精品解析：2025年广东省茂名市高州市九年级中考一模数学试题

高州市2025届中考第一次模拟考试 数学试卷 说明：1．时间：120分钟 满分120分； 2．考生务必用黑色的签字笔或钢笔在答题卡各题目指定区域内填写，否则答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是附合题目要求的．） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，2024年我国新能源汽车产量超过988万辆，其中988万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解的情况是（ ） A. B. C. D. 无解 5. 如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 7. 将一正方体纸盒沿图5所示线剪开，展成平面图，其展开图的形状为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将直线向上平移个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1是某款自动旋转遮阳伞，当伞面完全张开时，其张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 比较大小：____（填“”“”或“”） 12. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 13. 如图，某工厂生产的卷筒纸外直径为厘米，总长度拉直后为米．已知每层纸的厚度为厘米，取，则这卷纸的内直径是______． 14. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正六边形于点、，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 15. 把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点，同时落在反比例函数图象上时，则的值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. （1）计算： （2）解不等式组：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，点、分别在正方形边、上，连接． （1）作，使点和分别边和上（均不与顶点重合），且垂直平分．要求用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹（无需写说明）． （2）连接、，若，求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某水果公司以10元每千克的成本价购进1000箱荔枝，每箱质量为：在出荔枝前需要去掉损坏的荔枝．现随机抽取10箱，去掉损坏的荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7 4.8 4.9 4.6 4.8 4.7 4.5 4.7 4.6 5.0 整理数据： 质量／kg 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 数量／箱 1 2 3 1 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 4.73 （1）上述表格中______，______，______； （2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这1000箱荔枝共损坏了多少千克？ （3）根据（2）中结果，求该公司销售这批荔枝每千克定价为多少元才不会亏本？（结果保留一位小数） 20. 某市政府计划拨款元为福利院购买彩电和冰箱，已知商场彩电标价为元/台，冰箱标价为元/台，如按标价购买两种家电共台，恰好将拨款全部用完． （1）问原计划购买的彩电和冰箱各多少台？ （2）购买的时候恰逢商场正在进行促销活动，全场家电均降价进行销售，若在不增加市政府实际负担的情况下，能否比原计划多购买台冰箱？请通过计算回答． 21. 综合与实践 【主题】军事训练中的距离测量问题 【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题： 实践操作】如图所示： 步骤1：面向点站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤3：步测得米．已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】 （1）如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离？请用你所学数学知识说明． （2）若将本题中的测量方法应用到生活场景中，例如测量池塘对岸某一物体的距离，你认为该方法是否同样适用？请举例说明在生活场景应用时可能会遇到的不同情况及相应的解决办法． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如1图，是的直径，是的弦，点是外一点，． （1）求证：与相切． （2）如2图，连接、，若，与交于点． ①证明：； ②连接交于点，连接，若，，求的长． 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州市2025届中考第一次模拟考试 数学试卷 说明：1．时间：120分钟 满分120分； 2．考生务必用黑色的签字笔或钢笔在答题卡各题目指定区域内填写，否则答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是附合题目要求的．） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、相反数、有理数乘方和负数的定义，正确的计算是解题的关键．根据求绝对值、相反数、有理数的乘方和负数的定义，将各数化简，即可求解． 【详解】解：A、是负数，符合题意； B、，是正数，不符合题意； C、，是正数，不符合题意； D、，是正数，不符合题意； 故选：A． 2. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，零指数幂的定义，解题的关键是掌握相关知识．根据同底数幂的乘法可得，再根据零指数幂的定义即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 3. 据统计，2024年我国新能源汽车产量超过988万辆，其中988万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：988万 故选：B 4. 方程的解的情况是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】B 【解析】 【分析】首先方程的两边同时乘以最简公分母x＋1，然后解整式方程，求x即可，最后要把x的值代入最简公分母进行检验． 【详解】解：方程两边同乘以x＋1， 得2＝x＋1， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，x＋1＝1＋1＝2≠0， 所以，x＝1是原方程的解． 故选：B． 【点睛】本题主要考查解分式方程，关键在于找到最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解． 5. 如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等求解． 详解】解： 直线， ． 故选：A． 6. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】找到12左右两边相邻的两个可以开方的数，即可解答． 【详解】解：∵， 9<12<16， ∴3<<4， 故选B． 【点睛】本题考查无理数的估算．解题的关键是找到被开方数左右两边相邻的两个能开方的数． 7. 将一正方体纸盒沿图5所示的线剪开，展成平面图，其展开图的形状为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图沿右图裁剪线剪开，上面，右面，底面相连，前面、左面、后面相连，且底面与后面相连，是正方形展开图的“3−3”结构． 【详解】解：如图， 沿右图裁剪线剪开，上面，右面，底面相连，前面、左面、后面相连，且底面与后面相连，是正方形展开图的“3-3“结构； 故选B． 【点晴】本题是考查正方体的展开图，培养学生的观察能力、分析判断能力和空间想象能力．最好是动手操作一下，既可解决问题，又锻炼动手操作能力． 8. 如图，将直线向上平移个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设直线OA的函数解析式为y=kx（k≠0），再把A点坐标代入即可得出此函数的解析式，根据函数图象平移的法则即可求出平移后的一次函数解析式． 【详解】解：设OA的函数解析式为y=kx（k≠0），把A（2，4）代入得， 4=2k， 解得k=2， ∴直线OA的解析式为：y=2x， ∴把直线OA向上平移2个单位得到的一次函数解析式为：y=2x+2． 故答案为：y=2x+2， 答案选D． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换及用待定系数法求正比例函数的解析式，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 9. 如图1是某款自动旋转遮阳伞，当伞面完全张开时，其张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正切函数的应用，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，熟练掌握正切函数，等腰三角形的性质是解题的关键．过点作于点，根据余角的性质可得，利用三角函数得出，根据等腰三角形的性质可得米，进而求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 支架长为米，米， 米， ，， 米， 米， 米， 故选：C． 10. 如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由二次函数与轴有两个交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性可得与关于对称轴对称，可对②进行判断；利用抛物线的开口方向可得，结合对称轴可得，根据抛物线与轴交于正半轴得到，可对③进行判断；当时，，即，则可对④进行判断． 【详解】解：由图象可知，二次函数与轴有两个交点，即，故①正确； 由图象可知，当时，， 抛物线的对称轴是直线， 与关于对称轴对称， ，故②正确； 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于正半轴， ，， ，故③正确； 当时，， ，故④正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 比较大小：____（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵， ， 又， ∴． 故答案为：． 12. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 13. 如图，某工厂生产的卷筒纸外直径为厘米，总长度拉直后为米．已知每层纸的厚度为厘米，取，则这卷纸的内直径是______． 【答案】厘米 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，圆的面积公式，解题的关键是正确找出等量关系．设这卷纸的内直径是厘米，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设这卷纸的内直径是厘米， ，， 根据题意得：， 解得：， 这卷纸的内直径是厘米， 故答案为：厘米． 14. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正六边形于点、，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的定义及内角和，扇形的面积公式，解题的关键是掌握相关知识．根据正多边形的定义求出该多边形的内角，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：多边形是正六边形， 该多边形的内角是，即， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 15. 把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点，同时落在反比例函数图象上时，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，解直角三角形，数形结合，求出反比例函数图像上点的坐标是解决问题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，解直角三角形求出、、、，设，则，利用反比例函数图像与性质列方程求解得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 在中，，， ， ， ，，， ，， ， 设，则， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. （1）计算： （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解不等式组，掌握特殊角三角函数值，化简绝对值以及正确的计算是解题的关键．． （1）代入特殊角三角函数值，化简绝对值、计算零指数幂，最后算加法计算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； 解：（2） 解不等式①： ， 解不等式②： ， 该不等式组的解集为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的运算法则化简得到，代数求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 18. 如图，点、分别在正方形边、上，连接． （1）作，使点和分别在边和上（均不与顶点重合），且垂直平分．要求用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹（无需写说明）． （2）连接、，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——作线段的垂线，正方形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识． （1）分别以点、为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交于点，交于点，即为所求； （2）根据正方形的性质得到，结合可推出，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，即所求； 【小问2详解】 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 又， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某水果公司以10元每千克的成本价购进1000箱荔枝，每箱质量为：在出荔枝前需要去掉损坏的荔枝．现随机抽取10箱，去掉损坏的荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7 4.8 4.9 4.6 4.8 4.7 4.5 4.7 4.6 5.0 整理数据： 质量／kg 4.5 4.6 4.7 48 4.9 5.0 数量／箱 1 2 3 1 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 4.73 （1）上述表格中______，______，______； （2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这1000箱荔枝共损坏了多少千克？ （3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定价为多少元才不会亏本？（结果保留一位小数） 【答案】（1）2；； （2）选择平均数，共损坏，选择中位数或者众数，共损坏 （3）10.7元 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，平均数，中位数，众数，正确理解题意读懂统计表是解题的关键． （1）根据所给数据可得a的值，再根据中位数和众数的定义求出b、c的值即可； （2）根据（1）所求分别估算出选择平均数，中位数和众数时的损耗即可； （3）要使不亏本，则要按照最大损耗计算，即要损，用总成本除以没有损坏的重量即可得到对应的单价． 【小问1详解】 解；由题意得，， ∵重量为的箱数最多， ∴众数，即， 把这10箱荔枝按照重量从低到高排列，处在第5名和第6名的重量分别为， ∴中位数为，即； 【小问2详解】 解：选择平均数，共损坏， 选择中位数或者众数，共损坏； 【小问3详解】 解：元， ∴该公司销售这批荔枝每千克定为元才不会亏本． 20. 某市政府计划拨款元为福利院购买彩电和冰箱，已知商场彩电标价为元/台，冰箱标价为元/台，如按标价购买两种家电共台，恰好将拨款全部用完． （1）问原计划购买的彩电和冰箱各多少台？ （2）购买的时候恰逢商场正在进行促销活动，全场家电均降价进行销售，若在不增加市政府实际负担的情况下，能否比原计划多购买台冰箱？请通过计算回答． 【答案】（1）原计划购买彩电台，则购买冰箱台 （2）能，计算见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设设原计划购买彩电台，则购买冰箱台，根据题意列出方程，即可求解； （2）先求出在购买台数不变的情况下，还剩多少元，即可判断结论． 【小问1详解】 解：设原计划购买彩电台，则购买冰箱台， 根据题意可得：， 解得：， ， 答：原计划购买彩电台，则购买冰箱台； 【小问2详解】 在购买台数不变的情况下，还剩（元）， 现在每台冰箱售价为（元）， 可买冰箱（台）（元）， 答：在不增加市政府实际负担的情况下，能比原计划多购买台冰箱． 21. 综合与实践 【主题】军事训练中的距离测量问题 【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题： 【实践操作】如图所示： 步骤1：面向点站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤3：步测得米．已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】 （1）如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离？请用你所学数学知识说明． （2）若将本题中的测量方法应用到生活场景中，例如测量池塘对岸某一物体的距离，你认为该方法是否同样适用？请举例说明在生活场景应用时可能会遇到的不同情况及相应的解决办法． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据等三角形的判定与性质求解即可； （2）根据题意并结合实际分析即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， 又， ， 米； 【小问2详解】 该方法在生活场景中测量池塘对岸某一物体的距离同样适用， 可能会遇到的不同情况及相应的解决办法： 情况一：周围由障碍物影响视线， 解决办法：可以选择适合的观测点，避开障碍物，重新进行观测操作。或者借助梯子等工具，升高观测点位置，越过障碍物进行观测； 情况二：底面不平整影响站姿， 解决办法：可以先在地面上铺设一块平整的垫板，再进行测量操作． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如1图，是的直径，是的弦，点是外一点，． （1）求证：与相切． （2）如2图，连接、，若，与交于点． ①证明：； ②连接交于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，得出，再证明，即可证明结论； （2）①连接，证明，得出，得出，即可证明结论； ②连接，根据，，求出，，，，证明，得出，证明，得出，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ， ，即， 与相切； 【小问2详解】 ①证明：如图，连接， ，，， ， ， 又， ，即， ， ； ②连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即①， ∵，， ∴， ∴， 即②， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质． 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $