正确的是（　　） A. 若任意选科，选法总数为 B. 若化学必选，选法总数为 C. 若政治和地理至多选一门，选法总数为 ＋ D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为 ＋ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中 任选2科，根据分步计数原理，可得选法总数为 种，所以A正确；对 于B中，先从物理、历史中选1门，有 种选法，若化学必选，再从生物、 政治、地理中再选1门，有 种选法，由分步计数原理，可得选法共有 种，所以B正确；对于C中，先从物理和历史中选1门，有 种选法， 若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有 种选法，若 政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，由分类计数 原理，可得共有 ＋ ，所以C正确；对于D中，若物理必选，只有 1种选法，若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有 种选 法，若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类计数原理，可得选法总数 为 ＋1，所以D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 的值为 ⁠. 解析：法一　原式＝1＋5＋ ＋ ＋5＋1＝32. 32 法二　原式＝2（ ＋ ＋ ）＝2（ ＋ ）＝2× ＝32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入 选，则共有 种不同的选派方案（用数字作答）. 解析：根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙两位同学只有一人入选，只 需从剩余的6人中再选出3人，有 ＝40（种）选派方案；②甲、乙两位 同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有 ＝15（种）选派方 案.则共有40＋15＝55（种）选派方案. 55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五项运 动可以选择，则共有 种运动组合方式. A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 7点～8点 8点～9点 9点～10点 10点～11点 11点～12点 30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟 解析：若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，并且选 择两项运动的情况中，AB，DB，EB的组合方式是不符合题意的，选择 三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于60分钟，因此组合方式共有 ＋ ＋ ＋ －3＝23（种）. 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 计算：（1） ＋ × ； 解：原式＝ ＋ ×1＝ ＋ ＝35＋1 225＝1 260. （2） － . 解：原式＝ － ＝1＋ － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 从10名大学毕业生中选3人担任村民委员会主任助理，则甲、乙至少有 1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（　　） A. 28 B. 49 C. 56 D. 85 解析： 　依题意得，满足条件的不同选法的种数为 ＋ ＝49. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 某书店有11种杂志，其中2元1本的有8种，1元1本的有3种.小张用10元 钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数 是 （用数字作答）. 解析：10元钱刚好用完有两种情况：5种2元1本的；4种2元1本的和2种1元1 本的.分两类完成： 第1类，买5种2元1本的，有 种不同买法；第2类，买4种2元1本的和2种1 元1本的，有 × 种不同买法.根据分类计数原理，可得不同买法的种 数是 ＋ × ＝266. 266 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知 ＝ ，则 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析：∵ ＝ ，∴m＝11，∴ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝120. 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 课外活动小组共有13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指 定1名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件，各有多少种不同的 选法？ （1）只有1名女生； 解： 1名女生，4名男生，故共有 ＝350种不同的选法. （2）2名队长当选； 解： 将2名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有 ＝165种 不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）至少有1名队长当选； 解： 法一（直接法）　至少有1名队长含有两类：有1名队长和2名队 长，故共有 ＋ ＝825种不同的选法. 法二（间接法）　 － ＝825. （4）至多有2名女生当选. 解： 至多有2名女生含有3类：有2名女生，只有1名女生，没有女生， 故共有 ＋ ＋ ＝966种不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 规定 ＝ ，其中x∈R，m∈N*且 ＝1. 这是组合数 （n，m∈N*且m≤n）的一种推广. （1）求 的值； 解： ＝ ＝－ ＝－11 628. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：性质①不能推广，例如：当x＝ 时 有定义，但C 无意义. 性质②能推广，其推广形式为 ＋ ＝ ，x∈R，m∈N*. 证明：当m＝1时，有 ＋ ＝x＋1＝ 成立. 当m≥2时， ＋ ＝ ＋ （2）组合数的两个性质为：① ＝ ；② ＋ ＝ .问： 是否都能推广到 （x∈R，m∈N*）？若能推广，则写出推广的形式， 并给出证明，若不能，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 ＝ （ ＋1） ＝ · ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $