江西九江市武宁县武宁尚美中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

**基本信息** 以数学文化（如《算术统宗》宝塔灯问题、数字黑洞）和实际应用（机器人运动方程）为情境，覆盖数列、导数等高二核心知识，通过问题链设计培养数学眼光与逻辑思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数列（斐波那契数列）、导数（瞬时速度）|第7题数字黑洞情境，渗透数学抽象与创新意识| |多选题|3/18|等比数列性质、函数奇偶性|第10题结合奇函数与导函数，考查逻辑推理| |填空题|3/15|等差数列通项、导数应用|第14题双切线问题，体现数学建模与运算能力| |解答题|5/77|数列求和、函数单调性与恒成立|第18题函数方程根证明，构建能力提升梯度，培养理性精神|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C D A D B ABC ABD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】根据数列的规律求得正确答案. 【详解】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和， 所以这个数列为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…， 所以89是该数列的第10项. 故选：B 2．B 【分析】对运动方程求导，根据导数意义即速度求得在时的导数值即可. 【详解】由题知，， 当时，，即速度为7. 故选：B 3．D 【详解】设从最上层开始灯数依次设为，，则此数列为等比数列，公比为且，故，第四层为，选D． 4．C 【分析】根据题意计算得数列的通项公式，列不等式找到大于等于0的最后一项即可得解. 【详解】设等差数列的公差为d，由，，得，解得， 则，由得，又， 所以当时最大. 故选：C. 5．D 【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式可得，根据前n项和的性质确定取最值情况即可. 【详解】设等差数列{}的公差为，因为，即，所以， 因为，解得，所以，则， 这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值，由于，最靠近的正整数为，所以当时，取得最小值. 故选：D． 6．A 【分析】A、B使用对应的基本初等函数的导数公式即可，对C需要结合导数乘法运算法则，对D需要结合复合函数求导法则 【详解】对A，，A正确； 对B，，B错； 对C，，C错； 对D，，D错， 故选：A 7．D 【分析】根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得. 【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123， 所以数字黑洞为123，即， ∴. 故选：D. 8．B 【分析】将题意转换为，再求导分析函数的最小值，根据二次函数的性质求得最大值即可 【详解】，使得成立，等价于， ， 当时，，递减，当时，，递增， 所以当x＝－1时，取得最小值； 当x＝－1时取得最大值为， 所以，即实数a的取值范围是 故选：B． 9．ABC 【分析】由等比数列的性质结合已知条件计算，即可判断各个选项. 【详解】由已知，，C正确； 则，B正确； 又，则，A正确； 则，D错误. 10．ABD 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，以及复合函数求导即可判断. 【详解】由，则， 又函数（）是奇函数，则，， 因此可得，，即函数的周期为4， 由，则， ，因此A正确； 由函数（）是奇函数，则， 故， 又是的导函数，则，故函数为偶函数，因此B正确； 由，则为的对称轴， 因此在左右附近的单调性发生改变，即为的极值点， 故，因此C不正确； 由，则，即， 因此函数的周期为4，因此D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题： (1)定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件； (2)或是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 11．BC 【分析】对于A先判断命题充分性再判断必要性即可；对于B根据全称命题否定可以直接判断；对于C根据的前项和公式可写出其通项公式；对于D先根据题意判断数列周期性再求解即可. 【详解】对于A，①当时，成立，故充分性成立；②若，则或，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 对于B，命题“，”的否定是“，”，故B错误； 对于C，因为的前项和公式为，所以当时，；当时，.由于不满足，所以，故C错误； 对于D，因为数列满足，，所以可得，即数列周期为，所以，故D正确. 故选:BC 12．（答案不唯一） 【分析】只要满足首项是1，公差小于0即可. 【详解】由题意，只要满足首项是1，公差小于0即可，可取公差为， 则可得. 故答案为：（答案不唯一） 13． 【分析】根据导函数解析式得到原函数解析式，即可得到的解析式，再根据二次函数的性质计算可得. 【详解】解：因为函数的导函数为，所以原函数可以是， ∴， ∴函数的单调递减区间是. 故答案为： 14． 或1 【分析】设点，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切点坐标，从而得到切线方程，再由切线与也相切，利用判别式即可求出；根据确定点，即可求； 【详解】，设点， 所以 ，解得， 切点，， 方程，即， 联立， 由，可得或1； 当时，，此时，重合，舍去. 当时，，此时， 此时. 故答案为：或1； 15．(1)； (2)是这个等差数列的第100项. 【分析】（1）根据给定条件，求出该等差数列的通项公式即可求解作答. （2）利用（1）中通项公式，确定方程的解作答. 【详解】（1）设该等差数列为，由，，得该等差数列的公差， 因此这个等差数列的通项公式为， 所以该等差数列的第20项． （2）假设是这个等差数列中的第项，由（1）得，解得， 所以是这个等差数列的第100项. 16．（1）；（2） 【分析】（1）根据题意求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）设公差为， 由题意可得， 则，解得， 所以； （2）由题意， 解得. 17．（1）；（2）． 【详解】试题分析：解题思路：（1）求导函数，利用求；利用导数的几何意义求切线方程；（2）利用“若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立”求解．规律总结：（1）导数的几何意义求切线方程：；（2）若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立． 试题解析：（1） 由题意知，代入得，经检验，符合题意． 从而切线斜率，切点为， 切线方程为． （2） 因为上为单调增函数，所以上恒成立． 即在上恒成立；当时，由，得；设，． ．所以当且仅当，即时，有最大值2．所以所以． 所以的取值范围是 考点：1．导数的几何意义；2．根据函数的单调性求参数． 18．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用不等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求最大值，即可得参数范围； （2）（i）利用等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求作出函数图象，从而可得参数范围； （ii）利用（1）来证明，从而把二元不等式化为一元不等式，再利用函数求导证明单调性求最大值即可. 【详解】（1）若当时，恒成立， 即恒成立，即在上恒成立， 令，则 所以当时，单调递增， 当时单调递减， 所以，所以，即a的取值范围是． （2）（i）若关于x的方程有两个不同实数根， 即有两个不同实数根， 等价于与的图象有两个交点， 因为， 所以当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，当时，， 所以，作出函数的图象：    所以直线与的图象有两个交点的a的取值范围是． （ii）方法（一）由（i）知，，由（1）知， 因为，所以， 设的根为，即，所以， 从而，所以， 令，则， 所以当时，单调递增， 从而，从而． （ii）方法（二）由（i）知，，构造函数 则令 则再令 ， 所以当时，，从而单调递增， 因为， 所以存在，满足， 此时当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又因为 所以存在满足 当时，，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 又，所以在上恒成立， 即， 设的根为，即， 则，从而有， 又由得，，从而， 又由（1）知，，设的根为，即 所以，从而，所以． 19．(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，列出方程，结合等比数列的定义可求出，进而可得答案； （2）由（1）得，进而用裂项相消法求出的前项和，再证明即可. 【详解】（1）解：根据题意，设等差数列 公差为， 因为成等比数列， 所以，即， 整理得：，解得 所以， （2）解： ， 因为，所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期5月月考 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．已知数列：1，2，3，5，8，…，则89是该数列的第（    ）项. A．9 B．10 C．11 D．12 2．有一机器人的运动方程为，(是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ） A． B． C． D． 3．在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的倍，共有盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有盏灯. A． B． C． D． 4．已知等差数列的前n项和为，，，则最大时（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分。 9．已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（    ）． A． B． C． D． 10．已知函数（）是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数为偶函数 C． D．函数的周期为4 11．下列说法错误的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，”的否定是“，” C．若的前项和公式为，则数列的通项公式为. D．若数列满足，，则的值为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分, 12．请写出一个首项是1，且单调递减的等差数列的通项公式_____. 13．若定义在上的函数的导函数为，则函数的单调递减区间是__________． 14．已知函数，函数．若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则的值为__________；当、两点不重合时，线段的长为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知等差数列，，，…． (1)求该等差数列的第20项． (2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 16．（1）已知为等差数列的图象上的两点，求数列的通项公式 （2）已知在等比数列中，，求. 17．已知函数. (1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围. 18．已知函数：． (1)若当时，恒成立；求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程有两个不同实数根；且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 19．若是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，． (1)求数的通项公式； (2)设，是数列的前项和，求证： 第1页，共4页 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $