山西省实验中学2025-2026高一下学期5月科目诊断数学试卷

山西省实验中学 2025－2026学年第二学期高一年级5月科目诊断 （答案） 数学卷面总分值：150 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1－5：CDCCB 6－8：CBA 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ABD 10．ABD 11．ACD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12． 13． 14． 四、解答题（本大题共5个小题，其中第15题13分，第16－17题各15分，第18－19题各17分，共77分） 15．【答案】（1） （2）作图见解析；周长为 【小问1详解】 分别取，的中点，，连接，， 在中，， 在，，同理 故等腰的面积为， 又的面积为 设到平面的距离为，由，得， 故，故到平面的距离为． 【小问2详解】 连接，过点作直线，分别交直线，的延长线于，两点， 连接，分别交，于，两点，连接，，则五边形为所求截面． 在正方形中，， 在中，，， 故，由，故， 故，，故，， 同理，可求得，， 故五边形周长为：， 则截面周长为． 16．【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【详解】 （1）三棱锥的体积为． （2）三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 又正方体外接球的直径， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． （3）连接，，易得，所以，，，四点共面． 由为的中点，得为的中点，则． 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 因为与平面交于点，所以平面，． 因为平面，所以平面，则为平面与平面的公共点， 所以，所以，，三点共线． 17．【答案】（1）证明见解析； （2）存在，点为线段的中点，理由见解析． 【小问1详解】 因平面平面，，平面平面，平面，则平面， 而平面，有，又为圆的直径，有， 因，，平面，因此平面，又平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，，，如图， 则，，在矩形中，，，则有，， 因此四边形为平行四边形，则，又平面，平面， 所以平面，即存在一点为的中点，使得平面． 18．【答案】（1）证明见解析 （2） 【详解】 （1）如图， 底面，面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面． 过作交于，又平面平面，平面， 平面，到平面的距离为，， 在中，，， 设，则，，，为直角三角形，且， ，，， ，解得，， （2），，，，， 过作，交于，则为中点， 由直线与距离为，所以 ，，，在，， 延长，使，连接， 由，知四边形为平行四边形， ，平面，又平面， 则在中，，，， 在中，，， ，又到平面距离也为， 所以与平面所成角的正弦值为． 19．【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）连接交于点，如下图所示： 则， 因为，，所以，即， 又，所以，可得， 同理易证，所以，， 翻折后当平面平面时，平面平面，且， 又平面，所以平面； 可知即为直线与平面所成的角， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）过点作，垂足为，如下图所示： 因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 即即为直线与平面所成的角， 在翻折过程中，设，，由（1）可知，，， 在中，，， 所以，， 设，，则， 所以，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，又易知，所以， 即直线与平面所成角的最大值为； （3）过作于点，连接，如下图所示： 由（2）知平面，因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以，可得， 结合（2）可得， 在中，，， 令，则， 即，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，结合，可知， 因此二面角的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026山西省实验中学高一下（5月）月考数学试卷 一．选择题（共8小题，40分） 1．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（ ） A．1 B． C． D．2 2．如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 3．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ） A． B． C． D． 4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A． B． C． D． 5．在正方体中，E为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点，为中点，在上，，平面，则的值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 7．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上两动点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ） A．点到平面的距离 B．直线与平面所成的角 C．三棱锥的体积 D．二面角的大小 8．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，18分） 9．（多选）有下列命题，其中错误的命题为（ ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．直四棱柱是直平行六面体 10．（多选）如图垂直于以为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是（ ） A． B．平面 C． D． 11．如图，菱形的边长为2，．将沿折到的位置，连接得三棱锥，则（ ） A．若三棱锥的体积为，则或3； B．若平面，则； C．若M，N分别为，的中点，则平面； D．当时，三棱锥的外接球的体积为． 三、填空题（共3小题，15分） 12．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为________． 13．在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的体积为________ 14．已知侧棱长为2的正三棱锥如图所示，其侧面是顶角为的等腰三角形，一只蚂蚁从点A出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 四、解答题（共5小题，77分） 15．如图，有一块正四棱柱形状的木料，、分别为底面棱，的中点，，． （1）求点到平面的距离； （2）现要沿着和将木料锯开，在木块表面应该如何画线？请在图中画出，并求出截面多边形的周长． 16．在正方体中，，为的中点，与平面交于点． （1）求三棱锥的体积； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）证明：，，三点共线 17．如图，为圆的直径，点，在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面相互垂直，且，． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面，并说明理由． 18．在三棱柱中，底面，，，到平面的距离为1． （1）证明：； （2）已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 19．如图1，在矩形中，，，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）． （1）当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； （2）在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； （3）在翻折过程中，求二面角的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $