《第5章分式与分式方程》知识点分类解答题专题训练 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级数学下册《分式与分式方程》单元复习专题训练，聚焦分式性质、运算及方程三大模块，20道解答题分层设计，融合时代情境与数学思维，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|20道|分式意义与性质（1-4题）、分式化简求值（5-8题）、分式方程求解及应用（13-20题）|结合张雪机车夺冠（19题）、汽车轮胎换位（20题）等时代与生活情境，通过倒数法（9题）、和谐分式（12题）等创新题型，考查运算能力、推理意识与模型意识，梯度从基础巩固到综合应用。|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第5章分式与分式方程》 知识点分类解答题专题训练（附答案） 一、分式及其基本性质 1．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 2．不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 3．约分： (1)； (2)． 4．已知，求代数式的值． 二、分式的运算 5．化简： (1)； (2)； (3)． 6．化简求值：，其中x满足． 7．先化简，再求值：，其中． 8．已知，为实数，且，，，试确定、的大小关系． 9．阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 10．安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 11．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如： 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式的形式为 ； (3)把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值． 12．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如： ，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设， 将等式右边通分，得，依据题意，得， 解得，所以． (1)①分式是_____________________（填“和谐分式”或“非和谐分式”） ②已知，则_________， _________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，请用含有和的式子表示． 三、分式方程 13．解分式方程： (1)； (2)． 14．若关于的分式方程的解为正数．求的取值范围． 15．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 16．已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 17．某中学组织学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线的全程是，但交通比较拥堵；路线比路线的全程多，但平均速度比走路线能提高，走路线能比走路线少用．求走路线的平均速度是多少． 18．某黄花种植专业合作社响应乡村振兴号召，扩大标准化种植规模，今年黄花迎来丰收．合作社计划租用专业采收机完成采收作业，现有甲、乙两种型号的采收机可供选择．已知每台乙型号采收机每天比每台甲型号采收机多采收10亩，且每台甲型号采收机采收200亩黄花所用的时间与每台乙型号采收机采收300亩黄花所用的时间相同．求甲、乙两种型号的采收机每台每天分别采收黄花的亩数． 19．2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售． (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值． 20．【综合实践】 材料 大多数小汽车是前轮驱动的，所以前轮的磨损程度比后轮严重，因此时间一长汽车行驶的安全性将大打折扣：如果同时更换前后轮，用车成本又会提高．因此，汽车使用手册上都有定期给前后轮换位的建议． 例如： 为了让轮胎均匀磨损并延长轮胎的使用寿命，我们建议每行驶进行一次轮胎换位． (1)设轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废．则该轮胎在前、后位置时的耗损率分别可表示为______、______．（说明：耗损率是指，每万千米轮胎的耗损量．） (2)若汽车前轮行驶万千米时报废，而后轮行驶到8万千米时报废．如果在汽车使用寿命内前、后轮位置只交换一次，那么汽车行驶多少万千米时，交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（结果保留小数点后一位） (3)一款新型轮胎，安装在后轮可行驶的里程是安装在前轮的，装备该轮胎的汽车在轮胎的使用寿命内，前后轮胎只交换一次，共行驶了万千米前后轮胎同时报废．求该款新型轮胎安装在前轮和安装在后轮可行驶的里程数分别为多少万千米？（说明：分母中含有字母的方程，要将解代入原始方程中进行检验．） 参考答案 1．（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 2．解：． 3．（1）解：． （2）解：． 4．解：∵ ∴， ∴ ， ． 5．（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 6．解：原式 ． 由，得． 将代入，得原式＝． 7．解： ， ， 原式． 8．解：， 所以． 9．（1）解：∵由可知， ∴， 即：， ∴； （2）①由，得， 则， ∴． ②解：由可知， 可得：， 即， ∴， ∴， ∴． 10．（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． 11．（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： 故答案是：1； （3）解： ∵的值为整数，且为整数； 为的约数， 的值为或或或； ∴的值为或或或． 12．（1）解：①由， 可知原式无法表示为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，是非和谐分式． 故答案为：非和谐分式； ②已知， 右边通分： ， 对比分子可得， 解得， 故，． 故答案为：，． （2）解：， 为整数，若分式为整数，则为整数，即是的因数， ， 解得， 故的值为，，，． （3）解：化简变形： ， ， ， ，即； 化简变形： ， ，即， 故， 即， 可得． 13．（1）解： ， 检验：当时，， ∴原分式方程无解； （2）解： ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 14．解：去分母得： ， 解得：， 解为正数， ， 解得：， ， 解得：， ， 解得：， 且． 15．（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 16．解：（1）去分母得： 整理得：． ∵方程的根为正数， ∴且， 解得：且； （2）分式方程化为：， ∵方程无解， ∴方程有增根或等式不成立， ①当方程有增根时，即， 即， ∴， ②当时，等式不能成立， ∴， 综上所述，a的值为． 17．解：设走路线的平均速度是，则走路线的平均速度是， 由题意可得，路线的全程为，. 根据走路线比走路线少用，列方程得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：走路线的平均速度是． 18．解：设甲型号采收机每台每天采收黄花x亩，则乙型号采收机每台每天采收黄花亩， 根据题意得 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ∴乙型号为：（亩）． 答：甲型号采收机每台每天采收黄花20亩，乙型号采收机每台每天采收黄花30亩． 19．（1）解：设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型摩托车每台的进价为万元，乙型摩托车每台的进价为万元． （2）解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 20．（1）解：∵轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废， ∴该轮胎在前轮时的耗损率为，在后轮时的耗损率为． （2）解：设汽车行驶万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废， 根据题意可得， 解得， ， ∴汽车行驶大约万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废． （3）解：设安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米，轮胎交换前行驶了万千米，交换后行驶了万千米， 根据题意可得， 得， 解得， 经检验，是原方程组的解， ∴，， ∴安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米． 学科网（北京）股份有限公司 $