第5章分式与分式方程章末综合知识点分类选择题专题提升训练2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式与分式方程核心模块，以题载法构建“概念-性质-运算-应用”完整逻辑链，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式及其基本性质|8题|分式定义辨析、有意义条件、值为0条件、基本性质应用|从概念生成到性质推导，夯实基础| |分式的运算|11题|通分约分、因式分解辅助化简、混合运算顺序|性质到运算的拓展，培养运算能力| |分式方程|11题|去分母化整式方程、增根检验、实际问题等量关系建立|运算到方程应用，发展模型意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第5章分式与分式方程》 章末综合知识点分类选择题专题提升训练（附答案） 一、分式及其基本性质 1．下列各式中：，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．使代数式在实数范围内有意义的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 3．分式的值为0的条件是（    ） A． B． C． D． 4．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 6．下列各式中，与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 7．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 二、分式的运算 9．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 10．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 11．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 12．计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 13．若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 14．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 15．若，，则的值是（    ） A．1 B．0 C．-1 D．2 16．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 17．设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 18．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 19．张华和李明同时从甲地沿着同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；李明全程的平均行走速度是．如果，那么关于两人中谁先到达乙地的说法正确的是（    ） A．张华先到达 B．李明先到达 C．两人同时到达 D．谁先到达无法确定 三、分式方程 20．把方程中的分母化为整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 21．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（   ） A． B． C． D． 22．已知是分式方程的解，则实数m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 23．对于非零实数、，规定．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 24．若关于x的方程无解，则m的值是（   ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 25．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 26．关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 27．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则红球的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 28．某工程队修一条公路，原计划每天修米，实际每天比原计划多修米，原计划修完公路所需时间是实际的倍，所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 29．新型客机是我国自主研制的客机，年月，该客机开始执行“北京——长沙”的定期商业航线，两地的航线距离约为，该新型客机的平均速度比普通客机的平均速度提高了，航行时间节约了设该新型客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 30．在争创国家卫生文明城市的活动中，某市组织志愿者队伍对某工地重达100吨的建筑垃圾进行清除．开工后，附近居民主动加入劳动中，使清除行动的速度比原计划提高了，提前1小时完成了清除任务．设志愿者队伍原计划每小时清除x吨垃圾，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 参考答案 1．C 【分析】根据分式的定义，判断每个式子的分母是否含有字母，逐一判断即可得到分式的个数． 【详解】解：∵ 分母是常数，中是常数，是常数，这三个都是整式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； ∴ 分式共有个． 2．A 【分析】本题根据二次根式和分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义，需同时满足两个条件： ①二次根式的被开方数非负：，解得； ②分式的分母不为0：； ∴的取值范围是． 3．B 【分析】分式值为0需同时满足分子为0，分母不为0，据此计算求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， ∴， ∴ ∴分式的值为0的条件是． 4．B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当，时，，，则，故选项不符合题意； B、由分式有意义可得，则，故选项符合题意； C、分式的分子与分母同时减去，分式的值不一定不变，等式不一定成立，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 5．D 【分析】根据分式的基本性质计算后即可判断． 【详解】解：∵ ，都扩大10倍后，新分式的分子为，分母为， ∴ 新分式为， ∴ 分式的值不改变． 6．D 【分析】利用分式的基本性质化简原式，再和选项对比即可得到答案． 【详解】解：， ． 因此原式和的值相等． 7．A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 8．B 【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果． 【详解】解：∵， ∴括号中应填． 9．B 【分析】先化为同分母作差，再约分化简即可． 【详解】解： ． 10．A 【分析】本题考查分式的除法运算，先对原式分母因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ， ∴化简结果为， 故答案为：A． 11．B 【分析】先对分子分母因式分解，计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分得到结果，用到平方差公式和分式运算法则． 【详解】解： ． 12．A 【分析】本题考查了分式的化简，解题的关键是通分运算．先将 看作整体通分，再进行加减运算，最后约分化简即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 13．A 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过已知分式等式变形得到与的关系，再将所求分式的分子、分母转化为含和的形式，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将代入中， 分子， 分母， ∴原式． 故选：A． 14．A 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算知识点，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、转化和约分计算，得到最终的化简结果，即可解决分式的乘方与乘除混合运算问题． 【详解】解：原式 故选：A． 15．A 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知条件，将A的表达式通分后化简，可得，进而直接计算的值． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 故选A． 16．B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 17．B 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过取已知等式的倒数，得到关于 、、 的方程组，求和后得到它们的和，再求倒数即得所求． 【详解】解： ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， 即 ， 又 ， ． 故选：B． 18．B 【分析】设工作总量为1，根据甲乙合作完成时间得到合作工作效率，结合甲单独完成时间得到甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再根据时间工作总量工作效率，计算乙单独完成需要的时间． 【详解】解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 19．B 【分析】本题考查了分式的混合运算的实际应用，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．设甲乙两地路程为，分别计算张华和李明从甲地到乙地的步行时间，再比较时间长短判断谁先到达即可． 【详解】解：设甲乙两地之间的路程为， ∵张华前半段路程速度为，后半段为， ∴张华从甲地到乙地的总时间， ∵李明全程平均速度为， ∴李明从甲地到乙地的总时间， ， ∵，且，，， ∴，， ∴，即， ∴李明用的时间更短，先到达乙地． 故选：B． 20．D 【分析】本题考查分式的基本性质，将方程中分母化为整数时，只需对每个分式的分子分母同乘适当的非零数，使分母变为整数，方程右侧的常数项无需改变，根据分式基本性质化简即可得到结果. 【详解】解：∵ 根据分式的基本性质，分式的分子分母同乘不为0的数，分式的值不变. 对，分子分母同乘10，可得； 对，分子分母同乘100，可得； 方程右侧的常数1保持不变， ∴ 原方程化为. 21．C 【分析】本题主要考查分式方程的解法，去分母转化为整式方程的过程．解分式方程的关键是确定最简公分母并去分母，方程两边同乘公分母，即可转化为整式方程． 【详解】解：原方程为， 将分母变形为，原方程可改写为：， 确定最简公分母为，两边同乘，得：． 故答案选：C． 22．D 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．已知是分式方程的解，将代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：∵是分式方程的解. ∴把代入原方程，得. 化简得. 解得. 23．A 【分析】本题考查新定义运算与解分式方程，先根据新定义将等式转化为分式方程，再按照解分式方程的步骤求解并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵规定，且， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 经检验，是原分式方程的解， ∴的值为， 故选：． 24．C 【分析】先将分式方程化为整式方程，再结合增根条件求解m即可． 【详解】解：原方程整理，得， 方程两边同乘最简公分母，得 ， 展开整理得， ∵原分式方程无解， ∴，即， 将代入， 得， 解得， 因此选：C． 25．C 【分析】根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 则， 解得：， ∵方程的解为正数， ， ， 又， ， ， ∴的取值范围为：且． 26．A 【分析】先解关于x的不等式组，根据其有解，得到；再解关于x的分式方程，得到当时，方程的解为，由分式方程有整数解，a为整数，得到或，求和即可，注意是方程的增根，要排除． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 关于x的不等式组有解， ，即． 分式方程， 去分母得：， 整理得：， ∵，∴方程的解为， ， ，解得， 关于x的分式方程有整数解，a为整数， 或， （舍去）或或或（舍去）， 满足条件的所有整数a的和为． 27．B 【分析】根据摸到红球的概率，结合概率公式列分式方程求解即可. 【详解】解：设红球有个，则袋子中总球数为个， ∵ 搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴ 根据概率公式可得 ， 交叉相乘得 ， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得 ，经检验符合题意； ∴ 红球的个数为4. 28．A 【分析】根据题意，假设总工程量为单位“1”，根据题意列出方程即可得出结果． 【详解】解：假设总工程量为单位“1”， 原计划需要时间为， 实际需要时间为， 故可得方程． 29．A 【分析】本题考查了分式方程与实际问题，关键是找到相等关系列方程； 根据新型客机比普通客机航行时间节约小时，列分式方程可解． 【详解】解：∵航线距离为， ∴新型客机时间为 ， 普通客机时间为 ， ∵节约时间， ∴， 故答案选：A． 30．A 【分析】根据“工作时间工作总量工作效率”，结合实际比原计划提前1小时完成任务，找到原计划时间和实际时间的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原计划每小时清除吨垃圾，总重量为100吨． ∴原计划完成任务的时间为小时． ∵实际清除速度比原计划提高了， ∴实际每小时清除吨，实际完成任务的时间为小时． ∵实际提前1小时完成任务，即原计划时间比实际时间多1小时， ∴可得方程． 学科网（北京）股份有限公司 $