5.3.1产品配套问题和工程问题（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的产品配套问题和工程问题，通过生活实例（如1张课桌配1把椅子、1个螺栓配2个螺母）导入，衔接方程解法与实际应用，以基础填空、选择、应用题及探究点搭建学习支架，帮助学生逐步掌握解题思路。 其亮点在于结合生活情境与传统文化题（如汝窑茶具、《周髀算经》织布问题），用表格分析和解题模板培养数学思维（推理能力、运算能力），通过方程模型表达现实问题，提升学生应用意识，为教师提供系统教学资源和分层练习，助力高效教学。

人教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月2日 5.3.1产品配套问题和工程问题 第五章 一元一次方程 5.3.1 产品配套问题和工程问题 练习题（含解析） 一、基础填空题（每空2分，共36分） 1. 一元一次方程解应用题的核心是找等量关系，设未知数、列方程求解。 2. 产品配套问题关键：配套物品数量成固定比例，利用比例列等式。 3. 配套问题万能公式：A总数量∶B总数量 = 配套比例。 4. 常见配套比例变形：利用“交叉相乘相等”消比例，避免分数方程。 5. 工程问题中，通常把工作总量看作整体1。 6. 工程问题三要素公式：工作总量=工作效率×工作时间。 7. 工作效率=$$\frac{1}{单独完成总时间}$$，时间越短，效率越高。 8. 多人合作效率 = 所有人效率之和。 9. 工程问题等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量1。 10. 配套问题中，若1个螺栓配2个螺母，则螺母总数 = 2×螺栓总数。 11. 一项工作甲单独做5天完成，甲的工作效率为$$\frac{1}{5}$$。 12. 甲乙合作完成工作，合作效率 = 甲效率+乙效率。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 工程问题中，工作总量一般默认看作（ ） A. 0 B. 1 C. 10 D. 100 2. 甲单独做需4天完成工作，乙单独做需6天完成，甲乙效率分别为（ ） A. $$\frac{1}{4}、\frac{1}{6}$$ B. $$4、6$$ C. $$\frac{1}{6}、\frac{1}{4}$$ D. $$6、4$$ 3. 制作桌椅，1张桌子配4把椅子，正确等量关系是（ ） A. 桌子数=4×椅子数 B. 椅子数=4×桌子数 C. 桌子数+椅子数=4 D. 椅子数=桌子数 4. 甲效率$$\frac{1}{3}$$，乙效率$$\frac{1}{5}$$，两人合作效率为（ ） A. $$\frac{1}{8}$$ B. $$\frac{2}{15}$$ C. $$\frac{8}{15}$$ D. $$8$$ 5. 配套问题解题关键是（ ） A. 随便设数 B. 找准配套数量比例 C. 只算总量 D. 只算单一物品数量 答案：1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 三、基础应用题（每题16分，共32分） 1. 产品配套问题 某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺丝或2000个螺母。1个螺丝需要配2个螺母，为使每天生产的螺丝和螺母刚好配套，应安排生产螺丝和螺母的工人各多少名？ 解析与答案： 解：设安排$$x$$名工人生产螺丝，则$$(22-x)$$名工人生产螺母。 螺丝总数：$$1200x$$，螺母总数：$$2000(22-x)$$ 根据1螺丝配2螺母，得等量关系：螺母总数=2×螺丝总数 列方程：$$2000(22-x)=2\times1200x$$ 去括号：$$44000-2000x=2400x$$ 移项合并：$$4400x=44000$$ 系数化为1：$$x=10$$ 生产螺母人数：$$22-10=12$$（名） 答：安排10名工人生产螺丝，12名工人生产螺母。 2. 基础工程问题 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作几天可以完成这项工程？ 解析与答案： 解：设两人合作$$x$$天完成。 甲效率：$$\frac{1}{10}$$，乙效率：$$\frac{1}{15}$$，合作效率：$$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}$$ 列方程：$$(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x=1$$ 去分母（最小公倍数30）：$$(3+2)x=30$$ 合并：$$5x=30$$，解得$$x=6$$ 答：两人合作6天可以完成。 四、综合压轴题（17分） 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲先单独做5天，之后甲乙合作完成剩余工程，问甲乙还需要合作多少天？ 解析与答案： 解：设甲乙还需合作$$x$$天。 甲效率$$\frac{1}{20}$$，乙效率$$\frac{1}{30}$$ 甲单独5天工作量：$$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$$ 合作工作量：$$(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})x$$ 总工作量和为1：$$\frac{5}{20}+(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})x=1$$ 化简：$$\frac{1}{4}+\frac{1}{12}x=1$$ 去分母：$$3+x=12$$ 解得：$$x=9$$ 答：甲乙还需要合作9天。 知识点总结与易错点 1. 产品配套问题解题模板 设生产两种配件的人数/数量→分别算出总产量→根据配套比例列等式（多的一方=倍数×少的一方）→解方程作答。 2. 工程问题万能思路 总量看作1→单独时间求效率→拆分工作阶段（单独做、合作做）→各段工作量相加=1。 3. 高频易错点 1. 配套比例搞反，谁乘倍数分不清； 2. 工程问题忘记把总量看作1，直接用天数计算； 3. 多人合作效率做加法，误做减法； 4. 分段工程漏算前期单独工作量； 5. 解方程去分母、移项符号出错。 探究产品配套问题中的等量关系. 掌握工程问题中的工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系. 从实际问题中抽象出数学模型. 2026年6月2日星期二7时5分36秒 生活中存在着很多的配套问题，如下图 1 张课桌配 1 把椅子 1 个螺栓配 2 个螺母 1 个茶壶配 3 个茶杯 已知：一套茶具由 1 个茶壶和 3 个茶杯构成. （1）若一个工人师傅做了 1 个茶壶，则需要 个茶杯才能刚好配成一套： （2）若一个工人师傅做了 2 个茶壶，则需要 个茶杯才能刚好配成一套： （3）若一个工人师傅做了 x 个茶壶，则需要 个茶杯才能刚好配成一套： （4）若一个工人师傅做了 a 个茶壶， b 个茶杯，且刚好配套，则 a 与 b 的数量关系是 . 3 6 3x 3a＝b 探究点1：产品配套问题 例1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 配套关系：1 个螺栓需要配 2 个螺母. 分析： 等量关系：螺母数量＝2×螺栓数量. 探究点1：产品配套问题 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺栓 x 1200 螺母 2000 (22-x) 1200x 2000(22-x) 解：设应安排 x 名工人生产螺栓，(22－x) 名工人生产螺母. 根据螺母数量应是螺栓数量的 2 倍，列出方程 2000(22－x)＝2×1200x . 解方程，得 x＝10. 进而 22－x＝12. 答：应安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母. 探究点1：产品配套问题 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺栓 x 1200 螺母 2000 (22-x) 1200x 2000(22-x) 【练一练】1. 一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用 1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件. 现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做 A 部件，多少立方米钢材做 B 部件，才能恰好配成整数套这种仪器？共配成多少套？ 1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件 A 部件数量∶B 部件数量 = 1∶3 可得：B 部件数量 = A 部件数量×3 A 部件和B 部件共用钢材 6 m3 条件分析 探究点1：产品配套问题 解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用 (6－x) 立方米钢材做 B 部件. 答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套. 根据题意，列方程得 3×40x = (6－x)×240. 解得 x = 4. 则 6－x = 2. 共配成仪器 4×40 = 160 (套). 探究点1：产品配套问题 探究点1：产品配套问题 配套问题中的基本关系： 可得相等关系：m×B 的数量 = n×A 的数量. 若 m 个 A 和 n 个 B 配成一套，则 ， A 的数量 B 的数量 m n = 例2 整理一批图书，由 1 个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 工程问题：整理完成这批图书. 分析： 工作总量＝人均效率×人数×时间 常把工作总量看作“1”. 探究点2：工程问题 列表分析： 人均效率 人数 时间 工作量 前一部分工作 x 4 后一部分工作 x＋2 8 × × ＝ × ＝ × 探究点2：工程问题 解：先安排 x 人先做 4 h. 根据先后两个时间段的工作量之和等于工作总量，列出方程 解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40. 4x＋8x＋16＝40. 12x＝24. x＝2. 答：应先安排 2 人先做 4 h. 探究点2：工程问题 【练一练】 2. 加工某种工件，甲单独做要 20 天完成，乙只要 10 天就能完成任务，现在要求二人在 12 天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？ 效率 时间 工作量 甲 乙 x 12 - x 探究点2：工程问题 解：设乙需工作 x 天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了 (12 - x) 天. 依题意，得 解得 x = 8. 答：乙需工作 8 天后甲再继续加工才可正好按期完成任务. 探究点2：工程问题 工作总量＝人均工作效率×人数×工作____. 若工作总量为单位 1，工作时间为n，则工作效率是___. 工程问题： 时间 探究点2：工程问题 1. 汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史 上素有“汝窑为魁”之称.某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具 由1个茶壶和6只茶杯组成.用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶 杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用 千克瓷泥做茶壶时， 恰好使制作的茶壶和茶杯配套.根据题意，下面所列方程正确 的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 16 2. ［2024烟台］《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著 作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日 织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是： 现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每 天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一 尺布，30天完工，问一共织了多少布？( ) C A. 45尺 B. 88尺 C. 90尺 D. 98尺 返回 考试考法 17 3.某工厂安排60名工人加工一批桌子，每张桌子由1张桌面和 4条桌腿组成.每名工人每天可以加工2张桌面或者4条桌腿 （每人只加工桌面或桌腿），为了使每天加工的桌面和桌腿 恰好配套，每天应该安排____名工人生产桌面. 20 【点拨】设每天应该安排名工人生产桌面，则有 名 工人生产桌腿，由题意，得，解得 ， 所以每天应该安排20名工人生产桌面. 返回 考试考法 18 4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师傅 与徒弟每小时各检修多长的管道. 条件： ①该管道长 ； ②师傅每小时比徒弟多检修 ； ③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务； ④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务； 在上述四个条件中选择三个条件，并完成解答.（写一种即可） 考试考法 19 【解】（答案不唯一，写一种即可） 当选择①②③时， 设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 由题意，得 ， 解得，所以 . 答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 . 当选择①②④时， 考试考法 20 设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 由题意，得 ， 解得，所以 . 答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 . 当选择②③④时， 设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 由题意，得 ， 解得，所以 ， 答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 . 返回 考试考法 5. 某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或 乙种零件10个，已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套， 通过合理安排，分配恰当的人数生产甲种或乙种零件，可以 使得每天生产的两种零件刚好配套，则每天可以生产配套的 零件( ) A A. 200套 B. 201套 C. 202套 D. 203套 考试考法 22 【点拨】设分配人生产甲种零件，则分配 人生产乙 种零件，每天可生产甲种零件个，乙种零件 个， 根据题意，得，解得 ， 所以每天可以生产配套的零件 （套）. 返回 考试考法 23 6. 为加快全民健身设施建设，某体育中心准 备扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体 信息如下， 信息一： 工程队 每天施工面积/ 每天施工费用/元 甲 3 600 乙 2 200 考试考法 24 信息二： 甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多 . （1）求 的值； 【解】由题意，得 . 解得 . 考试考法 （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工 程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积为 .体育中心需要支付多少施工费用？ 设甲工程队单独施工天，则乙工程队单独施工 天， 由题意，得,解得 ， （元）. 答：体育中心需要支付56 800元施工费用. 返回 考试考法 26 7.用长方形硬纸板做长方体盒子（如图①），底面为正方形. 长方形硬纸板以如图②所示的两种方法裁剪 方法：剪3个 侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面.现有35张硬纸板，裁剪 时 张用A方法，其余用B方法. 考试考法 27 （1）用含 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； 【解】A方法剪个侧面，则B方法剪 个侧面和 个底面， 所以共有侧面 （个），底面 （个）. 考试考法 28 （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 根据已知条件，得，解得 . 所以 （个）. 答：能做21个盒子. 返回 考试考法 29 实际问题 一元一次方程 一元一次方程的解( x＝m ) 解方程 实际问题的解答 设未知数，列方程 抽象为数学模型 回归于实际问题 检验 你能总结出列一元一次方程解实际问题的一般步骤吗？ 合并同类项 系数化为 1 课堂小结 弄清题意，分清____量和____量 设_______，用式子表示相关量 找出相等关系，列出______ 解方程，求出________的值 是否为所列方程的___ 是否符合_________ 根据题意写答案 审 设 列 解 检 答 未知数 已知 未知 方程 未知数 解 实际意义 课堂小结 eq \f(4x,40) ＋ eq \f(8(x＋2),40) ＝1. eq \f(1,n) $