7.4.2二项式系数的性质及应用（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦二项式系数的对称性、增减性与最大值、各系数和三大核心性质，通过杨辉三角历史文化情境及乘车路线问题导入，承接上节二项式定理，引导学生观察探究，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合历史文化与现实问题培养数学眼光，通过小组合作推导性质发展数学思维，借助赋值法等精准解决问题强化数学语言。如杨辉三角情境激发兴趣，小组证明对称性培养推理能力，例题区分二项式系数与项的系数提升应用意识，助力学生深化理解，教师高效教学。

7.4.2 二项式系数的性质及应用 第7章 计数原理 苏教版·选修二下册 学 习 目 标 1 2 3 掌握二项式系数的三大核心性质（对称性、增减性与最大值、各二项式系数和），能准确表述性质的数学形式及几何意义。 理解二项式系数性质的推导逻辑，能运用组合数性质、函数思想、赋值法对性质进行简单证明。 能灵活运用二项式系数的性质解决二项式系数的大小比较、最大值求解、系数和计算等问题，区分“二项式系数”与“项的系数”。 一、情境引入，激趣导思 二项式系数性质及应用 杨辉三角的历史文化情境 同学们，上一节课我们学习了二项式定理，知道了的展开式为，其中（）叫做二项式系数。 现在请大家计算一下当时，对应的二项式系数，并将它们按如下方式排列： n=0：1 n=1：1 1 n=2：1 2 1 n=3：1 3 3 1 n=4：1 4 6 4 1 n=5：1 5 10 10 5 1 其实，这就是我们中国古代数学家杨辉在1261年提出的“杨辉三角”，它蕴含着二项式系数的诸多奥秘! 一、情境引入，激趣导思 二项式系数性质及应用 初探杨辉三角的秘密 (a+b)⁰: 1 (a+b)¹: 1 1 (a+b)²: 1 2 1 (a+b)³: 1 3 3 1 (a+b)⁴: 1 4 6 4 1 (a+b)⁵:1 5 10 10 5 1 1. 观察这个数表，你能发现什么规律？ 2. 每行的数字与展开式的系数有什么关系？ 3. 计算每行的数字之和，你发现了什么？ 4. 每行中最大的数在什么位置？有什么规律？ 一、情境引入，激趣导思 二项式系数性质及应用 乘车路线 某城市地铁线路规划，从A站到B站需要经过n个中间站。若每个站都有”经过”或”不经过”两种选择，问共有多少种不同的乘车路线？ …… n个车站都不经过： n个车站经过1个： n个车站经过2个： …… n个车站经过n个： 二、师生互动，探究新知 二项式系数性质及应用 探究二项式系数表的特点 探究问题 学生活动 成果汇报 对称性 观察每行数字，发现 思路：从组合数意义或公式证明 递推性 发现每个数等于肩上两数之和 证明： 增减性 计算相邻两项比值，分析单调性 建立函数，求最值 求和 令，得到系数和为 引导赋值法的应用 二项式系数性质及应用 小组合作探究 将学生分为4组，每组探究一个性质，然后展示交流： 组别 性质内容 证明/推导/结论 第1组（对称性） Cₙᵐ = Cₙⁿ⁻ᵐ 证明：Cₙᵐ = Cₙⁿ⁻ᵐ = 两者相等；几何意义：杨辉三角左右对称 第2组（递推性） Cₙᵐ + Cₙᵐ⁻¹ = Cₙ₊₁ᵐ 证明：通分合并符合组合数公式；杨辉三角构造法则：每个数等于它肩上两个数之和 第3组（增减性与最值） r时，Cₙʳ递增；r时，Cₙʳ递减；结论：n偶，最大；n奇，=最大 第4组（求和公式） 二项式系数和、奇偶项和 a=b=1：二项式系数和2ⁿ；a=1,b=-1：奇数项和=偶数项和=2ⁿ⁻¹ 二、师生互动，探究新知 二项式系数性质及应用 探究对称性 提问引导：请大家观察刚才排列的杨辉三角，每一行的数字有什么对称特征？比如n=4时，系数1,4,6,4,1，首尾对应的数字有什么关系？ 二、师生互动，探究新知 小组讨论：前后4人一组，结合组合数的定义，思考这种对称性用组合数符号如何表示？为什么会出现这种对称性？ 展示反馈：邀请2-3个小组代表发言，分享发现的规律和思考过程，教师引导学生总结出“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”，即，并结合组合数的意义（从n个元素中选k个与选n-k个的选法数相等）解释对称性的本质。 二项式系数性质及应用 探究增减性与最大值 动手操作：请大家在练习本上画出n=6和n=7时的二项式系数，观察这两行系数的变化趋势，思考：二项式系数是如何随k的变化而变化的？最大值出现在什么位置？ 二、师生互动，探究新知 合作探究：小组内对比n为偶数（n=4,6）和n为奇数（n=3,5,7）时的二项式系数，讨论：当n为偶数和奇数时，二项式系数的最大值分别有几个？对应的k值是多少？ 共同验证（1）计算相邻两项二项式系数的比值，（2）分析比值与1的大小关系，进而证明二项式系数的增减规律，完善最大值的结论。 二项式系数性质及应用 探究各二项式系数的和 二、师生互动，探究新知 观察猜想 请大家计算杨辉三角中每一行数字的和（n=0到n=5），看看能发现什么规律？猜想n为任意正整数时，二项式系数的和是多少？ 自主推导 请同学们结合二项式定理，思考如何通过给a、b赋特殊值，证明自己的猜想。【提示】如何才能去掉未知数，只留下二项式系数？ 自主推导 提问“奇数项二项式系数的和与偶数项二项式系数的和有什么关系？”， 通过赋值a=1、b=-1推导得出。 三、归纳概括，构建体系（讲解） 二项式系数性质及应用 表述 对于二项式，其展开式的二项式系数满足（）。 推导 由组合数的性质，，二者相等，故性质成立。 几何意义 二项式系数对应的离散函数图象（以k为自变量，为函数值）关于直线对称。 对称性 三、归纳概括，构建体系（讲解） 二项式系数性质及应用 增减性 二项式系数随k的增大先增大后减小。具体来说： 当时，，二项式系数递增； 当时，，二项式系数递减。 最大值： （1）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即最大项为； （2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，即最大项为和。 增减性与最大值 三、归纳概括，构建体系（讲解） 二项式系数性质及应用 核心结论 。 推导方法 赋值法——在二项式定理中，令a=1、b=1，左边为，右边为所有二项式系数的和，故等式成立。 延伸结论 奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和，即（推导：令a=1、b=-1，化简可得）。 各二项式系数的和 四、巩固新知，学以致用（例题） 二项式系数性质及应用 对称性与最大值应用 已知的展开式中，二项式系数最大的项是第6项和第7项，求n的值，并求所有二项式系数的和。 分析：根据二项式系数的最大值性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，且最大项的项数为和，结合题意可列方程求解n，再利用性质3求二项式系数和。 解：∵ 二项式系数最大的项是第6项和第7项，∴ 展开式共有12项（第6项和第7项为中间两项），即n+1=12，解得n=11。 根据性质3，所有二项式系数的和为= 2048。 四、巩固新知，学以致用（例题） 二项式系数性质及应用 二项式系数和的应用 已知的展开式中，所有二项式系数的和为64，求： （1）n的值；（2）奇数项二项式系数的和；（3）展开式中所有项的系数和。 （1）求 n 的值 二项式 所有二项式系数的和为 。 已知 的二项式系数和为 ，因此：解得 。 （2）求奇数项二项式系数的和 二项式系数中，奇数项的和等于偶数项的和，且总和为 。 当 时： （3）求展开式中所有项的系数和 求展开式所有项的系数和，只需令 ，代入原式计算： 四、巩固新知，学以致用（例题） 二项式系数性质及应用 二项式系数和的应用 已知，求： ；2.；3.。 第1问 令： ① 令： 所以 第2问 令： ② ①②得： 所以 第3问 ①②得： 所以 因为， 所以 四、巩固新知，学以致用（例题） 二项式系数性质及应用 二项式系数与定理结合 已知的展开式的二项式系数的和比的展开式的二项式系数的和大992，求的展开式中：1.二项式系数最大的项；2.系数的绝对值最大的项。 第1问 由题意： 设，则，解得（舍去负根） 所以，，,n=5。 第2问 设第项系数的绝对值最大： 求n 问1 展开式共11项，第6项的二项式系数最大： 设项 比较 解得：，即，所以系数的绝对值最大的项是第4项： 四、巩固新知，学以致用（例题） 二项式系数性质及应用 二项式系数比大小 比较与、的大小关系。 分析 分析：利用二项式系数的对称性和增减性，先通过对称性将转化为，再结合增减性比较大小。 解答 由对称性可知，。 对于n=10（偶数），二项式系数的增减性为：当k < = 5.5时，二项式系数递增。 ∵ 3 < 4 < 5.5，∴ 。 综上，。 小结 比较二项式系数大小时，可先利用对称性转化为k较小的项，再结合增减性判断，避免繁琐计算。 内化于心，融会贯通（练习） 二项式系数性质及应用 已知的展开式中，二项式系数最大的项是第5项，求n的值及最大二项式系数。 解：∵ 二项式系数最大的项是第5项，∴ 展开式共有9项（第5项为中间项），即n+1=9，解得n=8。 最大二项式系数为。 求的展开式中，所有二项式系数的和、奇数项二项式系数的和。 解：（1）所有二项式系数的和为 = 256； （2）奇数项二项式系数的和为 = 128。 内化于心，融会贯通（练习） 二项式系数性质及应用 比较与、的大小关系。 解：由对称性可知，。 对于n=12（偶数），，当k < 6.5时，二项式系数递增。 ∵ 4 < 5 < 6 < 6.5，∴ ，即。 已知的展开式中，所有二项式系数的和为128，求展开式中所有项的系数和。 解：由题意，所有二项式系数的和为 = 128)，解得n=7。 令x=1，得展开式中所有项的系数和为= = 1。 内化于心，融会贯通（练习） 二项式系数性质及应用 若的展开式中，二项式系数最大的项是第4项和第5项，则n=（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 B 解析：二项式系数最大的项是第4项和第5项，说明展开式共有8项，故n+1=8，n=7。 求的展开式中，所有二项式系数的和为______，奇数项二项式系数的和为______。 16 解析：所有二项式系数的和为 = 32；奇数项二项式系数的和为= 16。 内化于心，融会贯通（练习） 二项式系数性质及应用 比较与的大小，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 C 解析：由对称性可知，，也可通过增减性判断，n=9（奇数），中间两项系数相等。 已知的展开式中，所有二项式系数的和为64，求： （1）n的值；（2）展开式中所有项的系数和；（3）展开式中二项式系数最大的项的系数。 （1）由题意，所有二项式系数的和为 = 64)，解得n=6。（2）令x=1，得展开式中所有项的系数和为(1+2)^6 = = 729。（3）n=6（偶数），二项式系数最大的项是第4项，该项的二项式系数为，该项的系数为。 学海拾贝，智启未来（小结） 二项式系数性质及应用 知识梳理 核心内容 二项式系数的三大性质（对称性、增减性与最大值、各二项式系数和），是本节课的重点，需熟练掌握性质的表述、推导方法及应用场景。 关键方法 赋值法（用于求解二项式系数和、项的系数和）、数形结合思想（通过杨辉三角、函数图象理解性质）、分类讨论思想（根据n的奇偶性判断最大二项式系数）。 易错点 区分“二项式系数”与“项的系数”，避免混淆；运用赋值法时，明确赋值目的（如x=1求系数和，x=-1求奇偶项系数和）。 学海拾贝，智启未来（小结） 二项式系数性质及应用 思想方法总结 探究过程 遵循“观察—归纳—猜想—证明”的思路，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的数学探究方法。 核心思想 数形结合思想（将二项式系数与杨辉三角、离散函数图象结合）、函数思想（将二项式系数视为离散函数，研究其单调性和最值）、赋值法（特殊化思想在恒等式中的应用）。 感谢聆听! $