专题01分式期末复习讲义(28大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题01分式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解分式概念，掌握分式有意义、值为 0 的条件。 2.掌握分式基本性质，熟练约分、通分。 3.熟记分式四则运算、乘方及整数指数幂运算法则。 4.掌握分式方程的解法，理解增根含义。 5.掌握分式方程应用题的基本模型。 1.能确定分式中字母的取值范围。 2.熟练进行分式化简、运算与求值。 3.规范解分式方程，会检验根。 4.能根据增根求解参数。 5.会列分式方程解决实际问题。 1.夯实基础题，减少概念、计算失误。 2.规避分母不为零、忘记验根等常见错误。 3.规范解答分式计算、化简求值大题。 4.熟练掌握含参数分式方程题型解法。 5.规范书写应用题解题步骤，提高得分率。 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式有无意义与值为零综合 题型05.分式的求值 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.最简公分母与通分 题型11.分式通一系数与首项符号化简 题型12.分式乘除运算 题型13.分式乘方及混合运算 题型14.分式加减 题型15.分式加减混合运算 题型16.分式加减的实际应用 题型17.分式加减乘除混合运算 题型18.分式化简求值 题型19.分式最值 题型20.解分式方程 题型21.由分式方程解的情况求值 题型22.分式方程无解问题 题型23.列分式方程 题型24.分式方程行程问题 题型25.分式方程工程问题 题型26.分式方程经济问题 题型27.分式方程和差倍分问题 题型28.其他实际问题 知识点01:分式的基本概念 1. 分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 其中A叫做分子，B叫做分母。 有理式分类：有理式 判断技巧：只看分母是否含有字母，与分子是否含字母无关；π是常数，不算字母。 2. 分式有意义、无意义、值为 0 的条件 设分式(A、B)为整式 分类 成立条件 解读与注意事项 分式有意义 分母 B 0 字母取值不能让分母为零，基础必考题型 分式无意义 分母 B = 0 此时分式不成立 分式的值为0 分子A=0且分母B0 两个条件缺一不可，只令分子为 0 极易出错 知识点02:分式的基本性质 1. 性质内容 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 公式：，(A、B、C为整式，C0) 2. 符号法则（必考） 分式的分子、分母、分式本身，三处符号改变任意两处，分式值不变。 常用变形： 3. 约分与通分 两者都是利用分式基本性质进行恒等变形，是分式运算的基础。 项目 定义 详细解题步骤 补充说明 约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去 1.对分子、分母分别因式分解； 2.找出分子、分母的所有公因式； 3.约去公因式 最终结果化为最简分式（分子、分母无公因式）或整式 通分 把几个异分母分式化为同分母分式 1.确定最简公分母； 2.根据分式基本性质，将各分式变形 最简公分母确定方法： ①系数取各分母系数最小公倍数；②字母 / 因式取全部出现的项；③相同字母取最高次幂 知识点03:分式的运算 （一）分式乘除、乘方运算 运算类型 运算法则（公式） 运算要点与易错提示 分式乘法 （b0,d0） 分子相乘作分子，分母相乘作分母；先约分，后计算，简化运算 分式除法 ==(b.c d0) 除法变乘法，除式取倒数；注意符号运算 分式乘方 ()n=（b0，n为正整数） 分子、分母分别乘方；负数乘方注意符号 (二）分式加减运算 运算类型 运算法则（公式） 运算要点 同分母分式加减 ±（c0） 分母保持不变，分子直接相加减；分子是多项式时，注意添加括号 异分母分式加减 ±=（b0,d0） 第一步先通分，转化为同分母分式，再计算 （三）分式混合运算 1.运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号时，先算括号里面的。 2.通用要求 计算前优先对多项式因式分解，方便约分、通分； 运算过程步步化简，减少计算量； 3.最终结果必须化为最简分式或整式。 常用技巧：灵活运用运算律（交换律、结合律）简化计算。 知识点04:分式方程 1. 定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 2. 解分式方程标准步骤 步骤 操作内容 核心要求 ①去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程 不要漏乘不含分母的项 ②解整式方程 按一元一次方程解法求解 规范计算，注意移项变号 ③检验 将解代入最简公分母 公分母0：是原方程的解 公分母=0：为增根，原方程无解 ④写结论 根据检验结果作答 检验是必写步骤，不可省略 3. 增根与无解（重难点） 概念 / 题型 知识点 & 解题思路 增根 1.定义：整式方程的根，但使原分式分母为 0 2.产生原因：去分母扩大未知数取值范围 已知有增根，求参数 令最简公分母=0，求出增根 2.把增根代入整式方程，计算参数 已知方程无解，求参数 分两类讨论：1. 方程产生增根2. 化简后的整式方程本身无解 知识点05:分式方程实际应用 1. 解题流程（六步标准格式） 步骤 工作内容 书写规范 审题 梳理已知量、未知量，找出等量关系 读懂题意，抓核心数量关系 设元 设未知数，标注单位 可直接设元或间接设元 列方程 根据等量关系列出分式方程 式子书写工整 解方程 按照分式方程解法求解 步骤完整 双重检验 1. 检验是否为增根2. 检验结果是否符合实际意义 人数、时间、数量等必须为正数 作答 写出完整答案，带单位 语言简洁规范 2. 常考题型及等量关系 题型 核心公式 补充说明 工程问题 工作总量= 工作效率 × 工作时间 无具体总量时，常设工作总量为1 行程问题 路程 = 速度 × 时间 包含相遇、追及、航行类问题 销售问题 总价 = 单价 × 数量； 利润 = 售价-进价 价格、数量类应用题常用 题型01.分式的判断 1．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式定义：一般地，如果，表示两个整式，，且中含有字母，那么式子是分式； 【详解】解：∵是整式，的分母是常数，是整式，均不符合分式定义； 的分母含有字母，符合分式定义． 2．代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； 综上，分式共有个． 3．有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意是常数不是字母． 【详解】解：①，③是分式，②，④不是分式， 故选：C． 题型02.分式规律探究 4．观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 【答案】（，且n取整数） 【详解】解：∵； ； … ∴第个等式为（，且n取整数）． 5．已知，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】利用分别用含的代数式表示从而探索规律即可求解． 【详解】解：， ． ． ． 当是奇数时， ． 当是偶数时， ． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的运算，探索出规律是解题的关键． 6．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 题型03.按要求构造分式 7．面积为的某梨园产梨，平均每平方米产梨_________； 【答案】 【分析】根据单位面积产量等于总产量除以总面积的数量关系，列出代数式即可． 【详解】解：已知该梨园面积为，产梨总产量为， 根据平均单位面积产量的计算方法，可得： 平均每平方米产梨． 8．甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出公交车的实际行驶时间，再利用速度=路程÷时间列代数式即可 【详解】∵甲、乙两地相距，原计划用时，公交车提前到达， ∴公交车实际用时为， ∵速度=路程÷时间， ∴公交车的速度为， 9．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 题型04.分式有无意义与值为零综合 10．已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】5 【分析】根据分式无意义的条件求出的值，根据分式值为的条件求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：当时，分式无意义， 即， 解得：， 当时，分式的值为， 即且， 解得：， 则． 11．当x满足____条件时，分式有意义． 【答案】 【分析】分式有意义的条件为分母不等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由分式有意义的条件得： ， 解得． 12．若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式值为零需同时满足两个条件，分子为零，分母不为零，分别计算两个条件即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子，且分母， 由得，即， 由得， 综上，． 13．要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，判断一个分式是否有意义，应考虑分母上字母的取值，字母的取值不能使分母为零． 要使分式有意义，则分母不能为0，据此条件解得x的取值． 【详解】解：要使分式有意义，则，且， 即且， 的取值范围是且， 故选：D． 14．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） 的取值 3 0 分式的值 无意义 0 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值，解分式方程，根据分式无意义的条件，分母为0，分式的值为0的条件，分式的分子为0，分母不为0，分别求出的值，再把和代入分式，求出分式的值，进行判断即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴， ∴， ∵时，分式的值为0， ∴， ∴， ∴分式为， ∴当时，分式的值为，即当分式的值为1时，，即； 当时，分式的值为，即：， 综上，只有选项C错误，符合题意； 故选C． 题型05.分式的求值 15．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先对分子因式分解，约分化简分式后，再代入计算结果． 【详解】解：∵， 又， ∴原式． 16．已知，则= ____． 【答案】 【分析】将原式取倒数，再将分子进行变形求值即可． 【详解】解：对取倒数可得， ， ∴． 17．若实数a，b同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先通过加减消元法求出和的值，再将分式通分，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ； ， ， ； ∵， 将、代入： ． 18．已知，求代数式的值． 【答案】3 【详解】解：          ∴原式． 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 19．若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：分式的值为正数， 分子与分母同号， 对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数， ． 20．若分式的值为整数，则非负整数的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查分式的求值问题，由分式的值为整数，可得可以为、、、，据此可以得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴可以为、、、， ∴可以为、、、， ∴非负整数的值为或或． 故答案为：或或． 21．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 22．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，然后解这两个不等式组即可求出结论． 【详解】解∶ ， ∵分式的值为正数， ∴， 解得且． 故选∶B． 【点睛】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 题型07.分式变形的判断与条件 23．下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 【答案】④ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据分式的基本性质， ①该选项变形错误，不符合题意； ②，该选项变形错误，不符合题意； ③，当异号的时候，该选项变形错误，不符合题意； ④，该选项变形正确，符合题意； 正确选项为④， 故答案为：④． 24．根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填_______；_________；________． （2）；序号中应分别填_______；_________；________． （3）；序号中应分别填_______；_________；________． （4）．序号中应分别填_______；_________；________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （2）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （3）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （4）根据分子从变为可知①②其中一个为，进而根据平方差公式作答即可． 【详解】解：（1） 故答案为：，，； （2） 故答案为：，，； （3） 故答案为：，，； （4） 故答案为：，，． 25．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 26．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，逐一分析每个选项的变形是否符合分式的相关性质． 【详解】解：由分式的分子分母同时乘同一个不为0的整式，分式值不变， A选项：当，时，左边，右边，，故A错误，不符合题意； B选项：当，时，左边，右边，，故B错误，不符合题意； C选项：分母，不能将分子分母的3直接约去，当，时，左边，右边，，故C错误，不符合题意； D选项：， ，变形正确，故D正确，符合题意； 故选D． 题型08.分式值变化判断 27．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．缩小3倍 【答案】A 【分析】将x，y扩大3倍后代入原分式，化简后与原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，变为，， 则新分式为， 所以新分式与原分式相等，分式的值不变． 28．分式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值（    ） A．变为原来的 B．变为原来的3倍 C．变为原来的9倍 D．不变 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 直接利用分式的性质将原式变形进而得出答案． 【详解】解：， ∴分式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值变为原来的3倍， 故选：B． 29．（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握给分式的分子、分母同乘或除以一个非整式，分式的值不变成为解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：由与分母乘以x，则分子也需乘x，即； 由与分子乘以30，则分母也需乘30，即． 故答案为：，． 题型09.约分与最简分式 30．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简，通过因式分解和约分验证每个选项的正确性． 【详解】A．∵，而，两者不相等，故A错误． B．∵，与不相等，故B错误． C．∵，与不相等，故C错误． D．∵，与右边相等，故D正确． 故选：D． 31．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式的定义判断，即分子与分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项因式分解约分后即可得到结果． 【详解】解：∵ 分子与分母没有公因式的分式是最简分式． 对选项A：，分子分母有公因子，不是最简分式． 对选项B：，分子可变形为，与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 对选项C： ， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对选项D：， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 32．已知a，b是有理数，，则_____ ． 【答案】0 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 33．计算： __________ (结果写成最简分式) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式与负指数幂的公式，关键是熟练掌握负指数幂公式，根据负指数幂的公式变形即可得出结果． 首先计算积的乘方，再用同底数幂的除法，最后再化成最简分式即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 题型10.最简公分母与通分 34．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定最简公分母的步骤为：1，取各分母系数的最小公倍数；2，单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；3，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 35．在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可． 【详解】， 计算通分时，分母确定为． 故选B 【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键． 36．分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握． 分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 37．分式、、的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的确定，根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可． 【详解】解：分母分解因式：，，；系数最小公倍数为12，字母a最高次幂为，字母b最高次幂为b，因式最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 38．按要求答题： (1)约分 (2)通分，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据分子分母所含相同因式，直接约分即可得到答案； （2）根据通分定义，将分母不同的分式化为分母相同的与原分式相等的分式直接通分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：，， 两个分式的最简公分母为， ；． 【点睛】本题考查分式的通分、约分，熟记通分、约分的定义，掌握通分、约分运算方法是解决问题的关键． 题型11.分式通一系数与首项符号化简 39．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 40．不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．通过找到分子和分母中系数分母的最小公倍数，乘以分子和分母，使所有系数化为整数即可解答． 【详解】分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母： 分子： 分母： 故答案为： ． 41．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 42．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 题型12.分式乘除运算 43．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键． （1）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，据此即可求解； （2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 44．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 45．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）两个分式相乘，直接进行约分即可； （2）首先对分子、分母分别进行因式分解，运用分式的除法法则把除法变为乘法，然后继续约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型13.分式乘方及混合运算 46．计算： (1)　　　； (2)　　　； (3)　　　； (4)　　　． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的乘方运算，熟知分式的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘方运算法则求解即可； （2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘方运算法则求解即可； （4）根据分式的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 47．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先进行乘方的运算，再进行约分，化为最简分式即可； （2）先进行多项式的因式分解，除号化为乘号，再进行约分，化为最简分式即可； （3）先乘方，再约分，化为最简分式即可。 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的运算，掌握运算顺序及方法是解题的关键。 48．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据分式的乘法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 49．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型14.分式加减 50．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据同分母分式加减运算计算，再约分即可； （2）根据异分母分式的加减运算法则先算括号，再算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 51．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式计算方法是解题的关键．先通分，再分子展开，合并化简，化为最简分式即可． 【详解】 52．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 53．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先约分、通分，再根据同分母分式减法计算法则求解即可； （3）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，接着约分，然后通分后进行同分母的减法运算； （4）先乘法，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型15.分式加减混合运算 54．已知，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：， 原式． 55．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 56．让我们来规定一种运算：，例如：，再如：．按照这种运算的规定，请解答下列问题： (1)求的值； (2)若 ，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查了新定义运算．熟练掌握有理数的四则运算，分式的加减，恒等原理，是解题的关键． （1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可； （2）根据新运算的定义式将原式左边化简为，可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ 且 ∴， ∴， ∴． 题型16.分式加减的实际应用 57．列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 【答案】(1) (2) (3)甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍 【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的混合运算的应用，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （1）设调制这种混合饮料需甲种饮料，根据甲种饮料千克数：溶液总质量甲种饮料质量：甲乙两种饮料质量和，列出方程计算即可求解； （2）先利用速度公式分别表示出电脑打字和手写的时间，然后求它们的差即可； （3）首先表示出甲乙所用时间为：、，计算其比值，化简即可得出结果． 【详解】（1）解：设调制这种混合饮料需甲种饮料，依题意有 ， 解得， 故调制这种混合饮料需甲种饮料； （2）解：设他手写的速度为字，则用电脑打字的速度为字， 则他电脑打3000字比手抄少花的时间为，即． （3）解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：， 乙工程队修600米所用时间为：， 则其比值为：， ∴甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍． 58．林林家与学校的距离为，林林骑自行车从家到学校需要．某天，林林从家骑自行车出发后，爸爸才从家骑自行车出发，结果爸爸与林林同时到达学校．爸爸每分钟比林林多骑多少千米？ 【答案】 【分析】根据速度等于路程除以时间，求出两人的速度，作差即可. 【详解】解：由题意，林林的速度为，爸爸的速度为， 故爸爸每分钟比林林多骑的路程为； 答：爸爸每分钟比林林多骑． 59．小明在计算机上打m千字的文稿需要ah，小华在计算机上打n千字的文稿需要bh． (1)小明和小华在计算机上平均每小时各打多少千字？ (2)小明和小华在计算机上打文稿的时间分别为2h和3h，他们共打文稿多少千字？ (3)如果小明比小华打字快，那么小明比小华平均每小时多打多少千字？ 【答案】(1)小明在计算机上平均每小时打千字；小华在计算机上平均每小时打千字 (2)千字 (3)千字 【分析】本题考查了列代数式及分式的加减运算，理解题意是关键； （1）文稿的字数除以打印文稿需要的时间即可得两人打字的速度； （2）由（1）所求分别乘上时间再相加即可； （3）将（1）所求的相减即可． 【详解】（1）解：小明在计算机上平均每小时打千字，小华在计算机上平均每小时打千字； 答：小明和小华在计算机上平均每小时各打千字和千字； （2）解：千字， 答：两人共打文稿千字； （3）解：千字， 答：小明比小华平均每小时多打千字． 题型17.分式加减乘除混合运算 60．化简． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再计算分式的乘法即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 61．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 62．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型18.分式化简求值 63．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 64．先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数，代入求值． 【答案】 ， 【分析】按照分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的x值，最后代入计算即可． 【详解】解：原式， ，，， ，1，2， 将代入得，原式． 65．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握相关的计算法则是解题的关键． 根据分式的运算法则进行化简，然后将值代入即可． 【详解】解： ， 将代入得， 原式． 题型19.分式最值 66．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 67．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 68．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)当时，函数取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴函数的最小值是4； （2）解：同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得或（舍去）， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 题型20.解分式方程 69．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】（1）根据解分式方程的方法求解即可； （2）根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 70．解分式方程 (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 71．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）等式两边同时乘以，再进行移项、合并同类项，求解即可； （2）等式两边同时乘以，再进行移项、合并同类项，求解即可． 【详解】（1）解： 经检验：是原分式方程的解； （2）解： 经检验：是原分式方程的解． 题型21.由分式方程解的情况求值 72．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围_____． 【答案】且 【分析】先解分式方程，再结合解为非负数和分母不为零的条件，列不等式组求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得： 解得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得：且． 73．已知关于x的分式方程的解为负数，则a的值为（    ）． A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据解为负数结合分式有意义的条件，确定a的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 解得． ∵方程的解为负数， ，即， 得； 又分式方程分母不为零， ， 即， 得； 必然满足， ∴a的取值范围是． 74．若关于的方程有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先解方程得到，再根据分母不为零的取值条件得到，再代入运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 75．若关于x的方程无解，求实数a的值． 【答案】 或 【分析】本题先将分式方程化为整式方程，得到用表示的结果，根据分式方程无解的条件可知，整式方程的根是原分式方程的增根，增根使原分式方程分母为0，据此代入计算即可得到的值． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 整理得 解得 因为原分式方程无解， 所以是原方程的增根 原方程分母为0时，或 当时，解得 当时，解得 因此实数的值为或． 题型22.分式方程无解问题 76．若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【答案】1或2 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意分两种情况求得m的值即可． 【详解】解： 原方程去分母得：， 整理得：， 当时，该方程无解，符合题意， 解得：， 当时，原分式方程无解， 那么， 即， 则， 解得：， 综上，m的值为1或2． 77．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或3 【答案】B 【分析】分式方程无解有两种情况：化简后的整式方程无解，或整式方程的解使分母为零． 【详解】解：原方程：， 去分母：， 化简：， 移项：， ∵ 方程无解， ∴ ① 当 时，即 ，方程无解； ② 当整式方程的解使分母为零，即 ， 代入整式方程：， 解得 ， 此时原方程无解. 综上， 或 ． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，解决本题的关键是理解分式方程无解、增根的定义． 78．已知关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】的值为 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义确定增根对应的的值，再代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：， ， ∵分式方程有增根， ∴，解得， 将代入整式方程得， ∴， 解得：， ∴的值为． 79．不解方程，判断方程是否可能有增根，并说明理由． 【答案】方程不可能有增根 解：∵， ∴，恒不为， ∴方程不可能有增根． 【分析】判断分母是否能为即可． 【详解】略 题型23.列分式方程 80．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据压强公式，水平桌面物体对桌面的压力等于物体重力，结合A、B对桌面的压强之比为的等量关系列方程即可． 【详解】解：设A铁块底面积为，则B铁块底面积为， 水平桌面上，铁块对桌面的压力等于铁块的重力， 根据压强公式可得：铁块A对桌面的压强为，铁块B对桌面的压强为， 由题意知，即， 代入压强表达式得：， 整理得：． 81．《九章算术》是中国古代数学专著，其中有一道关于古代驿站送信的题目，大意是：一份文件需要紧急送往600里远的城市，若用慢马，所需时间比规定时间多2天；若用快马，所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马、快马的速度分别是多少？若设慢马的速度为x里/天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，根据规定时间相等可得方程． 【详解】解：设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天， 根据题意，得． 82．某手工商店为响应“绿色生活”倡议，计划为社区市集制作环保袋，推广环保理念．现将员工按熟练程度分为两个组，高级组和初级组每天一共可以制作个环保袋，高级组3天制作的环保袋数量比初级组4天制作的环保袋数量多100个． (1)请问高级组和初级组每天制作的环保袋数量分别是多少个？ (2)由于环保袋销量很好，市集供不应求，商店为两组购进新设备以提高效率．升级后，初级组每天比原来多制作个环保袋，而高级组每天比原来多制作个环保袋．若升级后，高级组制作3000个环保袋所用天数与初级组制作1200个环保袋所用天数相同，求的值． 【答案】(1)高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋 (2)50 【分析】（1）设高级组每天制作个环保袋，初级组每天制作个环保袋，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋，进而根据所用天数相同，列出分式方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设高级组每天制作个环保袋，初级组每天制作个环保袋 根据题意， 解得： 答：高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋 （2）解：升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋 解得： 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴的值为． 题型24.分式方程行程问题 83．广东绿道建设起步早、历时长、成效快，现已形成了遍布南粤大地的绿道网络，将居民点、自然与人文景观、生态保护地串联为一体．小张和小李相约到某体育休闲公园的环湖绿道上匀速骑行，已知环湖绿道全长6600米，小张的速度是小李的速度的1.2倍． (1)若两人同时出发，背向而行，经过12分钟后两人相遇，则小李每分钟骑行多少米？ (2)若两人同时出发，同向而行，结果小张比小李早了4分钟回到起点，则小李每分钟骑行多少米？ 【答案】(1)250米 (2)275米 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系列出方程求解． （1）设小李每分钟骑行x米，则小张每分钟骑行米，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设小李每分钟骑行a米，则小张每分钟骑行米，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设小李每分钟骑行x米，则小张每分钟骑行米． 根据题意，得， 解得． 答：小李每分钟骑行250米． （2）解：设小李每分钟骑行a米，则小张每分钟骑行米． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：小李每分钟骑行275米． 84．从徐州到某地可乘普通列车，路程是，也可乘坐高铁，路程是．已知高铁行驶的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从徐州乘坐高铁比乘坐普通列车少用．求高铁行驶的平均速度． 【答案】高铁行驶的平均速度是300千米/时． 【分析】设普通列车的平均速度是千米/时，根据题意列分式方程求解． 【详解】解：设普通列车的平均速度是千米/时， 则， 解得： 经检验，是原方程的解， ， 答：高铁行驶的平均速度是300千米/时． 85．已知甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多．甲车行驶与乙车行驶所用时间相同， (1)求甲、乙两车的速度； (2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢，两车在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间． 【答案】(1)甲的速度为，乙的速度为 (2)共有次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后 【分析】（1） 设乙车速度为未知数，根据时间相等的条件，结合行程问题中时间路程速度的关系，列分式方程求解即可得到甲乙两车的速度； （2）分情况讨论相遇情况，第一次为出发后相向而行的相遇，根据路程和等于总路程求时间；再计算甲车到达B地后返回，转化为追及问题，计算第二次相遇的时间，判断没有第三次相遇，最终得到结果． 【详解】（1）解：设乙车的速度是，则甲车的速度是， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲车的速度是，乙车的速度是； （2）解：设从出发开始经过小时相遇，分情况讨论： 当甲乙第一次迎面相遇时，两人路程和为， 可得 ， 解得 ，符合行驶条件，即第一次相遇在出发后小时， 计算甲车从A到B的总时间为 ，即时甲车到达B地， 此时乙车行驶的路程为，乙车还未到达A地， 甲车返回时速度为 ， 设从出发到第二次相遇的时间为，，以A为原点建立位置关系，甲车的位置为，乙车的位置为，相遇时位置相等， 因此 ， 化简得， 解得， 乙车到达A地的总时间为， 因此符合题意，即第二次相遇在出发后小时 乙到达A地前，甲车已经返回到达A地，之后两车停止运动，没有第三次相遇． 答：共有2次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后． 题型25.分式方程工程问题 86．有一项工程需在规定日期内完成，如果甲队去做，那么恰能如期完成；如果乙队去做，那么要超过规定日期3天．现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队单独去做，恰好在规定日期内完成．这项工程预期几天完成？ 【答案】6天 【分析】本题考查分式方程的实际应用-工程问题，核心是利用“工作总量=工作效率×工作时间”的关系构建等量关系．先设预期完成天数为未知数，分别表示甲、乙两队的工作效率；再根据“甲队总共工作2天完成的工作量与乙队总共工作天完成的工作量之和为单位1”列出分式方程，最后求解并检验，得到符合实际的解． 【详解】解：设这项工程预期天完成，则甲队单独完成该工程需天，乙队单独完成该工程需天． 设工作总量为1，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为． 根据题意，可列方程：； 解得：； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解，且符合实际意义． 答：这项工程预期6天完成． 87．某车间承接一批零件加工任务，原计划每天加工若干个零件，可按期完成．实际工作时，每天加工数量比原计划多，结果提前5天完成任务．已知这批零件总数为600个，求原计划每天加工多少个零件？ 【答案】原计划每天加工20个零件 【分析】设原计划每天加工个零件，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设原计划每天加工个零件，则实际每天加工个零件， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意． 答：原计划每天加工20个零件． 88．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工15天完成了总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同工作了50天，总工程全部完成． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队施工一天需要各项支出9000元，乙队施工一天需要各项支出4000元． ①如果两队施工的天数一共是130天，怎样安排施工任务，可以恰好完工？所需施工费用是多少？ ②如果工期不超过75天，怎样安排施工任务（施工天数需为整数），可以最大限度地节省开支？支出的最少金额是多少元？ 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需要180天 (2)①甲队施工50天，乙队施工80天，可以恰好完工，所需施工费用为770000元；②甲队施工53天，乙队施工74天，可以最大限度地节省开支，支出最少的金额是773000元，且比预期工期少用1天 【分析】（1）设乙队单独施工1天能完成总工程的，根据甲队完成的任务量乙队完成的任务量总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，此题得解； （2）①设甲队施工的天数是天，则乙队施工的天数是天时，两队恰好完成．列方程求解，再根据方程的解，求出施工经费即可； ②根据甲、乙的工作效率及施工费用，得到乙队施工天数多一些，更节省开支．设乙队施工75天，甲队施工天，可以完成任务．列方程求解得到，再计算金额即可． 【详解】（1）解：由题意，可得甲队单独完成这项工作需要（天）， 则甲队1天能完成总工作量的． 设乙队单独完成这项工作需要天，则乙队施工1天能完成总工作量的． 依题意可列方程为， 解得． 经检验是方程的解． 答：甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需要180天． （2）解：①两队施工的天数一共是130天，设甲队施工的天数是天， 则乙队施工的天数是天时，两队恰好完成． 依题意可列方程为， 解得． 乙队施工的天数是（天）． 总支出是， 当时，． 因此甲队施工50天，乙队施工80天，可以恰好完工，所需施工费用为770000元． ②由题意可知，甲队施工1天需支出9000元，乙队施工1天需支出4000元， 乙队2天的支出是8000元，其2天的工作量相当于甲队1天的工作量， 因此乙队施工天数多一些，更节省开支． 假设乙队施工75天，甲队施工天，可以完成任务． 依题意可列方程为， 解得． 为整数， 的值取53，即甲队施工53天． 又甲队半天的工作量等于乙队1天的工作量， 乙队只需要施工74天． 支出的最少金额为（元）． 答：甲队施工53天，乙队施工74天，可以最大限度地节省开支，支出最少的金额是773000元，且比预期工期少用1天． 题型26.分式方程经济问题 89．某商店销售两款与马相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 【答案】A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元． 【分析】根据“顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B款吉祥物的单价为元，则A款吉祥物的单价为元， 根据题意列方程得， 解得， 检验∶当时，， 所以是原分式方程的解， 则， 答∶A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元． 90．为解决老旧小区居民“上楼难”问题，山西省将既有住宅自愿加装电梯列入年民生实事工程．某小区加装电梯，在享受政府补贴后，居民需自筹剩余资金，其中加装台型电梯所需的自筹资金比台型电梯多万元；万元自筹资金可以加装的型电梯数量恰好是加装型电梯数量的倍．求加装台型电梯各需自筹资金多少万元？ 【答案】加装台型电梯需自筹资金万元，加装台型电梯需自筹资金万元． 【分析】设加装台型电梯需自筹资金万元，则加装台型电梯需自筹资金万元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】解：设加装台型电梯需自筹资金万元，则加装台型电梯需自筹资金万元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， 答：加装台型电梯需自筹资金万元，加装台型电梯需自筹资金万元． 91．2026年4月，重庆中小学迎来春假，某文创店抓住商机用2400元购进种纪念品，用3000元购进种纪念品．已知种纪念品每个的进价比种纪念品每个的进价低20元，且购进种纪念品的数量是种纪念品数量的倍． (1)求、两种纪念品每个的进价分别为多少元？（列方程解答） (2)节日期间文创店生意火爆，已知种纪念品的售价为70元/个，种纪念品每个售价比进价多元，当种纪念品售出50个时，种纪念品售出；店主为了回馈顾客的支持，开始做促销活动，种纪念品对剩余部分打折，种纪念品对剩余部分进行买2赠1活动，两种纪念品均全部售出，若要使销售这批纪念品的总利润不低于2260元，求的最小值． 【答案】(1)A种纪念品每个进价40元，则B种纪念品每个进价60元 (2)a的最小值为8 【分析】（1）设种纪念品每个进价元，则种纪念品每个进价元，根据题意，列出分式方程进行求解即可； （2）根据题意，列出不等式，进行求解即可. 【详解】（1）解：设种纪念品每个进价元，则种纪念品每个进价元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解． ∴， 答：A种纪念品每个进价40元，则B种纪念品每个进价60元； （2）解：种纪念品购进数量：，种纪念品购进数量：个， 由题意得： ， 解得：； 答：a的最小值为8． 题型27.分式方程和差倍分问题 92．道县心连心志愿者协会准备用筹集的资金购买A、B两种型号的文具．已知B种文具的单价比A种文具的单价多10元，用360元购买B种文具与用240元购买A种文具的件数相同. (1)求A，B两种文具的单价各是多少元？ (2)若购买A、B两种文具共100件，此时恰逢商场对两种型号的文具的单价进行调整，A种文具的单价提高了，B种文具按之前单价的9折出售且总费用不超过元，则最多购买B种文具多少件？ 【答案】(1)两种文具的单价分别是20元和30元 (2)最多购买种文具80件 【分析】本题主要考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，解题的关键是找到等量关系建立方程． （1）设种文具的单价为元，则种文具的单价为元，利用“用360元购买B种文具与用240元购买A种文具的件数相同”列分式方程求解即可； （2）设购买种文具件，则购买种文具为件，根据总费用不超过建立不等式求出其解即可． 【详解】（1）解：设种文具的单价为元，则种文具的单价为元． 由题意得： 解得： 经检验，是原分式方程的解， （元） ∴两种文具的单价分别是元和元． （2）解：设购买种文具件，则购买种文具为件． 由题意得： 整理得：． 解得 ∴最多购买种文具80件． 93．某学校为科技室准备购买，两种型号的机器人模型，已知机器人模型单价比机器人模型单价多元，用元购买的机器人模型数量与用元购买的机器人模型数量相同． (1)求、机器人模型的单价分别是多少元？ (2)若需购买和机器人模型共台，且总费用不超过元，则最多能购买机器人模型多少台？ 【答案】(1)机器人模型的单价是元，机器人模型的单价是元 (2)最多能购买机器人模型台 【分析】（1）根据题目中的数量关系，设机器人模型的单价是元，用含x的式子表示机器人模型的单价，再由“用元购买的机器人模型数量与用元购买的机器人模型数量相同”列方程求解即可； （2）根据题目中的数量关系，设购买台机器人模型，列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设机器人模型的单价是元，则机器人模型的单价是（）元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：机器人模型的单价是元，机器人模型的单价是元； （2）解：设购买台机器人模型，则购买（）台机器人模型， 根据题意得：． 解得：， 的最大值为． 答：最多能购买机器人模型台． 94．某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 (2)该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元； （2）解：设该商场购进个种书包，则购进个种书包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值为、、， 当时，， 当时，， 当时，， 该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 题型28.其他实际问题 95．我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 【答案】(1) (2)每台机器人每天采茶40千克 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）列分式方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得，每台机器人每小时采茶量为千克； （2）解：由题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际情况． （千克）． 答：每台机器人每天采茶40千克． 96．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人，B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多；清扫所用的时间A型机器人比B型机器人多用．两种型号的扫地机器人每小时分别清扫多少面积？ 【答案】A型号扫地机器人每小时清扫面积，B型号扫地机器人每小时清扫面积． 【分析】本题考查分式方程的实际问题，依据题意设未知数，找等量关系列方程即可，注意要检验． 【详解】解：设A型号扫地机器人每小时清扫面积，B型号扫地机器人每小时清扫面积， 根据题意，列方程得 解得 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A型号扫地机器人每小时清扫面积，B型号扫地机器人每小时清扫面积． 97．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01分式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解分式概念，掌握分式有意义、值为 0 的条件。 2.掌握分式基本性质，熟练约分、通分。 3.熟记分式四则运算、乘方及整数指数幂运算法则。 4.掌握分式方程的解法，理解增根含义。 5.掌握分式方程应用题的基本模型。 1.能确定分式中字母的取值范围。 2.熟练进行分式化简、运算与求值。 3.规范解分式方程，会检验根。 4.能根据增根求解参数。 5.会列分式方程解决实际问题。 1.夯实基础题，减少概念、计算失误。 2.规避分母不为零、忘记验根等常见错误。 3.规范解答分式计算、化简求值大题。 4.熟练掌握含参数分式方程题型解法。 5.规范书写应用题解题步骤，提高得分率。 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式有无意义与值为零综合 题型05.分式的求值 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.最简公分母与通分 题型11.分式通一系数与首项符号化简 题型12.分式乘除运算 题型13.分式乘方及混合运算 题型14.分式加减 题型15.分式加减混合运算 题型16.分式加减的实际应用 题型17.分式加减乘除混合运算 题型18.分式化简求值 题型19.分式最值 题型20.解分式方程 题型21.由分式方程解的情况求值 题型22.分式方程无解问题 题型23.列分式方程 题型24.分式方程行程问题 题型25.分式方程工程问题 题型26.分式方程经济问题 题型27.分式方程和差倍分问题 题型28.其他实际问题 知识点01:分式的基本概念 1. 分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 其中A叫做分子，B叫做分母。 有理式分类：有理式 判断技巧：只看分母是否含有字母，与分子是否含字母无关；π是常数，不算字母。 2. 分式有意义、无意义、值为 0 的条件 设分式(A、B)为整式 分类 成立条件 解读与注意事项 分式有意义 分母 B 0 字母取值不能让分母为零，基础必考题型 分式无意义 分母 B = 0 此时分式不成立 分式的值为0 分子A=0且分母B0 两个条件缺一不可，只令分子为 0 极易出错 知识点02:分式的基本性质 1. 性质内容 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 公式：，(A、B、C为整式，C0) 2. 符号法则（必考） 分式的分子、分母、分式本身，三处符号改变任意两处，分式值不变。 常用变形： 3. 约分与通分 两者都是利用分式基本性质进行恒等变形，是分式运算的基础。 项目 定义 详细解题步骤 补充说明 约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去 1.对分子、分母分别因式分解； 2.找出分子、分母的所有公因式； 3.约去公因式 最终结果化为最简分式（分子、分母无公因式）或整式 通分 把几个异分母分式化为同分母分式 1.确定最简公分母； 2.根据分式基本性质，将各分式变形 最简公分母确定方法： ①系数取各分母系数最小公倍数；②字母 / 因式取全部出现的项；③相同字母取最高次幂 知识点03:分式的运算 （一）分式乘除、乘方运算 运算类型 运算法则（公式） 运算要点与易错提示 分式乘法 （b0,d0） 分子相乘作分子，分母相乘作分母；先约分，后计算，简化运算 分式除法 ==(b.c d0) 除法变乘法，除式取倒数；注意符号运算 分式乘方 ()n=（b0，n为正整数） 分子、分母分别乘方；负数乘方注意符号 (二）分式加减运算 运算类型 运算法则（公式） 运算要点 同分母分式加减 ±（c0） 分母保持不变，分子直接相加减；分子是多项式时，注意添加括号 异分母分式加减 ±=（b0,d0） 第一步先通分，转化为同分母分式，再计算 （三）分式混合运算 1.运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号时，先算括号里面的。 2.通用要求 计算前优先对多项式因式分解，方便约分、通分； 运算过程步步化简，减少计算量； 3.最终结果必须化为最简分式或整式。 常用技巧：灵活运用运算律（交换律、结合律）简化计算。 知识点04:分式方程 1. 定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 2. 解分式方程标准步骤 步骤 操作内容 核心要求 ①去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程 不要漏乘不含分母的项 ②解整式方程 按一元一次方程解法求解 规范计算，注意移项变号 ③检验 将解代入最简公分母 公分母0：是原方程的解 公分母=0：为增根，原方程无解 ④写结论 根据检验结果作答 检验是必写步骤，不可省略 3. 增根与无解（重难点） 概念 / 题型 知识点 & 解题思路 增根 1.定义：整式方程的根，但使原分式分母为 0 2.产生原因：去分母扩大未知数取值范围 已知有增根，求参数 令最简公分母=0，求出增根 2.把增根代入整式方程，计算参数 已知方程无解，求参数 分两类讨论：1. 方程产生增根2. 化简后的整式方程本身无解 知识点05:分式方程实际应用 1. 解题流程（六步标准格式） 步骤 工作内容 书写规范 审题 梳理已知量、未知量，找出等量关系 读懂题意，抓核心数量关系 设元 设未知数，标注单位 可直接设元或间接设元 列方程 根据等量关系列出分式方程 式子书写工整 解方程 按照分式方程解法求解 步骤完整 双重检验 1. 检验是否为增根2. 检验结果是否符合实际意义 人数、时间、数量等必须为正数 作答 写出完整答案，带单位 语言简洁规范 2. 常考题型及等量关系 题型 核心公式 补充说明 工程问题 工作总量= 工作效率 × 工作时间 无具体总量时，常设工作总量为1 行程问题 路程 = 速度 × 时间 包含相遇、追及、航行类问题 销售问题 总价 = 单价 × 数量； 利润 = 售价-进价 价格、数量类应用题常用 题型01.分式的判断 1．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 题型02.分式规律探究 4．观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 5．已知，则的值为_____________． 6．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 题型03.按要求构造分式 7．面积为的某梨园产梨，平均每平方米产梨_________； 8．甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 9．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 题型04.分式有无意义与值为零综合 10．已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 11．当x满足____条件时，分式有意义． 12．若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．或 D．且 14．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） 的取值 3 0 分式的值 无意义 0 1 A． B． C． D． 题型05.分式的求值 15．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 16．已知，则= ____． 17．若实数a，b同时满足，，则的值为__________． 18．已知，求代数式的值． 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 19．若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 20．若分式的值为整数，则非负整数的值为___________． 21．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 22．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 题型07.分式变形的判断与条件 23．下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 24．根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填_______；_________；________． （2）；序号中应分别填_______；_________；________． （3）；序号中应分别填_______；_________；________． （4）．序号中应分别填_______；_________；________． 25．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型08.分式值变化判断 27．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．缩小3倍 28．分式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值（    ） A．变为原来的 B．变为原来的3倍 C．变为原来的9倍 D．不变 29．（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 题型09.约分与最简分式 30．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 31．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 32．已知a，b是有理数，，则_____ ． 33．计算： __________ (结果写成最简分式) 题型10.最简公分母与通分 34．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 35．在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 36．分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为_______． 37．分式、、的最简公分母是______． 38．按要求答题： (1)约分 (2)通分，． 题型11.分式通一系数与首项符号化简 39．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 40．不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 41．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 42．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 题型12.分式乘除运算 43．计算： (1)； (2)； 44．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 45．计算： (1)； (2)． 题型13.分式乘方及混合运算 46．计算： (1)　　　； (2)　　　； (3)　　　； (4)　　　． 47．计算： (1)． (2)． (3)． 48．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 49．计算： (1)； (2)； (3)． 题型14.分式加减 50．计算： (1)； (2)． 51．计算：． 52．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 53．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型15.分式加减混合运算 54．已知，求的值． 55．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 56．让我们来规定一种运算：，例如：，再如：．按照这种运算的规定，请解答下列问题： (1)求的值； (2)若 ，求的值． 题型16.分式加减的实际应用 57．列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 58．林林家与学校的距离为，林林骑自行车从家到学校需要．某天，林林从家骑自行车出发后，爸爸才从家骑自行车出发，结果爸爸与林林同时到达学校．爸爸每分钟比林林多骑多少千米？ 59．小明在计算机上打m千字的文稿需要ah，小华在计算机上打n千字的文稿需要bh． (1)小明和小华在计算机上平均每小时各打多少千字？ (2)小明和小华在计算机上打文稿的时间分别为2h和3h，他们共打文稿多少千字？ (3)如果小明比小华打字快，那么小明比小华平均每小时多打多少千字？ 题型17.分式加减乘除混合运算 60．化简． (1)； (2) 61．计算： (1)； (2)． 62．计算： (1)； (2)． 题型18.分式化简求值 63．先化简，再求值：，其中． 64．先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数，代入求值． 65．先化简，再求值：，其中． 题型19.分式最值 66．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 67．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 68．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 题型20.解分式方程 69．解方程： (1) (2) 70．解分式方程 (1)； (2) ． 71．解方程： (1) (2) 题型21.由分式方程解的情况求值 72．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围_____． 73．已知关于x的分式方程的解为负数，则a的值为（    ）． A． B． C． D．且 74．若关于的方程有解，求实数的取值范围． 75．若关于x的方程无解，求实数a的值． 题型22.分式方程无解问题 76．若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 77．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或3 78．已知关于的分式方程有增根，求的值． 79．不解方程，判断方程是否可能有增根，并说明理由． 题型23.列分式方程 80．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为_____． 81．《九章算术》是中国古代数学专著，其中有一道关于古代驿站送信的题目，大意是：一份文件需要紧急送往600里远的城市，若用慢马，所需时间比规定时间多2天；若用快马，所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马、快马的速度分别是多少？若设慢马的速度为x里/天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 82．某手工商店为响应“绿色生活”倡议，计划为社区市集制作环保袋，推广环保理念．现将员工按熟练程度分为两个组，高级组和初级组每天一共可以制作个环保袋，高级组3天制作的环保袋数量比初级组4天制作的环保袋数量多100个． (1)请问高级组和初级组每天制作的环保袋数量分别是多少个？ (2)由于环保袋销量很好，市集供不应求，商店为两组购进新设备以提高效率．升级后，初级组每天比原来多制作个环保袋，而高级组每天比原来多制作个环保袋．若升级后，高级组制作3000个环保袋所用天数与初级组制作1200个环保袋所用天数相同，求的值． 题型24.分式方程行程问题 83．广东绿道建设起步早、历时长、成效快，现已形成了遍布南粤大地的绿道网络，将居民点、自然与人文景观、生态保护地串联为一体．小张和小李相约到某体育休闲公园的环湖绿道上匀速骑行，已知环湖绿道全长6600米，小张的速度是小李的速度的1.2倍． (1)若两人同时出发，背向而行，经过12分钟后两人相遇，则小李每分钟骑行多少米？ (2)若两人同时出发，同向而行，结果小张比小李早了4分钟回到起点，则小李每分钟骑行多少米？ 84．从徐州到某地可乘普通列车，路程是，也可乘坐高铁，路程是．已知高铁行驶的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从徐州乘坐高铁比乘坐普通列车少用．求高铁行驶的平均速度． 85．已知甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多．甲车行驶与乙车行驶所用时间相同， (1)求甲、乙两车的速度； (2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢，两车在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间． 题型25.分式方程工程问题 86．有一项工程需在规定日期内完成，如果甲队去做，那么恰能如期完成；如果乙队去做，那么要超过规定日期3天．现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队单独去做，恰好在规定日期内完成．这项工程预期几天完成？ 87．某车间承接一批零件加工任务，原计划每天加工若干个零件，可按期完成．实际工作时，每天加工数量比原计划多，结果提前5天完成任务．已知这批零件总数为600个，求原计划每天加工多少个零件？ 88．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工15天完成了总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同工作了50天，总工程全部完成． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队施工一天需要各项支出9000元，乙队施工一天需要各项支出4000元． ①如果两队施工的天数一共是130天，怎样安排施工任务，可以恰好完工？所需施工费用是多少？ ②如果工期不超过75天，怎样安排施工任务（施工天数需为整数），可以最大限度地节省开支？支出的最少金额是多少元？ 题型26.分式方程经济问题 89．某商店销售两款与马相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 90．为解决老旧小区居民“上楼难”问题，山西省将既有住宅自愿加装电梯列入年民生实事工程．某小区加装电梯，在享受政府补贴后，居民需自筹剩余资金，其中加装台型电梯所需的自筹资金比台型电梯多万元；万元自筹资金可以加装的型电梯数量恰好是加装型电梯数量的倍．求加装台型电梯各需自筹资金多少万元？ 91．2026年4月，重庆中小学迎来春假，某文创店抓住商机用2400元购进种纪念品，用3000元购进种纪念品．已知种纪念品每个的进价比种纪念品每个的进价低20元，且购进种纪念品的数量是种纪念品数量的倍． (1)求、两种纪念品每个的进价分别为多少元？（列方程解答） (2)节日期间文创店生意火爆，已知种纪念品的售价为70元/个，种纪念品每个售价比进价多元，当种纪念品售出50个时，种纪念品售出；店主为了回馈顾客的支持，开始做促销活动，种纪念品对剩余部分打折，种纪念品对剩余部分进行买2赠1活动，两种纪念品均全部售出，若要使销售这批纪念品的总利润不低于2260元，求的最小值． 题型27.分式方程和差倍分问题 92．道县心连心志愿者协会准备用筹集的资金购买A、B两种型号的文具．已知B种文具的单价比A种文具的单价多10元，用360元购买B种文具与用240元购买A种文具的件数相同. (1)求A，B两种文具的单价各是多少元？ (2)若购买A、B两种文具共100件，此时恰逢商场对两种型号的文具的单价进行调整，A种文具的单价提高了，B种文具按之前单价的9折出售且总费用不超过元，则最多购买B种文具多少件？ 93．某学校为科技室准备购买，两种型号的机器人模型，已知机器人模型单价比机器人模型单价多元，用元购买的机器人模型数量与用元购买的机器人模型数量相同． (1)求、机器人模型的单价分别是多少元？ (2)若需购买和机器人模型共台，且总费用不超过元，则最多能购买机器人模型多少台？ 94．某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 题型28.其他实际问题 95．我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 96．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人，B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多；清扫所用的时间A型机器人比B型机器人多用．两种型号的扫地机器人每小时分别清扫多少面积？ 97．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $