河北衡水市第十四中学2025-2026学年度第二学期高二年级期末考试数学试卷

**基本信息** 结合LABUBU调查等现实情境，涵盖复数、导数、立体几何等知识，注重数学应用与逻辑推理，适配高二期末综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数模、向量夹角、数列、充要条件等|基础概念辨析，如第5题结合直线平行考充要条件| |多选|3/18|正态分布、回归分析、函数性质、立体几何|第9题综合统计案例，第11题结合正方体考线面关系| |填空|3/15|命题否定、双曲线离心率、数列不等式|第13题综合双曲线与抛物线，第14题考数列恒成立| |解答|5/77|解三角形、独立性检验、立体几何、椭圆、导数|16题以LABUBU调查考独立性检验，19题导数综合考恒成立与证明，体现数学思维与语言表达|

2025~2026学年度第二学期高二年级期末考试 数 学 试 卷 本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。将条形码横贴在答题卡"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1.复数z满足,则||= (      ) A.1 B. C.2 D. 2.设向量,则与夹角的余弦值为(      ) A. B.0 C. D.1 3.已知数列是等差数列，，则(      ) A. B. C. D. 4.已知集合,,则M与N的关系是(      ) A. B. C. D. 5.“”是“直线与直线平行”的（   ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.若函数为偶函数,则(      ) A. B. C. D. 7.已知集合A={1,2,3,4},B={1,2,3},若函数f：A→B 满足：对任意,∈A,都有 ||≤1则符合条件的函数共有（ ）个. A 5 B 31 C 35 D 64 8.已知直线与函数的图象相切,若,则实数的最小值为(      ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共有3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中,正确的是(      ) A.设随机变量服从正态分布,若,则 B.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游,每人只去一个景点, 设事件A=“4个人去的景点各不相同”,事件B=“甲独自去一个景点”,则 C.在回归分析中,为0.98的模型比为0.99的模型拟合的效果更好 D.残差图中,残差点所在的水平带状区域越窄,则回归方程的预报精确度越高 10.已知函数,则(      ) A.为奇函数 B. C.在上单调递减 D. 最大值为 11.在棱长为的正方体中, ,则下列说法正确的是(      ) A.直线与平行 B.直线CD与平面MNP所成角的正弦值为 C.若 ，则三棱锥B-MNP的体积为 D.若多面体存在内切球，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知命题：，，则命题的否定为______ . 13.已知双曲线（）右焦点F也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M,且MF垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 14.已知数列满足，，若不等式对任意的都成立，则实数λ的取值范围是__________. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分)已知的内角的对边分别为,且, (1)求A的大小； (2)若,求的面积. 16．(本小题满分15分)LABUBU的爆火,是一场关于设计、营销、文化融合与消费心理的多重胜利,但这也只是中国IP全球化浪潮的一个缩影.某大学生社团为了解该校学生对LABUBU的喜爱情况,随机抽取200人进行调查,得到如下列联表:     喜欢 不喜欢 合计 女生 40 60 100 男生 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据小概率值的独立性检验,分析该校学生对LABUBU喜爱情况是否与性别有关联; （2）现从女生样本中按对LABUBU是否喜欢,用按比例分配的分层随机抽样法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人做进一步调研.记抽取3人中不喜欢LABUBU的人数为X,求的值. 参考公式及数据,其中. 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 17．(本小题满分15分)如图,在直三棱柱中,=2, 是棱上一点（不包含端点）,N是的中点. （1）若是的中点,求证:平面; （2）若直线与平面所成角的正弦值为, 求的长. 18．(本小题满分17分)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点在C上. (1)求C的方程； (2)设直线l：与C交于M、N两点. (ⅰ)若，求m的值； (ⅱ)若P为平面上一点，且，求的最大值. 19. (本小题满分17分) 已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：（，） 2 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1—8 BCDD DABA 9.ABD 10.AD 11.ACD 三.填空题 x∈N,3≥x2+1 12. 13.92+1 4[ 四解答题 15. *5in21-c021=1:2m24-名=-1可待m24-月月 6 反0<00<462A244 6 66 661 6, (2)油正弦定理得，+c2=4W3ba2+c2=12 由余弦定理，a2=b2+c2-2 bccos4/,可得，a2=3+c2-3c 3 C= 联立方程组整理得，2c2-3c-9=0,所以c=3或-2（舍）· :.=I bcsin4=3 V3 4 16. 解析：(1)零假设 。学生对LABUBU喜爱情况与性别无关联， 200×(40×75-25×60)2200 根据列联表，有X2= ≈5.128>3.841 65×135×100×100 39 所以根据小概率值Q=0.05的独立性检验，认为该校学生对LABUBU喜爱情况与 性别有关联 (2)女生样本中，喜欢LABUBU的有40人，不喜欢的有60人， 所以，根据按比例分配的分层随机抽样法，喜欢的人抽取2人，不喜欢的抽取3人， 从这5人中随机抽取3人中不喜欢LABUBU的人数为X的可能取值为1,2,3 P(X=1)-CxCi-3x1-P(X2)-CC-3x2-6-3 C1010, C10105, P(xX=3)= C=1x1-1 C:1010, (X)x+2x6 3x1=189 所以 10 1010105. 17. 解析：(1)证明取AB的中点P,连 NPA4,NP=24,则 NPAA.NP4 B B C M 又在直三棱柱ABC-AB,C中，A4=CC,AACC,所以 PI/CC.NP=CC 因为M为CC的中点，所以 NPIIMC NP=MC 所以四边形PC为平行四边形，所以 NIIPC 又MWT平面4BG,PCC平面4BG,所以MN/平面4BG (2)由题知BG,BB,BA两两垂直，以B为坐标原点，以BG,BB,B4所在直线 分别为x轴y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示， B B(0,0,0),A(0,2,2),C(2,2,0),N(0,1,1),BA=(0,2,2),B,C=(2,2,0) a.BA=2y+2z=0, 设平面ABC的一个法向量为a=(x八，2)则aBC=2x+2y=0, 取x=1,则y=-z=1,所以=-1，) 设M(2,m00<m<2),直线MN与平面BC所成角为9， 西-2s-a小-fang MN.am-2 =55 21, 123 m= 解得3或4（舍去）所 CM=2-1=5 33, 55 5 即直线MN与平面AB,C所成角的正弦值为21时，CM的长为3 18. 解析：（①由椭圆C的左、右焦点分别为F(,0),B(,0),则c=1, 又椭圆C过点 2 a2=4 又。=+1故6-3，所以C的方程为4+ -=1. 1 (20因为直线4少=2x+m 椭圆交于M、N两点，设M、N两点坐标分别为 (,)(22) 43 联立1 消去y,整理得 y=三x+m 2 x2+mx+m2-3=0 则A=m-4x(m-3列小>0，解得2<m<2, 则2+x=-mxx=m2-3 又M证=(1-x,),ME=(1-x,y), 则医派=++-，+疗-号. +=1 又因为点M在椭圆上，即43 x=1 x=1 x=-1 x=-1 联立方程组，解得 = 3 y= 2 1 由于点M在直线方程'=2+m 上， 解得m=1,m=-2,m=-1,m=2, 又因为-2<m<2,所以m=1. 间没线段MW的中点华标为C(,）,则。=兰- 2 2， 所以MN=V1+2压-x=1+V(x+x}-4xx, -4m-习-4， 又MrP=0 则点P在以MN为直径的圆上， 而lOP≤0G+GP,当且仅当O、G、P三点共线时等号成立， =o+网4，其中-2<2 4 法1：（三角换元法） 设m=2cosa,a∈(0，)，则V4-m=2sina, k-厚平，层-西4+un 4 4 V195 tano= 13, 当a+勿 2时，‘a=V万，所以OP的最大值为万 法2：（导数法求最值） 令m,则f回年a+4- 4 4 ,0≤u<4, 因为O在Q上单闲莲花r)-0,符号 当0号》.>0，时o)举港：当e号4时，了<0. 13 此时f0单调递减， am=f得)-万.所Og的大值为N万 19. (当a=0时，函数f)=-n+x+1,定义域为0，四，了()=+1= 所以当eQ时<0，当e+）时，f>0, 所以在0，)上单调递减，在，w)上单调递增， 所以代在=1处取得最小值，且最小值为0)=2 2)当x>0时，f)21恒成立等价“≥ehr-R 2x恒成立， 令)=ehnr-e (y)=e-ax-x-） 2x,求导得 2x2 令p()=nx-x-l,则()=1二x r 当c0时，p()>0,p0单调递增， 当+)时，0k0,)单调递减。 则o(≤p0=-2,即n-x-1<0恒成立， 所以当e0》时，)>0，当e+)时，()k0, 即()在Q)上单调递增，在+)上单调递减， 所以()≤0=， [e 所以a的取值花围为！2+” (3)由(2)知， 2x gn-心≤-e(x>0),所以 c≤-号(>0)，即7 -exzlnx-x, 则s1- e可，当且仅当x=1时取等号， 所以2<1-3，h3 In2 1-血m<1- e,3 e2,,n e-, 将以上n-1个不等式左右两边分别相加得 g+3<a-0-(日++司） 23 n e Ink e-el-m <n- 即台ke-1(n≥2，neN).