精品解析：江苏盐城市科创城初中等两校2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

初二数学课堂作业 一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 根据因式分解的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、是因式分解，故本选项符合题意； D、不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是【 】 A. x2+x+1 B. x2+2x﹣1 C. x2﹣1 D. x2﹣6x+9 【答案】D 【解析】 【详解】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项解析判断后利用排除法求解： A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误； B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误； C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误； D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故选项正确． 故选D． 3. 若“”是分式，则“∃”不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式的定义为：若中，是整式，且中含有字母，则是分式，据此判断即可． 【详解】解：∵若是分式，则分母必须是含有字母的整式， 选项A的，选项B的，选项C的，均含有字母，符合分式的分母要求， 又∵是常数， ∴是不含字母的常数，若 ，则是整式，不是分式， 因此不可以是． 4. 已知 x<3，则化简结果是（） A. －x－3 B. x＋3 C. 3－x D. x－3 【答案】C 【解析】 【分析】被开方数可以写成完全平方式,根据二次根式的性质,x<3去绝对值即可. 【详解】解: ∵x<3, ∴3-x>0, ∴原式=. 故选C. 【点睛】本题考查了二次根式的化简,注意二次根式的结果为非负数,解题的关键是要掌握二次根式的性质: . 5. 若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 6. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 图象位于第一、三象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】先由解析式得，再结合反比例函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，选项B正确； 且在每个象限内，随的增大而减小， ∵ 对应第三象限， ∴ 当时，随的增大而减小，选项A正确； 将代入解析式，得 ，与点的纵坐标一致， ∴ 点 在函数图象上，选项C正确； 当时，， ∵ 时，随的增大而减小， ∴ 当时，， 因此D错误选项． 7. 已知函数y＝（k＜0）经过点 ，如果，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据k＜0判断出函数图象所在的象限，再根据进行判断即可． 【详解】解：∵k＜0， ∴函数y＝（k＜0）的图象在二、四象限， ∵， ∴点 在第二象限，在第四象限， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 8. 盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：根据题意可知，的值即为该校的成绩优秀人数． 描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 甲、丁两所学校的的值相同，即成绩优秀人数相同． 描述乙学校情况的点在反比例函数图象上方，描述丙学校情况的点在反比例函数图象下方， 乙学校的的值最大，即成绩优秀人数最多． 二、填空题（不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 10. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 11. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可． 【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0． 12. 下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 【答案】②⑤ 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，若两个变量与的关系可以表示为（为常数，）的形式，则是的反比例函数，据此对各函数逐一判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数． ②符合反比例函数定义，是反比例函数． ③是正比例函数，属于一次函数，不是反比例函数． ④分母为，不符合的形式，不是反比例函数． ⑤，符合反比例函数定义，是反比例函数． 符合题意的有②⑤． 13. 一元二次方程化为一般形式为：_________________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用平方差公式，再移项合并同类项，把右边变为零即可得到答案． 【详解】解： 所以一般形式为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件． 14. 如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴直线与双曲线的另外一个交点坐标为， 观察图象得：不等式的解集为或． 15. 如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据直角坐标系设点，则点，将两点代入反比例函数，可得出，进而求出，则可得出k的值． 【详解】解：根据直角坐标系设点，则点， 将点M，N代入反比例函数中，得或， ∴， ∴． ∴点， ∴． 16. 如图，已知点在矩形的对角线上，，垂足为，，垂足为，点和点都在反比例函数（）的图象上，连接，若四边形与的面积之差为，则____． 【答案】 【解析】 【分析】设矩形顶点坐标，求出对角线解析式，设出点坐标，依据垂直关系写出坐标，将两点代入反比例函数得到；分别算出直角梯形与的面积，利用二者面积差为列出等式，把替换成，计算得出的值． 【详解】解：设原点，矩形中， 对角线的解析式为， 设点坐标为， ∵、， ∴点坐标为，点坐标为， ∵、都在上， ∴代入得​，即， ∵四边形是直角梯形， ∴用坐标法求得面积：， 的面积：， 根据题意，面积差为：， 代入，得​，即． 三、 解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用完全平方公式进行简便运算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 18. 解一元二次方程： （1） ； （2）； （3）（用配方法解）； （4）（用公式法解）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），. 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，理解一元二次方程解法是解答关键. （1）（2）利用开方法来求解； （3）先配方，再利用开方法求解； （4）先求出，判断根的情况，再利用求根公式求解. 【小问1详解】 解：原方程移项得， 开平方得. 【小问2详解】 解：原方程开平方得， 解得. 【小问3详解】 解：移项得 配方得， 即 开平方得 解得. 【小问4详解】 解：由原方程可得， 则， 方程有两个不相等的实数根， ， . 19. 解分式方程：． 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】方程两边都乘以得，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原分式方程无解． 20. 先化简代数式，再从0、、2 、4这四个数中选一个恰当的数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先计算括号内分式的减法，再计算除法运算得到化简的结果，根据分式有意义的条件取，再代入计算即可． 【详解】解： ； ∵，，， ∴，，， ∴取， ∴原式． 21. 如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】将代入，解方程求出，再解方程即可求出另一个解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入得：， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：， ∴另一根为：． 22. 小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第（1）小题根据点平移后坐标为，根据待定系数法代入即可求解； 第（2）小题先做，因为，，再把点纵坐标代入反比例函数解析式即可求得点坐标． 【小问1详解】 解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ，． ． 【小问2详解】 解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ． ∴， 在中，， ． ，代入得． ． 23. 为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． （1）图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； （2）图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ （3）早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【答案】（1），； （2）； （3）能；40 【解析】 【分析】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． (2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． (3) 先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 【小问1详解】 解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． 【小问3详解】 解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． 24. 【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； （2）若 ，则______； （3）参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】（1） ，， （2） （3） 【解析】 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； 【小问2详解】 解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； 【小问3详解】 解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 25. 如图①，一次函数与反比例函数的图象，在第一象限内交、两点，连接、，已知点的坐标为，且．请结合图象解答下列题． （1）反比例函数的关系式为 ，一次函数的关系式为 ； （2）的面积为 ； （3）点是反比例函数图象上点（2，6）右侧一点，点在反比例函数的另一支图象上，平面内是否存在一点，使得四边形为正方形．若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由； （4）直线经过原点，点是点关于直线的对称点，且点在第三象限反比例函数图上，点在直线上，若为直角三角形，则符合条件的点的坐标有 ． 【答案】（1），； （2）16； （3）存在，； （4），，，． 【解析】 【分析】(1)将点代入反比例函数可求，再利用及点在反比例函数图象上求出点坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式． (2)求出直线与轴的交点，利用求解． (3)由正方形可知且，将点绕点旋转得到点，结合点、均在反比例函数上建立方程求解． (4)由轴对称性质可知直线是线段的垂直平分线，又直线过原点，故，据此求出点的坐标．再由在上得，从而为等腰三角形，利用等腰三角形性质与三角形内角和可判定直角顶点只能为，最后用勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为． ，且， 设点，则， ， 设，则， ， 解得或， 或（均取正值）， 对应点， 点的坐标为． 一次函数的图象过点和， ， 解得， 一次函数的关系式为． 【小问2详解】 解：设直线与轴交于点， 在中，令，得， ，即， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：设点，其中， 四边形为正方形， 且， 点可由点绕点顺时针旋转得到， 点，点， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得（舍去）或， ，． 正方形对角线互相平分， 对角线与的中点重合， 的中点坐标为， ，， 解得，， 存在点，其坐标为． 【小问4详解】 解：点是点关于直线的对称点， 直线是线段的垂直平分线， 直线经过原点， ， ， ， 设，其中， 由勾股定理得， ， 设，则， ， 解得或， 或， 或（均满足）． 当时，，设， 点在直线上， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 是等腰三角形， ， 若，则， 此时，与三角形内角和为矛盾， ，， ， 在中，由勾股定理得， ，且， ， ， ， ， ， 解得或， 当时，，， 当时，，． 当时，，设， 同理，由得， ， 同理，为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 解得或， 当时，，， 当时，，． 综上所述，符合条件的点的坐标为，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学课堂作业 一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是【 】 A. x2+x+1 B. x2+2x﹣1 C. x2﹣1 D. x2﹣6x+9 3. 若“”是分式，则“∃”不可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 x<3，则化简结果是（） A. －x－3 B. x＋3 C. 3－x D. x－3 5. 若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 图象位于第一、三象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 7. 已知函数y＝（k＜0）经过点 ，如果，那么（　　） A. B. C. D. 8. 盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 因式分解：__________． 10. 填空：的平方根是___________． 11. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 12. 下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 13. 一元二次方程化为一般形式为：_________________________． 14. 如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则不等式的解集为______． 15. 如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则_____． 16. 如图，已知点在矩形的对角线上，，垂足为，，垂足为，点和点都在反比例函数（）的图象上，连接，若四边形与的面积之差为，则____． 三、 解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解一元二次方程： （1） ； （2）； （3）（用配方法解）； （4）（用公式法解）． 19. 解分式方程：． 20. 先化简代数式，再从0、、2 、4这四个数中选一个恰当的数代入求值． 21. 如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 22. 小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 23. 为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． （1）图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； （2）图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ （3）早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 24. 【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； （2）若 ，则______； （3）参照上面解题的思想方法解方程： ． 25. 如图①，一次函数与反比例函数的图象，在第一象限内交、两点，连接、，已知点的坐标为，且．请结合图象解答下列题． （1）反比例函数的关系式为 ，一次函数的关系式为 ； （2）的面积为 ； （3）点是反比例函数图象上点（2，6）右侧一点，点在反比例函数的另一支图象上，平面内是否存在一点，使得四边形为正方形．若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由； （4）直线经过原点，点是点关于直线的对称点，且点在第三象限反比例函数图上，点在直线上，若为直角三角形，则符合条件的点的坐标有 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $