精品解析：山东济南市历城第二中学2025-2026学年高三第二次适应性检测数学试题

2026年历城二中高三第二次适应性检测 数学试题 2026.4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 17 3. 已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 若复数满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 1.25 D. 1.6 7. 若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（ ） A. 实轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相同 D. 渐近线相同 10. 设，为常数，则（ ） A. B. C. D. 11. 半径为1的圆沿圆外侧无滑动滚动一周，设圆上的点的运动轨迹为曲线.已知点的初始位置为，则（ ） A. 点在曲线上 B. 曲线围成的区域面积等于16 C. 曲线与直线有三个交点 D. 曲线上点的横坐标的最大值为 12. 已知函数在处取得极小值，则__________． 13. 已知数列的首项，，则______． 14. 记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 15. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 设函数． （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且存在，使得，证明：．附 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，，边上的中线，相交于点． （i）求； （ii）求． 18. 设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． （1）求曲线的方程； （2）设直线的方程为，求直线的斜率； （3）若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 19. 有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂次，每次分裂生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立.假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞.记个细胞分裂次后共有个细胞的概率为. （1）求、； （2）求； （3）已知：若和均为离散型随机变量，则.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年历城二中高三第二次适应性检测 数学试题 2026.4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集的定义求结论. 【详解】不等式，可化为， 故， 不等式，可化为， 所以， 所以. 2. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【详解】由等比中项的性质知， 若该数列的公比为，则，显然， 所以. 3. 已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的必要条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行， 所以故“”是“”的不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，求出函数值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 当时，，则，所以. 故选：D. 5. 若复数满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设复数，根据可得，再结合模长公式，利用二次函数性质可解. 【详解】设复数，，， 整理得，即， 所以， 当时取等，即的最小值为， 故选：C. 6. 随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 1.25 D. 1.6 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，，代值化简即可求解./ 【详解】已知工时递减速率，且, 所以， 由于生产前件产品的平均工时：， 生产前件产品的平均工时：， 所以， 将​，代入：， 则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.8 7. 若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理建立方程并求得双曲线，进而求出离心率. 【详解】在中，，， 由余弦定理得，则， 整理得，由点在双曲线上，得双曲线的方程为， 所以双曲线的离心率. 8. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，由余弦函数的对称性，，化简得到，代入即可求解. 【详解】由于，所以, 因为​，所以， 因为，且，则 ​由余弦函数的对称性，，且， 所以，则， 则， 因为，且， 所以 9. 若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（ ） A. 实轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相同 D. 渐近线相同 【答案】BD 【解析】 【详解】，， 不妨设， 的实轴长分别为，不相等，故A错误； 的焦距分别为，相等，故B正确； 的离心率分别为，不相同，故C错误； 的渐近线分别为，相同，故D正确． 10. 设，为常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，利用两个二项式乘积及其展开式通项求对应项系数判断A、B，应用赋值法求奇偶数项的和判断C、D. 【详解】由， 对于，展开式通项为，， 对于，展开式通项为，， 所以，A对， ，B对， 令，则， 令，则， 所以，则，C错， ，D对. 11. 半径为1的圆沿圆外侧无滑动滚动一周，设圆上的点的运动轨迹为曲线.已知点的初始位置为，则（ ） A. 点在曲线上 B. 曲线围成的区域面积等于16 C. 曲线与直线有三个交点 D. 曲线上点的横坐标的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A根据题意可知点到原点的距离，从而确定点在曲线上；选项B曲线围成的区域面积大于半径为的圆面积；选项C由曲线方程与直线方程可判断；选项D由参数方程得出点的横坐标，求最大值. 【详解】圆沿圆外侧无滑动滚动， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆， 点到原点的距离满足， 点到原点的距离为， 当圆滚动到圆正上方时，点恰好位于， 故选项A正确； 由参数方程设圆的圆心为， 外摆线参数方程标准形式， 代入可得曲线的参数方程为（为参数）， 曲线由三个全等的瓣组成，并且包含圆围成的圆形区域． 取上方一瓣，两个相邻尖点为，，且由A项可知在该瓣上． 该瓣在圆外至少包含三角形位于圆外的部分． 因为，而圆中由弦截得的小弓形面积为，所以这一瓣在圆外的部分面积大于． 由三瓣全等可知，曲线围成区域的面积大于，故不可能等于，选项B不成立． 解方程，， 整理得 ， 作出与在的图象，有2个交点， 令，所以曲线与直线有三个交点，C正确； ， 令， ，， ，，在上递增， ，或， 在，上递减， 所以在处取得极大值，即最大值. 点坐标为， 当时，横坐标为最大值， 选项D正确. 12. 已知函数在处取得极小值，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求出的值，再检验是否为极小值点即可. 【详解】由，又函数在处取得极小值， 则，解得，或， 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极小值， 故时符合题意； 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极大值， 故时不符合题意. 故答案为：. 13. 已知数列的首项，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据累加法结合余弦函数的周期性可求. 【详解】由题设有， 由累加法可得，， 即，， 故，， ，， 而的周期为，故是周期为的数列， 且， 故. 故答案为：. 14. 记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出，再换元应用判别式法结合一元二次不等式计算求解最小值即可. 【详解】因为，而， 由正弦定理得， 所以. 又因为， 设，，所以. 又，所以， 所以，即， 设，所以，即有解， 所以，解得. 若，则与中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾，故. 即有，所以，故的最小值为. 15. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，利用面面垂直的性质可得平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到，平面，接着用体积公式求解即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可． 【小问1详解】 解：设的中点为，连接， 为等边三角形，边长为， ，，， 平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ； 【小问2详解】 解：由（1）知平面，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 易知平面的一个法向量， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． 16. 设函数． （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且存在，使得，证明：．附 【答案】（1）时，的增区间为，无减区间； 时，增区间为，减区间为. （2）证明：因为是的极值点，故，故， 所以， 因为存在，使得， 所以，即， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为 所以，即， 所以，即， 因为， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，就、 分类讨论导数的符号后可得函数的单调性； （2）根据极值点可得，再根据结合代数变形可证. 【小问1详解】 解：， 当时， （不恒为零），的增区间为，无减区间； 若 ，则当时，， 当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上：时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 略 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，，边上的中线，相交于点． （i）求； （ii）求． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及辅助角公式得到关于的方程进而得解； （2）（i）通过求向量的模长即可得结果；（ii）通过余弦定理求出，（法一）根据重心的性质求出和，最后通过余弦定理可得结果；（法二）通过求得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴， ∴． ∵ ∴，即． 【小问2详解】 （i）∵， ∴． （ii）在中，由余弦定理得， 即 （法一）由题知是的重心， ∴，∴， 在中，由余弦定理得． （法二）又， ∴． ∴． 18. 设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． （1）求曲线的方程； （2）设直线的方程为，求直线的斜率； （3）若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，即可得到的坐标，从而求出抛物线方程； （2）设，，，，联立直线与抛物线方程，求出，的坐标，再由向量的关系求出的坐标，即可得解； （3）推导出，同理，即可得到，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出过定点坐标，再求出的最小值. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 由为线段的中点，可得， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 设，，，， 联立，消去x整理得，解得，， 则，， 因为，则， 因为，，则，所以， 所以，，即，直线的斜率为； 【小问3详解】 因为，，，， 所以，， 因为，所以 因为，，，， 所以，① 由代入①得， 由得， 因为，，所以，所以，同理， 所以且， 所以，因为，所以， 所以，得，即， 设，联立消去x，得， 所以，所以，则，所以过定点， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以四边形面积的最小值为 19. 有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂次，每次分裂生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立.假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞.记个细胞分裂次后共有个细胞的概率为. （1）求、； （2）求； （3）已知：若和均为离散型随机变量，则.证明：. 【答案】（1）， （2） （3）记分裂次后细胞个数为，令， 设表示第次分裂后生成的第个新细胞，经过第次分裂后增加的细胞个数， 即分裂产生个细胞时，分裂产生个细胞时， 分裂产生个细胞时，可得； 可知， 得； 可知，； 得， 求得， 得， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，即， 易知， 当时，， 即， 所以， 累加可得 ， 即. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合一个细胞分别分裂出、、个细胞的概率，根据第二、三次分裂出现个细胞的所有情况，由独立事件概率的乘法公式，求出事件概率； （2）分析出第次分裂后只有、个细胞的情况，根据独立事件概率的乘法公式，求出结果； （3）根据分裂出细胞数和此情况的概率，求出一次分裂后细胞数的期望，根据离散型随机变量的期望的性质，和等比数列求和公式，证明不等式即可. 【小问1详解】 由题意可得， 若第二次分裂出现个细胞，有两种情况： 第一种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞分裂成个； 第二种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞各分裂成个. 所以； 若第三次分裂出现个细胞，有两种情况： 第一种情况：第二次个细胞分裂成个细胞； 第二种情况：第二次个细胞每个细胞各分裂为个. 所以. 【小问2详解】 第次分裂后只有个细胞，则这次分裂中，有次由个细胞分裂成个细胞，有次由个细胞分裂成个细胞； 设第次由个细胞分裂成个细胞，后面的次都是由个细胞分裂成个细胞；则 ； 则. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $