第5章 分式与分式方程 大题分类训练 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第5章 分式与分式方程 大题分类训练 一．分式化简与求值 1．先化简，再求值：，其中x＝1． 2．先化简，再求值：，其中x＝﹣2． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值；，其中． 5．化简：． 6．先化简，再求值：，其中． 7．先化简：（x），然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值． 8．先化简，再求值：（1），其中x＝﹣2． 9．先化简，再求值：，其中x＝﹣4． 10．先化简，再求值：，其中x＝4． 二．解分式方程 11．解方程：． 12．解分式方程：． 13．解分式方程：． 14．解方程：． 15．解方程：． 16．解方程：． 17．解方程：． 18．解分式方程：． 19．分式方程：． 20．解方程：． 三．分式方程的增根与无解 21．关于x的分式方程． （1）当m为何值时，分式方程有增根； （2）当m为何值时，分式方程无解． 22．已知关于x的分式方程． （1）若在解此方程时产生了增根，则m的值是　 　 ； （2）若此方程的解是正数，求m的取值范围． 23．已知分式方程，请在下列三个条件中任选其中一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 24．已知关于x的分式方程1． （1）若分式方程的解是x＝2，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值； （3）若分式方程无解，求a的值． 25．（1）已知关于x的分式方程． ①当a＝5时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 26．关于x的分式方程1． （1）若方程的增根为x＝3，求a的值； （2）若方程无解，求a的值． 27．已知关于x的分式方程． （1）若方程的增根为x＝1，求m的值． （2）若方程无解，求m的值． 28．已知关于x的分式方程． （1）当分式方程有增根时，求m的值． （2）当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 29．已知关于x的分式方程． （1）若方程有增根，求m的值； （2）若方程无解，求m的值． 30．已知关于x的分式方程． （1）若该方程有增根，求m的值； （2）若该方程无解，求m的值． 四．分式方程实际应用 31．列方程解应用题： “人形机器人”是当前的热门话题．某工厂同时生产A、B两款人形机器人，每月生产A款人形机器人的数量比每月生产B款人形机器人的数量多40台，2个月生产的A款人形机器人的数量与3个月生产的B款人形机器人的数量相同． （1）求该厂每月生产的A、B两款人形机器人的数量分别是多少台？ （2）由于市场需求量增加，该厂对A、B两款人形机器人的生产线均进行了升级改造．改造后，A款人形机器人每月增产的数量是B款人形机器人每月增产数量的3倍．若生产1500台A款人形机器人与生产900台B款人形机器人所用的时间相同，求升级改造后每月可生产A款人形机器人多少台？ 32．小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的1.2倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米． （1）请分别求出平开窗和推拉窗的单价； （2）设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？ 33．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务，那么原计划每天铺设管道多少米？ 34．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 35．甲、乙两辆汽车从A地出发沿同一公路开往距离A地420km的B地，甲车的平均行驶速度是xkm/h，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多10km/h． （1）若甲车和乙车同时出发，甲车到达B地用时　 　 h，乙车到达B地用时　 　 h，甲车用时是乙车用时的　 　 倍； （2）若甲车先行60km，乙车再出发，结果两车同时到达B地．求甲车的平均行驶速度； （3）若甲车和乙车同时出发，甲车行驶了akm（0＜a＜35）后发现遗漏了行李，立即原速返回A地，取得行李后立即掉头以原来平均行驶速度的1.2倍赶往B地（取行李、掉头的时间均忽略不计），结果两车同时到达B地．则甲车的平均行驶速度是　 　 km/h．（用含a的代数式表示）． 36．2026年云南省玉溪市开展了“玉见米线”暨新春年货节．为了促进家庭和睦，同时积极迎合该活动，某市民计划从某店购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物．已知购进一套伴手礼的价格比购进一个钥匙挂件的价格贵28元，且用500元购进钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍． （1）求购进一个钥匙挂件和一套伴手礼的价格分别为多少元？ （2）如果该市民需要钥匙挂件的数量是伴手礼套装数量的2倍少1个，且购进钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过860元，那么该市民最多可购进多少套伴手礼？ 37．列方程解下列问题： 某小型运动用品生产商，每天生产乒乓球的数量比每天生产的羽毛球数量多500个；2天时间生产的乒乓球数量比5天时间生产的羽毛球数量多100个． （1）求该运动用品生产商每天生产的乒乓球、羽毛球的数量分别是多少个． （2）由于乒乓球与羽毛球的市场需求量激增，该生产商决定优化生产线．优化后，每天生产羽毛球增加的数量比每天生产乒乓球增加的数量的多100个．若生产6000个乒乓球的天数比生产4200个羽毛球的天数少2天，求每天生产乒乓球增加的数量． 38．中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从A地到B地总路程为180km，某趟动车行驶的平均速度比普通列车的平均速度快50%，所需时间比普通列车少30min，求该动车行驶的平均速度． （Ⅰ）根据题意填空： ①小明同学设　 　 为xkm/h，可列出方程为　 　 ； ②小华同学设　 　 为yh，可列出方程为； （Ⅱ）请选择其中一名同学所列方程，完成本题解答． 39．某科技小组制作了甲、乙两个机器人，请阅读下列性能测试信息，完成相应任务． 性能信息 1．两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式； 2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟； 3．全速模式速度是标准模式速度的两倍． 测试信息 实验1：测各模式速度． 标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等． 实验2：测十分钟（包括故障时间）所跑路程． 信息一：甲、乙同时出发，同向而行． 信息二：甲全程在标准模式下完成跑步． 信息三：乙先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了170米． 任务 任务一：（1）求基础模式和标准模式的速度； 任务二：（2）求实验2中机器人乙故障时长a的值； 任务三：（3）求实验2整个过程中第几分钟时，两个机器人之间的距离等于20米． 40．某地准备修建一条长30千米的公路，该工程将由甲工程队或乙工程队单独完成．甲工程队每天比乙工程队多修路1千米，设乙工程队每天修路x千米． （1）请用含x的代数式填表： 工程队 甲 乙 单独完成所需天数（天） 　 　 　 　 （2）已知甲、乙两工程队每天的修路费用分别为1万元、0.8万元．如果甲和乙单独完成这项工程所需费用相同，求乙工程队单独完成这项工程所需的天数． 参考答案 1．解：原式•（x﹣2） ， 当x＝1时，原式． 2．解：原式•（x﹣1）2 ， 当x＝﹣2时，原式． 3．解：原式 ＝（） ＝x﹣1． 当x时，原式＝x﹣11． 4．解：原式 • ， 当时， 原式． 5．解：原式 • ． 6．解： • • ， 当x时，原式． 7．解：原式 • ， 由分式有意义的条件可知：x不能取1，2， 故x＝3， 原式． 8．解：原式• • ， 当x＝﹣2时， 原式 ． 9．解：原式 ， 当x＝﹣4时，原式． 10．解：原式• • ， 当x＝4时，原式． 11．解：， 3﹣2＝1×2（x﹣1）， 3﹣2＝2x﹣2， 解得：， 检验：当时，2x﹣2≠0， ∴原方程的解为． 12．解：， 方程两边同时乘3（x+2），得3x﹣3（x+2）＝x﹣4， 去括号，得3x﹣3x﹣6＝x﹣4， 解得：x＝﹣2， 检验：把x＝﹣2代入3（x+2）＝0， ∴x＝﹣2是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 13．解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣2）得： x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣2）＝1， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣2）≠0， ∴x＝1是原分式方程的解． 14．解：， 两边同时乘以（x2﹣9）得，2x+x（x﹣3）＝x2﹣9， 解得：x＝9， 经检验x＝9是原方程的根． 15．解：， ， 2x﹣1＝x﹣2， 解得：x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1是分式方程的解， ∴原方程的解是x＝﹣1． 16．解：， 3﹣x＝2（x﹣3）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0， ∴x＝3是原方程的增根， ∴原方程无解． 17．解：方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：4+（x+1）（x﹣1）＝x（x+1）， 解得：x＝3． 检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠0， ∴x＝3是原分式方程的解． 18．解：1， 去分母得，x（x+3）﹣（x+2）（x+3）＝x+2， 去括号得，x2+3x﹣x2﹣5x﹣6＝x+2， 合并同类项得，﹣2x﹣6＝x+2， 移项得，﹣2x﹣x＝2+6， 合并同类项得，﹣3x＝8， 系数化为1得，x， 将x代入最简公分母（x+2）（x+3）≠0， 故x是原分式方程的解． 19．解：方程两边同时乘（x2﹣1），可得：x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3， 整理得：x+1＝3， 解得：x＝2， 经检验：x＝2是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为：x＝2． 20．解：去分母得： x+2﹣3（x﹣2）＝x+3， 去括号，移项，合并同类项得： ﹣3x＝﹣5， ∴x． 经检验，x是原方程的解． ∴x． 21．解：（1）， 去分母，得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）． 去括号，得2x+4+mx＝3x﹣6． 移项，得2x+mx﹣3x＝﹣6﹣4． 合并同类项，得（m﹣1）x＝﹣10． ∵分式方程有增根， ∴． ∴m＝6或﹣4． （2）由（1）得，（m﹣1）x＝﹣10． ∵分式方程无解， ∴（m﹣1）x＝﹣10无解或该分式方程有增根． ∴m＝1或m＝6或﹣4． 22．解：（1）去分母得：2m＝﹣x+m+2x﹣6， 由分式方程有增根，得到x﹣3＝0， 即x＝3， 把x＝3代入整式方程得：2m＝﹣3+m+6﹣6， 解得m＝﹣3； 故答案为：﹣3； （2）解分式方程得x＝m+6， ∵此方程的解是正数， ∴m+6＞0且m+6≠3， 所以m＞﹣6且m≠﹣3． 23．解：①去分母得：3＝mx﹣3﹣2x﹣4， 由分式方程有增根，得到x+2＝0，即x＝﹣2， 把x＝﹣2代入整式方程得：3＝﹣2m﹣3+4﹣4， 解得：m＝﹣3； ②方程两边同时乘以x+2，得3＝mx﹣3﹣2x﹣4， ∴x， ∵方程无解， ∴x＝﹣2或m﹣2＝0， ∴﹣2或m﹣2＝0， ∴m＝﹣3或2； ③将x＝1代入原方程得2， 解得：m＝12， ∴m的值为12． 24．解：（1）∵分式方程的根是x＝2， ∴1， 解得a＝18； ∴a的值为18； （2）去分母得x（x+a）﹣6（x+3）＝x（x+3）， 解得ax﹣9x﹣18＝0， ∵分式方程有增根， ∴x＝0或﹣3， 当x＝0时，0﹣0﹣18＝0， 此时不存在a的值， 当x＝﹣3时，﹣3a+27﹣18＝0， ∴a＝3， ∴a的值为3； （3）①∵ax﹣9x﹣18＝0， ∴当a﹣9＝0时，方程无解， ∴a＝9，②当分式方程有增根， ∴a＝3， ∴若分式方程无解，a的值为3或9． 25．解：（1）①当a＝5时，分式方程为：1， 5﹣3＝x﹣1， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x﹣1≠0， ∴x＝3是原方程的根； ②， a﹣3＝x﹣1， 解得：x＝a﹣2， 由题意得：x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴a﹣2＝1， 解得：a＝3， ∴a的值为3； （2）， mx﹣1﹣1＝2（x﹣2）， 解得：x， ∵方程有整数解， ∴2﹣m＝±1或2﹣m＝±2且2， 解得：m＝1或3或0或4且m≠1， ∴m＝3或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 26．解：（1）去分母并整理得（a﹣4）x＝﹣21， 因为x＝3是原方程的增根， 所以（a﹣4）×3＝﹣21， 解得a＝﹣3． （2）去分母并整理得（a﹣4）x＝﹣21， ①当a﹣4＝0时，该整式方程无解， 此时a＝4； ②当4﹣a≠0时，要使原方程无解， 则x（x﹣3）＝0，即x＝0或x＝3， 把x＝0代入整式方程，a的值不存在， 把x＝3代入整式方程，得a＝﹣3． 综合①②得a＝4或a＝﹣3． 27．解：（1）原方程去分母可得： ﹣2＝mx﹣2（x﹣1）， （m﹣2）x＝﹣4， 将增根x＝1代入整式方程： m﹣2＝﹣4， 解得m＝﹣2； （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程（m﹣2）x＝﹣4无解， 当m﹣2＝0时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时m＝2； 情况 2：整式方程的解是增根， 增根为x＝1（使分母为0的根），由（1）知此时m＝﹣2； 所以m的值为2或﹣2． 28．解：去分母得：x＝3（x﹣1）﹣（m﹣2）， （1）由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程得：m＝1； （2）解得：x， 根据分式方程的解为正数，得到0，且1， 解得：m＞﹣1且m≠1． 29．解：（1）． 方程两边同时乘以（x﹣1）（x+2），得 2（x+2）+mx＝x﹣1， 整理得（m+1）x＝﹣5， ∵原分式方程有增根， ∴（x﹣1）（x+2）＝0， 解得：x＝1或x＝﹣2， 当x＝1时，m＝﹣6； 当x＝﹣2时，m＝1.5； 综上，m的值为﹣6或1.5． （2）当m+1＝0时，该整式方程无解，则原分式方程也无解，此时m＝﹣1； 当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝1.5， 综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 30．解：（1）化成整式方程得，2（x+3）+mx＝x﹣2， 即（m+1）x＝﹣8， 若该方程有增根，则增根为x＝2或x＝﹣3， 当x＝2时，2（m+1）＝﹣8，解得m＝﹣5， 当x＝﹣3时，﹣3（m+1）＝﹣8，解得， 综上，当m＝﹣5或时，该方程有增根； （2）由（1）可知，当m＝﹣5或时，该方程有增根，即无解， 去分母后的整式方程为：（m+1）x＝﹣8， 当m+1＝0时，即m＝﹣1时，x无意义即无解， 综上知：若原分式方程无解，则m＝﹣5或或m＝﹣1． 31．解：（1）设该厂每月生产A款人形机器人x台，B款人形机器人y台， 由题意得：， 解得：， 答：该厂每月生产A款人形机器人120台，B款人形机器人80台； （2）设升级改造后每月可增产B款人形机器人m台，则可增产A款人形机器人3m台，升级改造后每月可生产A款人形机器人（120+3m）台， 由题意得：， 解得：m＝10， 经检验，m＝10是原方程的解，且符合题意， ∴120+3m＝120+30＝150， 答：升级改造后每月可生产A款人形机器人150台． 32．解：（1）设平开窗每平方米单价为x元， ， 解得x＝400， 经检验，x＝400是原方程的解， ∴1.2x＝480， 答：平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元； （2）设平开窗面积为a平方米， 则， 解得， ∴a的值可以为25或26， 当a＝25时，35﹣a＝10， 当a＝26时，35﹣a＝9， 答：一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米． 33．解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道（1+25%）x米， 根据题意得：8， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意， 答：原计划每天铺设管道30米． 34．解：（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x+6）元， 根据题意得：1.5， 解得：x＝48， 经检验，x＝48是所列方程的根，且符合题意． ∴x+6＝54， 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100﹣m）个， 根据题意得：48m+54（100﹣m）≤5000， 解得：m≥66， 答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器． 35．解：（1）∵甲车的平均行驶速度是xkm/h，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多10km/h， ∴乙车的平均行驶速度是（x+10）km/h， ∴甲车到达B地用时 h，乙车到达B地用时 h， ∴甲车用时是乙车用时的倍． 故答案为：，，； （2）根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意． 答：甲车的平均行驶速度为60km/h； （3）根据题意得：， 解得：x， 经检验，x是所列方程的解，且符合题意， ∴（km/h）， ∴甲车的平均行驶速度是 km/h． 故答案为：． 36．解：（1）设购进一个钥匙挂件的价格为x元，则购进一套伴手礼的价格为（x+28）元， 根据题意得：2， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意， ∴x+28＝20+28＝48（元）． 答：购进一个钥匙挂件的价格为20元，一套伴手礼的价格为48元； （2）设该市民购进y套伴手礼，则购进（2y﹣1）个钥匙挂件， 根据题意得：20（2y﹣1）+48y≤860， 解得：y≤10， ∴y的最大值为10． 答：该市民最多可购进10套伴手礼． 37．解：（1）设该运动用品生产商每天生产的羽毛球的数量是x个，则每天生产的乒乓球的数量是（x+500）个， 根据题意得：2（x+500）＝5x+100， 解得：x＝300， ∴x+500＝800， 答：该运动用品生产商每天生产的羽毛球的数量是300个，每天生产的乒乓球的数量是800个； （2）设每天生产乒乓球增加的数量是y个，则每天生产的羽毛球增加的数量是（y+100）个， 根据题意得：2， 解得：y1＝400，y2＝﹣600（不符合题意，舍去）， 经检验，y＝400是原方程的解，且符合题意， 答：每天生产乒乓球增加的数量是400个． 38．解：（Ⅰ）①小明同学：由题意，设普通列车的平均速度为xkm/h，可列出方程为， 故答案为：普通列车的平均速度；0.5； ②小华同学：设动车行驶的时间为yh，可列出方程为， 故答案为：y+0.5； （Ⅱ）选择小明的方程解答． 设普通列车的平均速度为xkm/h，则动车的平均速度为（1+50%）x＝1.5x（km/h）， ∴， ∴x＝120． 经检验，x＝120是原分式方程的解， ∴动车速度1.5x＝1.5×120＝180（km/h）． 答：该动车行驶的平均速度为180km/h． 39．解：（1）设基础模式的速度为x米/分钟，则标准模式的速度为（x+10）米/分钟， 根据题意得：， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意， ∴x+10＝20+10＝30（米/分钟）． 答：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟； （2）根据题意得：20（10﹣1﹣a）＝170， 解得：a． 答：实验2中机器人乙故障时长a的值为； （3）设实验2整个过程中第y分钟时，两个机器人之间的距离等于20米， 当0≤y≤1时，30×2y﹣30y＝20， 解得：y； 当1＜y时，30×2×1﹣30y＝20， 解得：y； 当y≤10时，30y﹣[30×2×1+20（y）]＝20， 解得：y＝5． 答：实验2整个过程中第或或5分钟时，两个机器人之间的距离等于20米． 40．解：（1）∵甲工程队每天比乙工程队多修路1千米，且乙工程队每天修路x千米， ∴甲工程队每天修路（x+1）千米， 又∵该地准备修建一条长30千米的公路， ∴由甲工程队单独完成所需时间为天，由乙工程队单独完成所需时间为天． 故答案为：，； （2）根据题意得：10.8， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意， ∴（天）． 答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数是天． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/22 15:17:01；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $