江西九江市同文中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

2025-2026学年度高二下数学5月月考卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知集合，则集合的元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．设为等差数列，为其前项和，若，则（ ） A．8 B．6 C．3 D．0 3．已知命题，命题：不等式的解集为，则成立是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．在等比数列中，，，则（ ） A．192 B．144 C．96 D．48 7．若函数无极值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知，，当时，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分． 9．记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D．当或5时，最大 10．已知，，，下列选项中正确的有（ ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C．若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D．当时，若，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12．若关于的不等式的解集为，则________． 13．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是________． 14．若正项数列满足，则集合的所有非空子集中最小元素之和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分）设是首项不为0的等差数列，，为与的等比中项， 记为数列的前项和，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．（15分）已知函数 （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数在区间的最大值和最小值； （3）若曲线与直线有3个不同的交点，求实数的取值范围． 17．（15分）已知函数． （1）若，求的极值； （2）若对任意，恒成立，求整数的最小值． 18．（17分）已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为．若对恒成立，求实数的取值范围． （3）设数列，，求证：； 19．（17分）已知函数，其中为自然对数的底数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若存在两个不同的极值点，，且． （i）求实数的取值范围； （ii）证明． 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度高二下数学5月月考卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1.B 2.D 3.D4.C 5.c 6.A 7.B 8.A 二、多选题 9.AC 10.ABD 11.ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 11 12.1 13.a> 14.2036 18 四、解答题 15.(1)an=n;b。=2” (2)T,=(n-1)2"+1+2 【解析】(1)设等差数列{a,}的公差为d,则ak1-a:=a,dk∈N),所以an=na,=nd. 由a为a,与a,+1的等比中项，得(4d)2=2d(7d+1),解得d=1,或d=0(舍去). 所以an=n, 因为Sn=2m+-2, 所以当n≥2时，Sn1=2”-2, 所以bn=2”H-2”=2”. 当n=1时，b=S,=22-2=2,满足上式， 因此b。=2”. {a,}的通项公式为a,=n；{b,}的通项公式为b,=2”. (2)由(1)知， Tn=a,b+a,b2++a,bn=1x2+2×22+3×23+.+n×2", 所以2Tm=1×22+2×23+3x24+.+(n-1）×2”+n×21. 两式相减，得 -夏=2+2+2+2++2-nx2=241-2）n-2=1-川2-2. 1-2 所以Tn=（n-1)2m+1+2. 16.(1)y=-12x+4 (2)最大值为5，最小值为-15. (3)（-15,12 【解析】(1)f(x=2x3-3x2-12x+5,求导可得f'(x)=6x2-6x-12, 当x=1时，f'(1=-12,f(1)=-8, 所以函数f(x)的图象在点1，f(1)处的切线方程为y+8=-12(x-1),即y=-12x+4. (2)f'(x)=6x2-6x-12=6x-2)(x+1), 令f'(x)=0,解得x=2或x=-1, 当x在区间[0,3]上变化时，∫'(x，f(x)的变化情况如表所示： 0 (0,2) 2 (2,3) f'(x) -12 0 + 24 f(x) 单调递减 -15 单调递增 -4 所以当x=0时，f(x)在区间[0,3]上取得最大值f(0)=5, 当x=2时，f(x)在区间[0,3]上取得最小值f(2)=-15。 (3)由(2)可知，当x<-1时，f'(x)>0,y=f(x)单调递增； 当-1<x<2时，f'(x<0,y=f(x单调递减； 当x>2时，f'(x)>0,y=f(x)单调递增， 所以f(x)在x=-1处取得极大值f(-1=12, f(x)在x=2处取得极小值f(2)=-15, 因为当x→-0时，f(x)→-00，当x→+0时，f(x)→+0， 所以若曲线y=f(x)与直线y=c有3个不同的交点，则C需介于极大值和极小值之间， 因此c的取值范围为(-15,12). 17.1)极大值为f八2)4 -1n2,无极小值 (2)1 【解析】(1)当m=1时，f(x)=ln-x2-x+1(x>0), f(x)=12x-1=-x+(2x- 当0<x<时，了>0，则在0 上单调递增： 当x时.<0，则八判在行+上华调运读 所以八y在x=方时取得极大值且极大做为/侣)号2，无楼小恤： (2)因为对任意x>0,f(x)≤0恒成立， 所以lnx+x+1≤m(x2+2x在(0，+oo上恒成立， lmx+x+1在(0，+o)上恒成立， 即m x2+2x 段-4则F1-2 (x2+2x)2 设p(x)=-(x+2lnx), 显然p(x)在(0，+∞)上单调递减， 因为90=-1<0.-2》=2h2-0. 所以xe 使得p(x)=0,即x。+2lnx。=0, 当x∈(0，x)时，p(x)>0,F'x>0;当x∈(xo,+∞)时，p(x)<0,F'x<0, 所以F(x)在(0，x)上单调递增，在(x,+∞)上单调递减， 所以F)a=F,)=n,++L_1 x6+2x02x0 因为x u 故整数m的最小值为1. 18.(1)an=nn+1 (3)证明见解析. 【解析】(1)由nan1=（n+1)an+nn+l), 两边同除以nn+1）得1=+1， n+l n 即01-4=1， n+l n 又4，=2，故马=2，所以8是以2为首项，1为公差的等差数列， 1 n 解得=2+(n-1-1=n+1,所以a,=n(n+1） n (2)由(1)知cn= n+2 n+2 2(n+1-n11 2…a,2n(n+12nn+12"n21.n+1) 故数列{c}的前n项和为： --小片 因为n∈N”,所以n+1>0,两边同乘(n+1得：元>+1 241, 令小出，分新其年调性 fn+1-f(m)=+2n+1_n+2-2n+1。-n 20+2- 20*1 2+2 2*2<0, 故f代W在neN上单调递减，因此f0m=f0=t'=) 2m=21 2对neN恒成立，只需元>f)m,即元> 要使入>n+l 所以，实数入的取值范围为 2 1 1+ 1=1+ 11 n(n+1) nn+l 所以b+b2+b3+…+bn <++经1-G-日】=1 即命题得证. 19.(1)单调递增区间为(-oo,+oo).(2)(i)（e,+o);(ii)证明见解析 【解折1>当a=1时，f=e-方，定义拔为R.求导将了=e-x 令M(x=e-x,则M'(x)=e-1,令M'(x)=0得x=0, 当x∈(-o0,0)时，M'(x)<0,M(x)单调递减；当x∈(0，+o∞)时，M'(x)>0,M(x)单调递增： M(x)mn=M(0)=e°-1=0∴.M(x)=e-x≥0，即f'(x)>0恒成立. 因此，f(x)在R上单调递增，单调递增区间为(-o,+∞)， (2)(i)f'(x)=e-ax,若f（x)有两个不同的极值点，则方程e=ax有两个不同的实数根. 显然x=0不是根，故可化为a=S（x≠0) 设（刘=g,则x)=ex- 当x<0时，h'(x)<0,h(x)单调递减，且h(x)<0; 当0<x<1时，h'(x)<0,h(x)单调递减； 当x>1时，h'(x)>0,hx)单调递增. 又x→0时h(x)→+o，h(I)=e,x→+0时h(x)→oo,故h(x)在(0,1上从+o减至e,在 (1,+o∞)上从e增至+o. 因此，当a>e时，直线y=a与h(x)的图像有两个交点，分别位于(0,1)和(1，+oo),对应两个不同的极值 点x,x2(且0<x1<1<x2). 当a=e时有一个交点，当0≤a<e时无交点， 当a<0时有一个交点. 故实数a的取值范围是(e,+oo)· (不纺设<，由D得0<x<1<,e=叫，e的=m,=点，即c4=点， ex 两边取对数得x-无=1n立. 令t=>1,则x,=红，代入得(t-1)x=1,解得x= Int -1 (1+t)Int 于是x1+x2=(1+)x1= t-1 要证5+x,>2,即证+n>2,等价于1+r>2红-小. t-1 设o(4=(1+)l-2t-1,1>1,则o')=1nf+1+'-2=n1+-1. ◇p0=w+.p1-}0, 故p(t)在1，+∞)上单调递增，且p1=0,所以p(t)>0,即p't)>0. 因此p(t)在(1，+o)上单调递增，又p(1=0,故p(t)>0对t>1恒成立. 从而原不等式成立，即x,+x2>2.