山西省太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

山西大学附中2025-2026学年第二学期高一5月月考 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：高慧姝 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.下列说法错误的是() A.对于两条确定的异面直线，一定不存在直线与这两条直线都平行 B.过直线外一点有且只有一个平面与己知直线垂直 C.如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面 D.过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 2.如图，三棱柱ABC-ABC1中，点E,F,G,H分别为BB,CC AB,AC1的中点，则下列说法错误的是(). A.E,F,G,H四点共面 B.A4与GH是异面直线 C.EG,FH,AA三线共点 D.∠EGH=∠FHG G 3.已知正方体ABCD-ABC1D中，E,F分别为所在线段的中点，则满足AE⊥BF的图 形为() B 4.正方体ABCD-ABCD中的棱长为2，直线AA到平面BBDD的距离是() A.1 B. 2 C.2 D.3 5.如图所示，已知∥B,GH,GD,HE分别交a,B于A,B,C, D,E,F,且G4=9,AB=12,BH=16,SA4Bc=72,则S%m 为(). A.90 B.96 C.108 D.144 6.如图，在正三棱柱ABC-ABC1中，AB=AA=2,与平 面AA4B,B平行的平面截三棱柱ABC-AB,C1得到截面 D DB弧D,若几何体ABDB-ABD马的体积为3 3, 且几何 体ABDE-ABDE,的所有顶点均在同一个球面上，则该球的 B 表面积为() A.6π B.8π C.26m D. 28π 3 3 试卷第1页，共4页 7.如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O E 为球心，半径为√2的球面上，并且A,B,C,D在同一平面 因，点0为此八面体表面上的动点，即0@-23，则点9的 轨迹长度为() A.46n B.V6π 3 C.2V6n D. &V6π 3 8.在三棱台ABC-ABC1中，△ABC1的面积是△ABC的面积的4倍，D为CC1的中点， 点E满足24E=AB+AB,该棱台被平面ADE分成不同的两部分，记/为体积较小的部 分的体积，巧为体积较大的部分的体积，则三《) A.月 B. 2 C. 5 D.月 二.选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分) 9.己知仙，n是两条不同的直线，c,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A.若⊥a,m⊥n,则n∥a B.若∥a,n⊥B,∥B,则⊥n C.若m/1a,mllB,ox∩B=n,则ml∥n D.若nc,n/IB,m/1a,mcB,则alIB 10.如图所示，己知圆台的轴截面为ABCD,其中 D AB=3CD=6V3,AD=4,M为圆弧AB的中点，则() ---B A.圆台的体积为26π B.与AB所在直线垂直的母线有2条 M C.圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为 3 D.过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为8√3 11.如图，在正方体ABCD-ABC1D中，M为AB,中点，P为线段BD上一点，记平面 MPC截正方体所得截面为C.当A,P,C三点共线时，MP=√5，则() A.当AB的中点在上时，截面图形的面积为√5 A B.截面形状可能是五边形 M C.记BD的中点为O,当P在线段OB上时，截面图形是 B 四边形 D.BP+PC的最小值为2N2+√2 A D Bz.. 试卷第2页，共4页 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分） 12.水平放置的△ABC,用斜二测画法得到直观图△A'B'C',如图所示，若A'B'=A'C'=2, 则△ABC的面积等于 AV! B D G C H F A E B O'(A) B' o AD 12题图 13题图 14题图 13.如图AB,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD,O,O,分别为上、下 底面圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A-BCD的体积为18，则OO, 14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2W3,AD=2,E、F、G、H分别是四边的中点.现 将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）.若折 痕用虚线段连接，则这样的虚线段需要连 条（用数字作答）；若一个小球可以在 正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为16√5，则 25 该小球的半径r= 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 说明：本次考试解答题使用空间直角坐标系均不得分 15.如图，一个圆锥形空杯倒放在一个装满水的半球形容器上，半球的底 面与杯口完全贴合.已知圆锥的底面直径与半球的直径均为10. (1)若圆锥的高是5√3，求该组合体（圆锥与半球）的表面积： (2)若将半球形容器中的水全部倒入圆锥形杯子中，水恰好装满杯子且不溢 出，求杯子的高度。 16.如图，四棱锥P-ABCD中，AB=BC=AD,AD1/BC,E,F,H分别为线段 AD,PC,CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP//平面BEF: D (2)求证：GH1/平面PAD. 试卷第3页，共4页 17.如图，多面体ABCD-ABC1是由一个直三棱柱ABC-ABC1与一个四棱锥D-AC1CA 组成，其中BCAD,AD=2BC,AB=BC=CA=AA=4,E是AC上的一点. (1)若E是AC中点，求异面直线AE与BC所成角的余弦值. A B (2)若E为BD与AC交点，K为线段AB上一点，且满足 KB EK∥平面AAD,求 的值、 AB 18.如图，三棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAC,BC=√5，AC=3,PB=√5，点E满 足AE=2EC,PE=1. (1)证明：PE⊥平面ABC; (2)若在棱AB上存在一点D,使得PDAC. (i)求BD的长； (ii)若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE 所成角的正弦值的取值范围. B 19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，S4⊥平面ABCD,S4=√2AB, AC与BD交于点O S (1)设平面SAB交平面SCD于直线I,求证：AB//I: (2)若AB=2,且M是棱SD的上任意一点，点M到 平面SAB,SBC,ABCD的距离分别为d,d,d3.求 √2d+V3d+2d: M (3)若P,Q分别是线段SB、线段AC上的点，且满足 apAC-2cQ,设P0与C所成的角为a,Pg与 SP 2CQ BD所成的角为B,求sina+sinB的最大值. 试卷第4页，共4页山西大学附中2025-2026学年第二学期高一5月月考 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：高慧姝 选择题答案：DDDCBBAC BC ABC BCD(填空14题第一空2分，第二空3分) 一，选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.下列说法错误的是() A.对于两条确定的异面直线，一定不存在直线与这两条直线都平行 B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C.如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面 D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【详解】对于B:假设过一点有至少两个平面，B与已知直线垂直，则∥B, 这与假设矛盾，故假设不成立， ∴，过空间内一点有且只有一个平面与己知直线垂直.所以B正确， 对于C,已知：直线a,b,c共点且两两垂直，直线a和b确定的平面为，直线a和c 确定的平面为B,直线b和c确定的平面为Y,求证：a⊥Y,b⊥B,c⊥， 证明：，直线，b,c共点且两两垂直，直线b和c确定的平面为Y, .由直线与平面垂直的判定定理可得a⊥Y,同理可证b⊥B,c⊥a,∴原命题得证.C√， 故选D. 2.如图，三棱柱ABC-ABC1中，点E,F,G,H分别为BB,CC1,AB,AC的中点， 则下列说法错误的是(). B B E B G H P A.E,F,G,H四点共面 B.AA与GH是异面直线 C.EG,FH,AA三线共点 D.∠EGH=∠FHG 【答案】D【详解】对于A,在三棱柱ABC-ABC1中， E,F,G,H分别为BB,CC1,AB,AC的中点，连接EF, 由GH是△4BC的中位线，得GH11BC,GH=BC, 2 由BE//C1F,且BE=CF,得四边形BEFC是平行四边形， 则EF∥BC1,EF∥GH,因此E,F,G,H四点共面，A正确： 对于B,因为GHi平面ABC1,A4∩平面ABC1=A,A∈GH, 所以AA与GH是异面直线，正确： 答案第1页，共14页 对于C,延长EG,FH相交于点P, 由P∈EG,EGC平面ABBA,得P∈平面ABBA, 由P∈FH,FHC平面ACCA,得P∈平面ACCA, 而平面ABBA∩平面ACCA=A4,则P∈A4,EG,FH,AA三线共点，C正确： 对于D,由GHIIEF,且GH=EF可知，四边形EFHG是梯形， 若∠EGH=ㄥFHG,则梯形EFHG是等腰梯形，而题设条件无法得出EG=FH, 所以D不一定正确 3.已知正方体ABCD-AB,C1D中，E,F分别为所在线段的中点，则满足AE⊥BF的图 形为() 【答案】D 【详解】正方体ABCD-ABCD中设AA=AD=AB=2,E,F分别为所在线段的中点， 对于D,取BC的中点G,连接AG,EG,如图所示： 因为EG⊥平面ABCD,BFC平面ABCD,所以EG⊥BF, 又因为BC=01 ABBC2,可得∠BAG=∠CBF, 又因为∠CBA=∠BCF=号」 所以AG⊥BF,AG∩EG=G且都在平面AEG内，所以BF⊥平面AEG 由AEC平面AEG,所以AE⊥BF,故D正确. D 对于B,同A分析，若AE⊥BF,得BF⊥AD, 所以BF⊥BC,显然不成立，因而AE⊥BF不成立，故B错误： 对于C,连接AF,EF,如图所示： 因为EF⊥平面ABCD,BFC平面ABCD,所以EF⊥BF, 若AE LBF,因为AEEF=E且都在平面AEF内， 所以BF⊥平面AEF,由AFC平面AEF,所以AF⊥BF,则 D4=:显然不成立，因而A5L8F不成立，故 对于A,因为AA⊥底面ABCD,又BFC平面ABCD,所以AA⊥BF, 若AE⊥BF,又AA⌒AE=A且都在平面AADD内，则BF⊥平面AADD, 又ADC平面AADD,所以BF⊥AD,显然BF⊥AD不成立， 因而AE⊥BF不成立，故A错误；故选：D 4.正方体ABCD-ABC1D中的棱长为2，直线AA到平面BBDD的距离是（》 A.1 B.2 c.√2 D.5 2 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接AC交BD于点O,在正方体中，A4//BB, 又AA文平面BBDD,BBC平面BBDD, 答案第2页，共14页 所以点A到平面BBDD的距离即为直线AA,到平面BBDD的距离， 正方体ABCD-ABC1D中，AC⊥BD,BB⊥平面ABCD, 又ACc平面ABCD,所以AC⊥平面BB,DD, 故AO即为点A到平面BBDD的距离， 40-4c-xM+4-5. 所以直线A4到平面BB,DD的距离为√2.故选：C 5.如图所示，已知a∥B,GH,GD,HE分别交a,B于A,B, C,D,E,F,且GA=9,AB=12,BH=16,SBc=72,则 SABm为(）· A.90 B.96 C.108 D.144 【答案】B 【详解】解：a∩平面GAC=AC,B∩平面GBD=BD,且a/IB, AC//BD.同理有AE//BF,又LEAC与∠FBD同向， ∴LEAC=LFBD,又GA=9,AB=12,ACI/BD, 品器)”D号月限，肉m161,以观可得号子 4 S.ARC=2 1AE.AC.sin EAC AEAC7、33 S BFD NFB.BD-sin☑PBD FB BD 47 4' 4 4 SBm=3Sc=3x72=96 6.如图，在正三棱柱ABC-AB,C1中，AB=A4=2,与平面AABB平行的平面截三棱 柱ABC-AB,G得到截面DBED,若几何体ABDB-ABAE的体积为N5 且几何体 2 ABDE-ABD耳的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为() B A.6π B.8π C.26m D. 28元 3 3 【答案】B *2x2x 1 【详解】因为V正三核柱ABC-ABG= x2=2√5， 2 答案第3页，共14页 V楼c4g-08=2√5- 33V5 2 =SGng×2,所以S9Ag= 4 又S4G=V5,所 Agan=1 S△ABC 器器c4-c4-5- 4’ 因为C到4县的距离为、6，所以A到4的距离为×5-5 如图，设正方形ABB,A的外接圆圆心为O,半径r= 巨AB=5, 死08B4的外接题图心为Q,羊径三DgxV29 2 已知几何体ABDE-AB,DE的所有顶点均在同一个球面上，设此球的半径为R, O,O2+2=R2, 设球心为O则 0,0 +=R,解得O0=0,R=2 2 4 故该球的表面积为4πR=8π B 7.如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为√的球面 上，并且4B,C,D在同一平面内，点Q为此八面体表面上的动点，且Og=2y5,则 3 点Q的轨迹长度为() E A.4Gn B.√6元 C.2v6n D. &√6m 3 3 3 【答案】A 【详解】考虑点Q在侧面ABE上运动时点Q的轨迹长度，如下图所示： 易知OE=OA=OB=√2，且△ABE是边长为2的等边三角形， 则三棱锥O-ABE是正三棱锥， 则点O在底面ABE内的射影点G为△ABE的中心， 取H为BE的中点，连接AH、OH,则AH⊥BE, 因为OB=OE=√2，BE=2, 故OB2+OE2=BE2,则OB⊥OE, 答案第4页，共14页 所以，△OBE为等腰直角三角形，且OH=BB=1, 2 AH-AB BHP=2-1=, 因为c为等边△ABE的中心，则AG=24H=25 所以，0G=√OA2-AG2=, 2 3 3 因为OG⊥平面ABE,QGC平面ABE,所以OG⊥QG, 则0G=√002-0G 99 所以，点Q的轨迹是以点C为圆心，半径为6的圆在。ABB内的圆弧， 如图，设圆G与BE交于M,S两点， ,Gh= 由于在Rt△GM中GM=√6 3 则cos∠MGH=5,所以∠MGH=,则∠MGS= 所以圆c在aABB内的一段弧的长为2元-x3x6V6 236 则点Q的轨迹长度为V6x8=4W6故选：A B 6 3 8.在三棱台ABC-AB,C1中，△A4BC的面积是△ABC的面积的4倍，D为CC1的中点， 点E满足2AE=AB+AB,该棱台被平面ADE分成不同的两部分，记/为体积较小的部 分的体积，为体积较大的部分的体积，则 =() A.月 B. c D. 【答案】C 【详解】由于三棱台上下底面的三角形相似。所以丽=}A马、 从而A正-4B+西-4A+丽-+6-4+4， 则E是线段AB的中点，平面ADE即平面ADB.如图，连接AC1,BC 设三棱台ABC-ABC1的高为h,Ssc=S,则S4G=4S, 三棱台ABC-4BG的体积V-}(S+4S-S+4S)=3 31 而三棱锥A-A8S的体积V4特9=〉 x4S×h=4sh, 3 则剩余部分四棱锥'A-Bccg=V-'443,9=Sh, 答案第5页，共14页 在梯形BCCA内，由于BC=BC,D为CC的中点， 2 1 1 所以Sa9o=S.m=Sas=3Sar8,所以aAe0=3S7, 前以业品子，所以片-号 31 3 3 二.选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分) 9.己知m,是两条不同的直线，心，B是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A.若⊥c,m⊥n,则l∥a B.若m∥a,n⊥B,a∥B,则m⊥n C.若m/1a,ml1B,∩B=n,则ml∥n D.若nco,n/lB,ml1a,mcB,则ox/1阝 【答案】BC 【详解】对于A,可得n/或nCo,故A错误， 对于B,若m∥a,a∥B,则mCB或∥B,又n⊥B,则m⊥n,B正确. 对于C:如图： 过直线m作平面Y,交平面于直线a,因为ml1a,所以m/la: 过直线m作平面δ，交平面B于直线b,因为m/1B,所以m//b: 所以a/b,且bcB,a文B,所以a/IB aco,a∩B=n,所以alln 又m/1a,所以∥n.故C正确； 对于D,若l∥n,则a与B可以相交，D错误 10.如图，已知圆台的轴截面为ABCD,其中AB=3CD=6W3,AD=4,M为圆弧AB的中 点，DE=2EA,则() D C E M A.圆台的体积为26π B.与AB所在直线垂直的母线有2条 C,圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为、 D.过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为8√ 【答案】ABC 【详解】对于A选项，因为AB=3CD=6√3，AD=4, 所以圆台上底面圆半径为5，下底面圆半径为35，所以圆台的高h=√42-(2√5)2=2， 答案第6页，共14页 所以圆台的体积V=号π2-(W)+535+35)]=26,故A正确： 由h=2,BC=4得sin∠OBC-2_1 42 因为∠0BC∈0，孕，所以∠08c-君， M 如图，将圆台补成圆锥，顶点记为T,底面圆的圆心记为O,连接TO,MO,MT, 因为M为AB中点，所以MO⊥AB, 因为TO⊥平面AMB,MOc平面AMB,所以TO⊥MO, 因为TOOAB=O,TO,ABC平面ABCD,所以MO⊥平面ABCD, 因为MOc平面MO,所以平面TMO⊥平面ABCD, 出时母线所在直线D1与平面ABCD所成的角最大为MTO,MT0=石，C小 由∠IB02:0B=33得T0=3,BT=6,所以TC=6-4=2 当两条母线所在直线夹角为时面积最大为62×m2×m-16,DX:选ADC 22 2 11.如图，在正方体ABCD-AB,C1D中，M为AB中点，P为线段BD上一点，记平面 MPC截正方体所得截面为.当A,P,C三点共线时，MP=√5，则() A D M B D B----- C A.当AB的中点在a上时，截面图形的面积为√ B.截面形状可能是五边形 C.记BD的中点为O,当P在线段OB上时，截面图形是四边形 D.B,P+PC的最小值为2W2+√2 【答案】BCD 【详解】对于A,当A,P,C三点共线时，P为BD中点，取AB的中点E,连接ME,EP,MP, A D A D M B M B B A E B 答案第7页，共14页 则P@p4}0 -54D=5,解得AD2. 2 2 记AB中点为E,连接CM,CE,ME, 显然有CMCE,MB⊥CE,故点C,在上，则截面图形为矩形CEMC1,又CC=2, 所以CM=√5，则截面图形的面积为CC xCM=2√5，故A错误： 对于D,将△BCD沿BD向下翻折与平面BDDB共面，连接B,C, 则B:P+PC的最小值即为线段BC的长度，P为BC与BD的交点，因为∠B,BC=135°， 所以由余弦定理得B,C2=BB+BC2-2BB,·BCcos∠B,BC=8+4N2, 则B,C=2√2+√互，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分） 12.水平放置的△ABC,用斜二测画法得到直观图△A'B'C”,如图所示，若AB'=A'C'=2, 则△ABC的面积等于 O'(A) B 【答案】4 【详解】由题意，作出直观图对应的原图， 可得AB=AB=2,AC=2A'C'=4,∠BAC=90°， 1 所以△ABC的面积等于二×2×4=4.故答案为：4. O4) B 13.如图AB,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD,Q, O,分别为上、下底面圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三 棱锥A-BCD的体积为18，则O1O2=」 【答案】3 【详解】设园柱的底面半轻为，商为，由90-4奶得h=” 又因为AB⊥CD,AB⊥OO3,且OO⌒CD=O2, 0 所以AB⊥平面COD, 所以三棱锥A-BCD的体积 V-S.cBxAB-xxCDxQQxAB-3xx2rxrx2r-2=18 3 32 32 3 则r=3,即圆柱的高h=3 答案第8页，共14页 14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2W3,AD=2,E、F、G、H分别是四边的中点.现 将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）.若折 痕用虚线段连接，则这样的虚线段需要连条（用数字作答）：若一个小球可以在正 四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为165，则该 25 小球的半径”= D G H B E 【答案】 5 616 1010 【详解】 A(B、C、D) G H G----- E B E 图1 图2 第一个空：折痕如上图1中虚线段，折叠后点A,B,C,D重合为一点如图2，所以折痕 虚线段共5条， 第二个空：小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体每个面的所有接触点形成 的轨迹为一正三角形， 该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影， 因此小球任意滚动时，小球球心形成的轨迹为一个小正四面体， 该小正四面体的面与正四面体的对应面平行，距离为半径？，设其棱长为， 则小球球心在正四面体对应面上的投影总面积为45。-5a=号 4 25 H 05 G M 取EF中点M,连接GM,M, 答案第9页，共14页 设小球与顶点H的正四面体H-GBF的3个面都相切时的球心为O,点O在平面上的投 影为0， 那么O为△GsF的中心，则在线段GM上，且OM=GM-5 1 令O,在平面上的投影为N,则N在线段☑M上， 设与平面GBF平行的小正四面体的面交于点O,设小球半径为”， 那么H0=√HG2-G0 2v6 、0023 HO, M√3 由RtHNO,.~RLHOM,可得O,NOMx -3.Hi0,=30,N=3, 3 则H0=H0,+00,+0,0=3r+ 6+r=26,即r=6 3 10 所以，该小球半径为6 10 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.如图，一个圆锥形空杯倒放在一个装满水的半球形容器上，半球的底 面与杯口完全贴合.已知圆锥的底面直径与半球的直径均为10 (1)若圆锥的高是5√3，求该组合体（圆锥与半球）的表面积； (2)若将半球形容器中的水全部倒入圆锥形杯子中，水恰好装满杯子且不溢 出，求杯子的高度， 【详解】(1)圆锥的侧面面积为S=兀×5×10=50π， 2 里球的表面积为S=)×4X5=50元，………… 4 该组合体的表面积为S+S=100元…6 (2)设圆锥的高为九，则圆锥的体积为y1=× 5X7兀x5×h,…8 华球的体积为V22X元X.…………10 由题意可知，1=y,即×元xS×h=名×x5,解得h=10, 3 所以杯子的高度为10.故答案为：10.…13 答案第10页，共14页 16.如图，四棱锥P-ABCD中，AB=BC=AD,AD1/BC,E,R,H分别为线段 2 AD,PC,CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. D B B (1)求证：AP//平面BEF;(2)求证：GH1/平面PAD 【详解】(1)连接BC,AD/BC,BC=AD,BC=AB,BCIIAE, ∴四边形ABCE是平行四边形，… 2 O为AC的中点，… 又F是PC的中点，.FO/AP,… 5 又.FOC平面BEF,API平面BEF, .AP//平面BEF,… 。7 (2)连接FH,OH, F,H分别是PC,CD的中点，.H/PD,… 0…9 又.PDC平面PAD,FH文平面PAD, H|/平面PAD,… …11 又O是BE的中点，H是CD的中点， .OH11AD,ADC平面PAD,OHI平面PAD, .OH/平面PAD（或者，同理可得，OH//平面PAD).…12 又FH∩OH=H,…l3 所以平面OHF/平面PAD,…14 又.…GHc平面OH℉，GH/平面PAD.……15 17.如图，多面体ABCD-AB,C1是由一个直三棱柱ABC-AB,C与一个四棱锥D-ACCA 组成，其中BC∥AD,AD=2BC,AB=BC=CA=AA=4,E是AC上的一点， A B B D (1)若E是AC中点，求异面直线AE与BC所成角的余弦值. KB (2)若E为BD与AC交点，K为线段AB上一点，且满足EK∥平面AAD,求 4B的值. 答案第11页，共14页 【答案】()0 B-1 (②存在，且AB3 【详解】（1）)如下图所示，连接AB,交AB于点F,连接EF,…1 B 在三棱柱ABC-AB,C中，AAIIBB,AA=BB,所以，四边形AABB为平行四边形， 因为AB∩AB=F,所以F为AB的中点， 又因为E为4C的巾点，所以EFBC,且EPAC 因为B,CC平面AEB,EFC平面AEB,故B,C∥平面AEB: 在直三棱柱ABC-AB,C1中，A4⊥平面ABC,AEc平面ABC,所以A4⊥AE, 所以，4E=VA4+AE=V4+22=25, 同理可得B,C=VBB2+BC=V√42+4F=4V2,AB=4W2, 所以，F号BC=2万，4PAB=25. 因为EF∥BC,所以，异面直线AE与B,C所成角为∠FEA或其补角， 由余弦定理可得co8∠F24=4E+EF2-4P' 20+8-8V10 2AE·EF 4W5×2W24 因此，异面直线4E与B,C所成角的余弦值为O (2)如下图所示： 因为ADC,ACnn=,所以器-%-片 ………………9 因为EK∥平面AAD,EKC平面ABD,平面ABD∩平面A4D=AD, 所以EK∥AD,…l3 饮阳令因世合} KB 1 KB 1 所以，线段AB上存在一点K,使得EK∥平面AAD,且 …15 AB3· (反过来写，先写位置再证明平行，只有结果分2分) 答案第12页，共14页 18.如图三棱锥P-ABC中，BC1平面PAC,BC=√3， AC=3,PB=√5，点E满足AE=2EC,PE=1. (I)证明：PE⊥平面ABC: (2)若在棱AB上存在一点D,使得PD⊥AC, (i)求BD的长： (i)若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围. 【详解】(1)由BC⊥平面PAC,PE,PCC平面PAC,所以BC⊥PE,BC⊥PC,·1 因为AE=2EC,AC=3,所以CE=1, 在RtAPBC中，PC=√PB2-BC=√， 在△PCE中，PE=CE=1,所以PC2=PE2+CE2,即PE⊥AC,…3 又AC∩BC=C,AC,BCC平面ABC,…4 所以PE⊥平面ABC,…5 ①)（①D为AB上茶远B的三等分点，即D-8=23 使得PDLAC…7 3 理由如下：连接DB,因为AB=2EC,所以4二-D=2,所以DE/BC EC DB 因为BC⊥平面PAC,ACc平面PAC,所以BC⊥AC,所以DE⊥AC…8 由(1)可知PE⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以PE⊥AC…9 又因为PD∩DE=D,PDC平面PDE,DEC平面PDE, 所以AC⊥平面PDE,…10 因为PDC平面PDE,所以PDLAC.… …………11 所以BD-AB=2V5 3 3 (反过来写，由垂直推出来D的位置，只有结果分2分) (i)由(i)可知DEI∥BC,且BC￠平面PDE,DEC平面PDE,所以BCI平面PDE 则F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，记为h 由（i)知：AC⊥平面PDE,所以h=CE=1…13 在RtAPBC中，由PC≤PF≤PB得√2≤PF≤√5， …15 设直线PF与平面PDE所成角为0，则sinO= h ……6 PEPE 所以5sn0s5 5 所以直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围为 「5 5’2 ……17 答案第13页，共14页 19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD,S4=√2AB, AC与BD交于点O. (I)设平面SAB交平面SCD于直线I,求证：AB/l; (2)若AB=2,且M是棱SD的上任意一点，点M到平面 S4B,SBC,ABCD的距离分别为d4,d,d,求V2d+V3d,+2d: SP 2CO B)若P,0分别是线段8，AC上的点，且BP4C-2C ,设Pg 与SC所成的角为a,P2与BD所成的角为B,求sina+sinB的 最大值. B2- (1)因为AB/CD,CDC平面SCD,AB4平面SCD, 所以AB//平面SCD,… …2 又因为ABC平面SAB,平面SAB∩平面SCD=直线l, 所以AB/I;… (2)依题意可得，-BcD=M-hB十M-8C+M-ABcD,…6 1 即22×2√2=2W2d+2W3d,+4d,解得V2d,+V3d,+2d,=4W2;…10 A BE R (3)作PR∥SC,与BC交于点R,连接RO,如图. 因为PR∥SC,所以P-CR BP BR 2C0 又Ac-2c04C-c0o0,所以 SP CR CO 2 BP BR OO 所以RQ∥BO.… ………14 由(1)可得BD⊥SC,所以PR⊥OR, 则∠OPR=&∠ROP=B,且a+B= 2 所以sin+simP=sma+cosa=2sna+4} 当a=匹时，na+simB取得最大值为√2.…17 4 答案第14页，共14页