命题大赛 河北唐山市2025-2026学年高二数学下学期期末测试(人教A版选择性必修二第五章、选择性必修三第六章至第八章)

**基本信息** 河北省唐山市高二数学期末卷以“复兴号”工程师乘车、微短剧消费调查等真实情境为载体，融合函数、概率统计、导数等知识，考查数学抽象、运算推理及数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数图像、幂函数、正态分布|基础概念与数学眼光结合，如函数恒过点考查抽象能力| |多选题|3/18|命题真假、随机事件概率|逻辑推理分层，如事件独立性判断| |填空题|3/15|线性回归、二项式定理|数学语言应用，如脚长身高回归估计| |解答题|5/77|独立性检验、概率分布、导数应用|综合情境创新，如设备控制系统概率及导数解的个数讨论，体现数学思维与问题解决|

河北省唐山市高二数学下学期期末测试：参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．答案：C 解析：在函数中，当时，恒有， 即函数的图象恒过的点为， 故选:C． 2．答案：C 解析：设， 所以，所以. 故选：C 3．答案：A 解析：依题意可得这4人恰有3人上同一节车厢的概率为.故选. 4．答案：D 解析：因为服从正态分布，所以对称轴， 因为，所以， 由对称性得， 所以. 故选D 5．答案：B 解析：由题意，不同的分配方案共有种. 故选：B. 6．答案：C 解析：因为4x＋≥2＝2×， 当且仅当4x＝， 即x＝0时等号成立， 所以f(x)＝4x＋＋≥2＋≥2＝4， 当且仅当2＝，等号成立 7．答案：B 解析：由题意可得，X服从两点分布，可得，，， 则， 当，即时取得最大值为0， 故选B． 8．答案：A 解析：设，可得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为， 由方程可化为， 解得或， 画出函数的图象，如图所示， 要使得关于的方程有5个不同的实数根， 则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故选A 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．答案：ACD 解析：对于A，若，则， 而，得到，故A正确； 对于B，取，满足，则，故B错误； 对于C，， 因为，，所以， 所以，故C正确； 对于D，若，则， 得到，则，故D正确. 故选ACD. 10．答案：ABC 解析：已知，，，，， 选项A：由条件概率公式， 得，故A正确； 选项B：由全概率公式， 得，故B正确； 选项C：由加法公式， 得，故C正确； 选项D：由条件概率公式， 得，故D错误． 故选ABC． 11．答案：AD 解析：A选项，由为奇函数，即，对方程两边同时求导， 根据求导法则，得，即， 从而为偶函数，所以A正确. B选项，由题意知，构造函数，， 根据求导法则，得， 即， 于是，构造函数，，根据求导法则， 得. 从而，， 即，，其中为待定常数. 由为奇函数，得. 再由，得， 又， 即， 从而，. 另由为奇函数，为偶函数知， ， 与联立， 解得，， ，. 由于当时，， 故不是周期函数，所以B不正确； C选项，由基本不等式知，， 其中当且仅当时等号成立，即存在最小值且最小值为，所以C不正确； D选项， ， D正确. 故选AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．答案：166厘米 解析：由题意,令,则,即估计该学生身高为166厘米. 13．答案：30 解析：由于， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为30. 14．答案： 解析：设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题” 则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为： . 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。 15.（本小题满分13分） 解析：(1) 列联表如下（2分）： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 15 45 不是微短剧消费者 70 85 155 合计 100 100 200 (2) 零假设 ：“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联（1分）。计算卡方统计量：（公式正确2分，代入数据1分，计算结果1分） (3) 比较临界值：（2分），根据小概率值 的独立性检验，拒绝 （2分），即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05（2分）。 16.（本小题满分15分） 解析：(1) 设 ，令 （1分），得： (2) 由二项式展开通项 ，分析符号：，（2分）。令 ，得 （3分），故 （2分）。 (3) 利用平方差公式：代入 和 （4分），得结果为 （2分）。 17.（本小题满分15分） 解析：(1) ① 由题意，（2分），计算概率：分布列（2分）： 0 1 2 3 数学期望 （2分）。 ② 设“设备正常运行”为事件 ，“所有元件都正常工作”为事件 （1分）。（1分），（1分），由条件概率公式： (2) 设备正常运行分三类（2分）： · 原系统至少 个元件正常：（2分）； · 原系统恰好 个元件正常，新增2个至少1个正常：（2分）； · 原系统 个元件正常，新增2个全正常：（2分）。 合并得 （2分），当 时，（增加元件有效）；当 时，（增加元件无效）（1分）。 18.（本小题满分12分） 解析：(1) 由绝对值三角不等式：等号成立当且仅当 ，即 （2分），故 的最小值为3，值域为 （1分）。 (2) 由题意需 ，即 （2分）。，令 （2分），则 （1分）。 分类讨论： · 当 时， 在 递减，（2分）； · 当 时， 在 递增，（2分）。 综上， 的取值范围为 （2分）。 19.（本小题满分15分） 解析：(1) 当 时，，求导得 （2分）。当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减（3分）。故 的最大值为 ，无最小值（2分）。 (2) 易知 是奇函数， 是方程 的一个解（2分）。当 时，方程化简为 ，构造函数 （2分），求导得 （1分）。 分类讨论： 若 ，则 在 恒成立，，方程无解（3分）； 若 ，存在 使 ， 在 递减， 递增，结合 和 ，方程有一个正根，由奇函数对称性知还有一个负根（3分）。 综上，当 时方程有一个解（）；当 时方程有三个解（2分）。 (3) 由 ，设三个解为 ，则 （1分）。需证 ，即 （2分）。由 是方程的解，得 （2分），代入得：构造函数 （），（2分），故 在 单调递增，，又分母 ，因此 （2分）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省唐山市高二数学2025-2026学年度第二学期期末测试 命题双向细目表 题型 题号 分值 所属模块 核心知识点 能力层级 预估难度 区分度 备注 单选题 1 5 函数 对数函数图象过定点、函数性质 识记、理解 0.85 0.25 基础送分题 2 5 函数 幂函数定义、解析式求解、指数运算 理解、应用 0.80 0.35 常规计算题 3 5 概率 古典概型、排列组合（分步乘法） 应用、分析 0.70 0.45 结合唐山产业背景 4 5 概率 正态分布对称性、概率计算 理解、应用 0.75 0.40 统计初步核心考点 5 5 计数原理 排列组合应用（分组分配问题） 应用、分析 0.65 0.50 校园情景改编 6 5 不等式 基本不等式求最值（多次放缩） 应用、分析 0.60 0.55 中档题，易错 7 5 概率 两点分布期望方差、二次函数最值 应用、综合 0.55 0.60 跨模块综合 8 5 函数与导数 分段函数、复合方程根的问题、导数应用 综合、探究 0.40 0.70 压轴题，区分度高 多选题 9 6 不等式 不等式基本性质、作差法比较大小 理解、论证 0.80 0.30 基础概念辨析 10 6 概率 条件概率、全概率公式、加法公式 应用、分析 0.65 0.55 概率核心计算 11 6 导数与函数 函数奇偶性、导数运算、指数函数性质 综合、探究 0.45 0.65 抽象思维要求高 填空题 12 5 统计 线性回归方程、变量预测 应用 0.85 0.25 基础计算 13 5 计数原理 三项式展开、特定项系数求解 应用、分析 0.60 0.55 排列组合难点 14 5 概率 全概率公式实际应用 应用、建模 0.70 0.45 生活情景题 解答题 15 13 统计 独立性检验（2×2列联表）、假设检验 应用、论证 0.75 0.40 基础送分题 16 15 计数原理 二项式定理、赋值法求系数和 应用、计算 0.65 0.50 常规中档题 17 15 概率与数列 二项分布、条件概率、递推关系探究 综合、探究 0.50 0.60 实际应用背景 18 17 函数与导数 绝对值不等式、恒成立问题、二次函数最值 综合、应用 0.45 0.65 跨章节综合 19 17 导数 导数应用、单调性、极值、函数零点、不等式证明 综合、创新 0.30 0.75 压轴题，选拔功能 命题说明 1. 内容分布 · 函数与导数模块：约35%（一轮复习） · 概率统计模块：约40%（选择性必修三） · 计数原理模块：约20%（选择性必修三） · 不等式模块：约5%（一轮复习） 2. 难度结构 · 容易题（≥0.7）：约30% · 中等题（0.4-0.7）：约50% · 难题（<0.4）：约20% 3. 能力要求 · 识记理解：20% · 简单应用：35% · 综合应用：35% · 探究创新：10% 4. 唐山特色融入原创题 · 第3题结合中车唐山公司动车产业背景 · 第5题采用唐山校园社团活动情景 · 注重数学文化与实际生活的联系 5. 新高考导向 · 强化数学建模与实际问题解决能力 · 注重数学思维的严谨性和逻辑性 · 体现基础性、综合性、应用性、创新性 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省唐山市高二数学下学期期末测试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数（且）的图象恒过的点为（    ）． A． B． C． D． 2．若是幂函数，且满足，则等于（    ） A． B． C． D． 3．中车唐山公司研制的某列“复兴号”动车组共有9节车厢。在一次出厂调试中，随机安排了甲、乙、丙、丁共4名工程师上车检测。若每名工程师随机选择任意一节车厢，则这4人中恰有3人进入同一节车厢的概率为（ ） A． B． C． D． 4．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 5．唐山市某校团委拟从甲、乙、丙、丁4名优秀团员中，随机选派至“校广播站”、“学生会”、“青年志愿者协会”3个部门参与课外拓展活动，要求每名学生只能去1个部门，且每个部门至少接收1人。则不同的选派方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．64种 D．81种 6．函数f(x)＝4x＋＋的最小值为（    ） A．2 B．2 C．4 D．3 7．已知某人每次投篮命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为（    ）． A． B．0 C． D．1 8．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列命题中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 10．设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．设定义在R上的可导函数和满足， ，为奇函数，且. 则下列选项中正确的有（ ） A．为偶函数 B．为周期函数 C．存在最大值且最大值为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）之间有线性相关关系，且其经验回归方程为.若该班某学生的脚长为24厘米，则据此估计其身高为________. 13．展开式中含项的系数为 . 14．某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 16．设，求： （1）； （2）； （3）． 17．某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． (1)若，且每个元件正常工作的概率． ①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望； ②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率． (2)请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率． 18．已知函数， （1）求的值域. （2）对任意的，都存在使得成立，求的取值范围. 19．已知函数． （1）当时，求函数的最值； （2）讨论方程解的个数； （3）若方程存在两个非零解，且满足，证明：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $