7.4.2 二项式系数的性质及应用（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

7.4.2　二项式系数的性质及应用 1.在（a－b）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是（　　） A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2.的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是（　　） A.－15 B.－20 C.15 D.20 3.（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n的展开式中各项系数之和为（　　） A.2n＋1 B.2n－1 C.2n＋1－1 D.2n＋1－2 4.若x10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a10（x－1）10，则a8的值为（　　） A.10 B.45 C.－9 D.－45 5.〔多选〕关于（a－b）11的说法，正确的是（　　） A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最大 6.〔多选〕已知（x－1）n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则（　　） A.n＝7 B.所有项的系数和为0 C.偶数项的系数和为－64 D.展开式的中间项为－35x3和35x4 7.在（1＋2x）8的展开式中，第　　　　项的二项式系数最大，该项的系数是　　　　. 8.已知展开式的各项系数和为243，则展开式中含x7的项的二项式系数为　　　　. 9.已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝　　　　. 10.设（2x－1）7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，求｜a1｜＋2｜a2｜＋3｜a3｜＋4｜a4｜＋5｜a5｜＋6｜a6｜＋7｜a7｜的值. 11.〔多选〕已知（ax2＋）n（a＞0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是（　　） A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 12.设n为正整数，（a＋b）2n的展开式中二项式系数的最大值为x，（a＋b）2n＋1的展开式中二项式系数的最大值为y，若13x＝7y，则n＝　　　　. 13.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第　　　　行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3. 14.设（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： （1）a1＋a2＋a3＋a4； （2）（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2； （3）｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜. 15.已知（ax－）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1. （1）求n和a的值； （2）展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.2　二项式系数的性质及应用 1.B　第6项的二项式系数为，又因为＝，所以第16项符合条件. 2.C　因为只有第4项的二项式系数最大，得n＝6，所以的展开式的通项为Tk＋1＝（x2）6－k·＝（－1）kx12－3k.令12－3k＝0得k＝4，所以展开式中的常数项是（－1）4＝15.故选C. 3.D　令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.故选D. 4.B　x10＝[1＋（x－1）]10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a10（x－1）10，∴a8＝＝＝45. 5.AC　（a－b）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确. 6.ABC　由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，（x－1）7的展开式中共有8项，且奇数项系数为正，偶数项系数为负，各项的系数的绝对值与其二项式系数相等.取x＝1代入二项式得所有项的系数和为0，则偶数项的系数和为－64.展开式的中间项为第4项与第5项，T4＝x4·（－1）3＝－35x4，T5＝x3·（－1）4＝35x3，故A、B、C正确，D错误. 7.5　1 120　解析：因为n＝8，展开式有9项，中间项即第5项的二项式系数最大；又T5＝（2x）4＝1 120x4，故第5项系数是1 120. 8.10　解析：∵展开式的各项系数和为243，∴令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.∴展开式的通项Tr＋1＝25－rx15－4r，r∈{0，1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中含x7的项的二项式系数为＝10. 9.－256　解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝32，两式相减可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256. 10.解：对（2x－1）7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7的两边同时求导， 得14（2x－1）6＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6， 其中（2x－1）6展开式的通项为＝（2x·（－1）r＝··（－1）r·， 所以当r为奇数时系数为负数，r为偶数时系数为正数， 即a1＞0，a3＞0，a5＞0，a7＞0，a2＜0，a4＜0，a6＜0， 令x＝－1，则a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7＝14×（－2－1）6＝10 206， 所以｜a1｜＋2｜a2｜＋3｜a3｜＋4｜a4｜＋5｜a5｜＋6｜a6｜＋7｜a7｜＝10 206. 11.BCD　因为（ax2＋）n（a＞0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以＝，解得n＝10.因为展开式的各项系数之和为1 024，所以令x＝1，得（a＋1）10＝1 024，又a＞0，所以a＝1.则原式为（x2＋）10，其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝×（x2）10－k×（）k＝.展开式中奇数项的二项式系数之和为×1 024＝512，故A错误；因为展开式中二项式系数与对应项的系数一样，且展开式有11项，所以展开式中第6项的系数最大，故B正确；令20－k＝0，解得k＝8，又0＜8＜10，所以展开式中存在常数项，故C正确；令20－k＝15，解得k＝2，又＝45，故D正确. 12.6　解析：由题意知x＝，y＝，因为13x＝7y，所以13＝7，即13×＝7×，即13＝7×，故13×（n＋1）＝7×（2n＋1），解得n＝6. 13.34　解析：由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以∶＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3. 14.解：（1）由（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， 令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 令x＝0，得（0－3）4＝a0， 所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0 ＝1－81＝－80. （2）在（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4. ① 令x＝－1，得（－2－3）4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.② 所以（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2 ＝（a0－a1＋a2－a3＋a4）（a0＋a1＋a2＋a3＋a4） ＝（－2－3）4（2－3）4＝（2＋3）4（2－3）4＝625. （3）由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负， 由（2）中①＋②得2（a0＋a2＋a4）＝626， 由（2）中①－②得2（a1＋a3）＝－624， 所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜ ＝－a1＋a2－a3＋a4 ＝（a0＋a2＋a4）－（a1＋a3）－a0 ＝313＋312－81＝544. 15.解：（1）由题意得，＋＋＝16， 即1＋n＋＝16. 解得n＝5或n＝－6（舍去）， 所以n＝5. 因为所有项的系数之和为1，令x＝1， 所以（a－1）5＝1，解得a＝2. （2）不存在.理由如下： 因为（ax－）n＝（2x－）5， 所以Tk＋1＝（2x）5－k（－）k＝（－1）k25－k（k∈N*）. 令5－＝0，解得k＝∉N*，所以展开式中不存在常数项. （3）由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大， 二项式系数最大的两项为T3＝（－1）2·25－2x5－3＝80x2，T4＝（－1）3·25－3＝－40. 学科网（北京）股份有限公司 $