精品解析：2026年广东茂名市高州市四校创优中考模拟考试一模数学试题

2025-2026学年度第二学期创优中考模拟 九年级数学试卷 说明： 1.全卷共8页，考试用时120分钟，满分为120分． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数等于（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 《哪吒之魔童闹海》作为中国首部破百亿电影，登顶全球影史票房榜第五名，截至2026年4月17日，总票房大约为亿元，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 窗花是中国古老的汉族传统民间艺术之一，深受国内外人士所喜爱．下列窗花剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如下是今年高州市“五一小长假”的几个热门旅游景区的票价一览表，下列说法中不正确的是（ ） 景区名称 玉湖风景区 仙人洞风景区 粤龙山风景区 古郡越野 古郡水上乐园 票价（元） 28 184 28 100 80 A. 平均数是84 B. 中位数是100 C. 众数是28 D. 极差是156 5. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 9. 高州市开展双创工作，城建局计划对市中心一块正方形的空地美化，设计如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形花圃，其余部分铺上鹅卵石．喷泉和花圃的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为4m，铺上鹅卵石区域的面积为，设水池半径为，可列出方程（ ） A. B. C. D. 10. 如下图是茂名市滨海新区规划建设的“智慧农业示范园”，其中一块菱形试验田边长为2米，设计角．如图2，为适应季节性作物轮作，需折叠田埂和，使两角顶点重合于田地对角线上的调节点，、为折叠后新田埂，设米．下列判断正确的是（ ） ①当时，米； ②田埂总长度随变化而改变； ③折叠后六边形种植区的最大面积为平方米； ④六边形种植区的周长保持不变． A. ①②③ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若实数、满足，则______． 12. 分解因式：______． 13. 某中学举行的五四青年节文艺比赛中，5名参赛选手的成绩分别是：8，7，8，7，10，这5名选手的方差是______． 14. 已知，则代数式的值是______． 15. 如图，将一个矩形纸片三次折叠：第一次沿折线折叠，使角落在边的点；第二次展开后沿折线折叠，使角落在折痕的点；第三次沿折线折叠，使角恰好落在折痕的点．已知折叠后，纸片无拉伸，则______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再从不等式的正整数解中，选一个使原式有意义的数代入求值． 17. 在高州市曹江镇新开发了一个旅游景点“高州第一滩”，今年的“五一劳动节”假期吸引了大量的游客前往游玩，但是也留下了很多废弃的垃圾，由此党委镇政府也成立了“河滩清洁行动”小组．现有甲、乙两支志愿者队伍同时从河滩入口出发前往不同区域清理垃圾．甲队出发1分钟后乙队才出发，（米）表示两队离河滩入口的距离，（分钟）表示甲队行走的时间．图中两条直线分别表示甲、乙两队离河滩入口的距离与甲队行走时间的函数关系． （1）求甲队离河滩入口的距离与行走时间的函数关系式． （2）若河滩上有一处距离入口800米的区域垃圾较多，问哪支队伍先到达该区域？早到几分钟？ 18. 为助力茂名市创建“全国文明城市”，某中学积极响应全民健身号召，在“五四青年节”期间组织全校学生参与体能达标测试，随机抽取部分学生成绩进行统计，将结果分为A，B，C，D四个等级，绘制如下图表．请结合图表信息解答问题：成绩等级频数分布表 成绩等级频数分布表 成绩等级 频数 A 24 B 10 C D 2 合计 （1）根据创文工作要求，达标率需高于．请补全表格______，______，并计算扇形图中表示C等级的圆心角度数为______度； （2）为选拔学生代表参加“茂名市青少年体育竞赛”，学校需从A等级的甲、乙、丙三名学生中随机抽取两人组队．请用列表法或树状图法，求恰好抽到甲和乙的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图1，位于茂名市滨海新区的“小东江观景台”呈圆形，其直径为江面主景观轴，是连接观景台入口的弧形步道．点为江畔的“灯塔广场”，经测量发现（视角与观景台结构角相等）． （1）请证明：与相切． （2）如图2，为优化景区路线，规划部门将灯塔广场与步道端点及观景台中心连接，新增道路、，并测得主景观轴长度．证明：； 20. 三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵元． （1）若用元购买护肤套装与用元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格； （2）在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的倍，如何购买才能使总费用最少？ 21. 综合与实践∶ 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图 1，在 中， （1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形． （3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图像如图③． 【问题解决】 （1）若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______； （2）当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围； （3）在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值． 23. 【问题提出】 （1）如图1，高州根子镇荔枝产业园规划矩形示范区，点、为无人采摘车导航基站．连接运输路径与交于点，因古荔枝树保护要求，试证明：古树保护区运输效率比： 【迁移应用】 （2）如图2，冼太文化广场采用平行四边形光伏地砖米，米．点、为智慧照明节点，连接电路与交于点．若（象征文化传承与科技融合），求电路优化比的值； 【拓展提高】 （3）如图3，高州龙眼电商物流网络中，四边形为乡镇集散中心．点为冷链中转站，连接主干道与．已知（对应冷链时效黄金三角），且仓库容量比中根子镇与分界镇配比为，曹江镇与泗水镇配比为．请直接写出物流最优比的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期创优中考模拟 九年级数学试卷 说明： 1.全卷共8页，考试用时120分钟，满分为120分． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数等于（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负指数幂和相反数的概念，先求出，再根据相反数的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴的相反数为． 故选：D． 2. 《哪吒之魔童闹海》作为中国首部破百亿电影，登顶全球影史票房榜第五名，截至2026年4月17日，总票房大约为亿元，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：亿 3. 窗花是中国古老的汉族传统民间艺术之一，深受国内外人士所喜爱．下列窗花剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意． 4. 如下是今年高州市“五一小长假”的几个热门旅游景区的票价一览表，下列说法中不正确的是（ ） 景区名称 玉湖风景区 仙人洞风景区 粤龙山风景区 古郡越野 古郡水上乐园 票价（元） 28 184 28 100 80 A. 平均数是84 B. 中位数是100 C. 众数是28 D. 极差是156 【答案】B 【解析】 【分析】先将票价数据从小到大排序，再分别计算平均数、中位数、众数、极差四个统计量，即可判断各选项正误． 【详解】解：将5个票价数据从小到大排序，得： 计算平均数：选项A正确； 计算中位数：5个数据的中位数是排序后第3个数据，即中位数为 ，选项B错误； 计算众数：数据中出现次数最多 众数为，选项C正确； 计算极差：极差最大值最小值 选项D正确． 5. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上边看到的图形求解即可． 【详解】解：从上面看这个几何体，看到的图形为：． 6. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率与总球数的关系列出方程求解即可． 【详解】解：设盒子中红球有个 ∵ 口袋中总球数为，大量试验后摸到红球的频率稳定为，即摸到红球的概率为 ∴ 列方程得 得， 解得： 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计盒子中大约有红球2个． 7. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0两个条件，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵函数包含二次根式和分式， ∴需满足两个条件： 1 .二次根式的被开方数非负，即， 2 .分式的分母不为0，即. 解不等式得， 由得. 因此自变量的取值范围是且． 8. 如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，得到，由平行线的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵D是平分线上的一点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 高州市开展双创工作，城建局计划对市中心一块正方形的空地美化，设计如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形花圃，其余部分铺上鹅卵石．喷泉和花圃的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为4m，铺上鹅卵石区域的面积为，设水池半径为，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用水池的半径表示正方形的边长，求出正方形面积，水池的面积，利用铺上鹅卵石区域的面积为,列出方程即可． 【详解】解：设水池半径为， 则正方形的面积为：， 喷泉和花圃的面积为：, 则． 10. 如下图是茂名市滨海新区规划建设的“智慧农业示范园”，其中一块菱形试验田边长为2米，设计角．如图2，为适应季节性作物轮作，需折叠田埂和，使两角顶点重合于田地对角线上的调节点，、为折叠后新田埂，设米．下列判断正确的是（ ） ①当时，米； ②田埂总长度随变化而改变； ③折叠后六边形种植区的最大面积为平方米； ④六边形种植区的周长保持不变． A. ①②③ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，是菱形，是菱形，是平行四边形，是平行四边形，当时，可判断①；用来表示即可判断②；六边形种植区的面积为总面积减去和即可，进而根据二次函数的性质即可求解；用来表示各线段即可求解． 【详解】解：如图， 在菱形中，、为折叠后新田埂 ∴与相互垂直平分， ∴是菱形， 同理是菱形， 是平行四边形，是平行四边形， ∵． ∴, ∵， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, 故①正确， ∵，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②错误； ∵， 则， ∵， 则， ∵, ∴菱形的面积为：， 则折叠后六边形种植区的面积为：， 当时，面积取得最大为：； 故③错误； ∵, ∴，， 六边形种植区的周长为：, ∴周长保持不变， 故④正确． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若实数、满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出与的值，再代入计算即可得到结果 【详解】解：任意实数的绝对值为非负数，任意非负数的算术平方根为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为， ，， 解得，， 将，代入得： ． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 某中学举行的五四青年节文艺比赛中，5名参赛选手的成绩分别是：8，7，8，7，10，这5名选手的方差是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴． 14. 已知，则代数式的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】先将已知等式移项变形得到的值，再代入计算即可． 【详解】解： ∴ ． 15. 如图，将一个矩形纸片三次折叠：第一次沿折线折叠，使角落在边的点；第二次展开后沿折线折叠，使角落在折痕的点；第三次沿折线折叠，使角恰好落在折痕的点．已知折叠后，纸片无拉伸，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，推出四边形为正方形，是等腰直角三角形，求出的长，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵矩形纸片， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴，四边形为正方形，， ∴，，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再从不等式的正整数解中，选一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】，当时，原式（或当时，原式）． 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，然后求出不等式的正整数解，找到一个使分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴其正整数解为，，，， ∵且， ∴当时，原式， 或当时，原式． 17. 在高州市曹江镇新开发了一个旅游景点“高州第一滩”，今年的“五一劳动节”假期吸引了大量的游客前往游玩，但是也留下了很多废弃的垃圾，由此党委镇政府也成立了“河滩清洁行动”小组．现有甲、乙两支志愿者队伍同时从河滩入口出发前往不同区域清理垃圾．甲队出发1分钟后乙队才出发，（米）表示两队离河滩入口的距离，（分钟）表示甲队行走的时间．图中两条直线分别表示甲、乙两队离河滩入口的距离与甲队行走时间的函数关系． （1）求甲队离河滩入口的距离与行走时间的函数关系式． （2）若河滩上有一处距离入口800米的区域垃圾较多，问哪支队伍先到达该区域？早到几分钟？ 【答案】（1） （2）乙队先到达该区域，早到分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数关系式； （2）根据题意可求得乙队离河滩入口的距离与行走时间的函数关系式，代入时，即可求解． 【小问1详解】 解：由图可设甲与行走时间的函数关系式： 已知当时，， 代入可得， 解得， 甲队行走的距离与时间的函数关系式为： 【小问2详解】 解：设乙队行走的距离与甲队行走时间的函数关系式为 ∵乙队时出发，当时，， 此时甲队， 即； 当时， 把和代入 得： 解得， 所以乙队离河滩入口的距离与行走时间的函数关系式为 对于甲队，当时，， 解得 对于乙队，当时，， 解得 所以乙队先到达该区域，早到分钟． 18. 为助力茂名市创建“全国文明城市”，某中学积极响应全民健身号召，在“五四青年节”期间组织全校学生参与体能达标测试，随机抽取部分学生成绩进行统计，将结果分为A，B，C，D四个等级，绘制如下图表．请结合图表信息解答问题：成绩等级频数分布表 成绩等级频数分布表 成绩等级 频数 A 24 B 10 C D 2 合计 （1）根据创文工作要求，达标率需高于．请补全表格______，______，并计算扇形图中表示C等级的圆心角度数为______度； （2）为选拔学生代表参加“茂名市青少年体育竞赛”，学校需从A等级的甲、乙、丙三名学生中随机抽取两人组队．请用列表法或树状图法，求恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】（1）4，40，36 （2） 【解析】 【分析】（1）由B等级的频数和占比求出y；然后减去其他等级的频数求出x；用乘以C等级的占比即可求出圆心角度数； （2）画树状图列举出所有可能的情况和恰好抽到甲和乙的情况，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ， ∴扇形图中表示C等级的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种， ∴恰好抽到甲和乙的概率为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图1，位于茂名市滨海新区的“小东江观景台”呈圆形，其直径为江面主景观轴，是连接观景台入口的弧形步道．点为江畔的“灯塔广场”，经测量发现（视角与观景台结构角相等）． （1）请证明：与相切． （2）如图2，为优化景区路线，规划部门将灯塔广场与步道端点及观景台中心连接，新增道路、，并测得主景观轴长度．证明：； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据直径所对圆周角为，得到，利用等量代换证得，从而证明答案； （2）根据已知条件利用证得 ，得到，利用等腰三角形的“三线合一”得到，利用内错角相等两直线平行证得结果． 【小问1详解】 证明：是直径， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图所示，连接 在和中， ， ， 又， ， 为的直径， ， ， ． 20. 三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵元． （1）若用元购买护肤套装与用元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格； （2）在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的倍，如何购买才能使总费用最少？ 【答案】（1）生活用品套装每套的价格为元，护肤套装每套的价格为元 （2）购买护肤套装为套，购买生活用品套装为套时，总费用最少 【解析】 【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，根据“用元购买护肤套装与用元购买生活用品套装的数量相同”这一等量关系列方程即可． （2）本题考查不等式的实际应用，“购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的倍”可列不等式生活用品套装数量小于等于护肤套装数量的倍，并求出护肤品数量的范围，然后列式计算总费用，根据一次函数的特点列出费用最少的方案． 【小问1详解】 解：设生活用品套装每套的价格为元，则护肤套装每套的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：生活用品套装每套的价格为元，护肤套装每套的价格元； 【小问2详解】 解：设购买护肤套装为套，则购买生活用品套装为套， 由题意得：， 解得：， 设总费用为元， 则 ， ， 随的增大而增大， 当时，最小， 此时，， 答：购买护肤套装为套，购买生活用品套装为套时，总费用最少． 21. 综合与实践∶ 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图 1，在 中， （1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形． （3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长． 【答案】（1）72，；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质即可得出答案， （2）先证明，可得，进而得出一元二次方程，求出解即可； 对于拓展应用：根据菱形的性质得出是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，可求出，进而求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可知． ， ； 根据折叠可知，，， ， ， ， ． 故答案为：72，； （2）证明：，， ． 由折叠知， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：（舍去）， ； 拓展应用：解：菱形较长对角线． 如图3，在上截取，连接， 得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形， 根据黄金三角形的底与腰的比值为，由， 可得， ． ，， ， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，黄金分割，相似三角形和性质和判定，菱形的性质，解一元二次方程等，理解黄金三角形并应用是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图像如图③． 【问题解决】 （1）若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______； （2）当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围； （3）在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值． 【答案】（1）；9 （2）或 （3）时，面积差的最大值为 【解析】 【分析】（1）依据函数图像和函数解析式，利用 二次函数的性质解答即可； （2）依据图像，利用数形结合法解答即可； （3）在范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可． 【小问1详解】 解：， ， 抛物线的开口方向向下，当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小， ， 当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为； 【小问2详解】 解：由图像得，两函数交于点，， 所以，表示两个水池面积相等的点是，， 联立方程组 解得：，， ，， 由图像知：图像中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， 当或时调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积； 【小问3详解】 解：在范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1的蓄水面积， 两个水池面积差， ， 函数有最大值， 当时，函数有最大值，为， 当时，面积差的最大值为． 23. 【问题提出】 （1）如图1，高州根子镇荔枝产业园规划矩形示范区，点、为无人采摘车导航基站．连接运输路径与交于点，因古荔枝树保护要求，试证明：古树保护区运输效率比： 【迁移应用】 （2）如图2，冼太文化广场采用平行四边形光伏地砖米，米．点、为智慧照明节点，连接电路与交于点．若（象征文化传承与科技融合），求电路优化比的值； 【拓展提高】 （3）如图3，高州龙眼电商物流网络中，四边形为乡镇集散中心．点为冷链中转站，连接主干道与．已知（对应冷链时效黄金三角），且仓库容量比中根子镇与分界镇配比为，曹江镇与泗水镇配比为．请直接写出物流最优比的值． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可求证； （2）证明，根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可证,进而根据相似三角形的性质即可求解； （3）过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，在上取一点使得，连接，进而可知是等边三角形，进而证明，即可根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， 四边形是平行四边形 ，， , ， , ， ， 即 ， 【小问3详解】 解：如图所示，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形， ， 同（2）可得 ，设， 在上取一点使得，连接， ， ， 是等边三角形 ， ， ， 设，则， 解得： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $