湖南邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”2025-2026学年高一下学期3月第一次联考数学试题

2026年邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一第一次联考 数学答案 题号 2 3 7 6 9 10 答案 D C A C D BD ACD 题号 11 答案 ACD 12.2 13.4v2π 3”-3×2”+6 14. 3 15.(1) (2)2V33+6 【i详解】(1)因为(2c-a）cosB=bc0sA 由正弦定理可得(2sinC-sin4)cosB=sinBcos4 2sinCcosB=sinAcosB+sinBcos4-sin(+B) 因为A+B+C=元，所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC 所以2 sinCcosB=sinC, sB= 因为C∈(0，)，sinC>0,所以 2 因为Be(Q,).所B5. B=π 6分 (2)因为 S.ucdcsinB- ，所以ac=32, 由余弦定理得a2+c2-b2=2 ac.cosB 由b=6,可得(a+c)2=b2+3ac=132 所以a+c=2V33,所以△4BC的周长为2√33+6.13分 1 16.(1)6 11 (2)72 【详解】(1)设4=“甲答对3道题目”，A=“甲答对2道题目” B=“乙答对3道恩目”，B,=“乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， 2x2x2-8P(4)=3××号×3 2.2.14 P(4)=3×3x327, 3339, 设A为“甲、乙两人共答对5道题目”， 则A=(4B,U(4B),因为4B,与4，B互斥，4与B,4与B分别相互独立， -)F)()())( 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率6 6分 (2)C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，C与D相互独立， P(C)=1-P(C)=1-1xx1_26 一×一×一三 33327, Po=1r回=1- E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则E=(CDU(CD）,因为CD与CD互斥， C与D,C与D分别相互独立， P(E)=P(CDUCD)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D) 261,1711 27827872 11 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率72 15分 17.(1)见解析 6 (2)9 MF=1BC=DE 【详解】(1)取PC的中点为F,连接MF,则MF/BCIIDE,且 2 四边形DEMF是平行四边形，.DFIIEM, ,DFC平面PCD,EM￠平面PCD, .直线EM∥平面PCD 6分 (2)因为AD⊥平面PAB,PA,PBC平面PAB,则AD⊥PA,AD⊥PB, 以A为原点，以垂直AB所在直线为x轴，AB为'轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系A-z, 如图所示 7分 设AD=2,则AP=2,AB=22.PA⊥PB,则∠PAB=45° ai则.aa2s0ai.a.ceaag9d c-a2w5瓦=2m-停5 设平面PCE的一个法向量为n=(x少2)，则， nPC=0 [-√2x+V2y+2z=0 n:Ec=0,即22y+z=0 不妨令y=-1,得2=22，x=3,所以”=(3-122) 11分 EM.n sin0=cos(EM,n) 226 √6x3√2 9 设直线EM与平面PCE所成的角为B,则 EM m √6 所以直线EM与平面PCE所成的角的正弦值为9 15分 18.(1)(x-2)2+y2=4 (2)20-8V3<1<20+8V5 (3)证明见解析 【详解】(1)由题意可得，圆心Q为线段AB的垂直平分线和线段AD垂直平分线的交点， 1-43,直线AB的中点为 所以线段AB的垂直平分线的方程为 -.ny-25-0 又线段AD的垂直平分线的方程为y=0 V3x-y-25=0 x=2 联立方程组(y=0 ,解得y=0,所以圆心为(2,0），半径为18=2. 所以圆的方程为x-2)2+y2=4 4分 (2)设P(x）,因为PP+PC2=22, 所以c-12+0-52+c+3}+w-V52=2, 化简得x+)2+0-V5)2=元-4 则店P在以M(1V)为圆心，V贝-4为半径的圆上，依题意该图M与因有两个交点， 即两圆相交 7分 又Mg=V(-1-22+(W32=25 则小N-4-2<25<-4+2,解阳20-8v5<<20+85 9分 (3)设直线l的方程为y=+m,E(,少)F(G,),5≠0， [y=kx+m 由lx-2y+y2=4得.(1+k)r+2(m-2)x+m2=0 2(km-2) +x2= 所以 1+k2 X 11分 所以 2ka(2-m） k6=业-红+m,+m_x+m任+无)+m +m2 =k2+1+2 4二3 =1+ XX2 Xx2 XX2 1+k2 所以m=2k 15分 x+2=0 x=-2 所以直线1方程为y=k(x+2）,令y=0,解得y=0,即直线1过定点(-2,0) 17分 19.（1)证明见解析 .1 (2)当k=2时， f(m-2:当k=3时 t.f(x)i=1 4 (3) f(x)m=2可 后m任w任s任小m任 任小m任小w后 信小得短 (2)当k=2时， f(x)=sin'x+cos'x=(sin'x+cos'x)-2sin'xeos'x=1-sin'(2x) 2rp则.g1号1-号. 当k=3时， f(x)=sinx+cosx=(sinx+cosx)(sin'x-sin2xcosx+cosx) insinin'c() 又n2)e.iu-1- 1-44 8分 (3)根据(2)进行猜想：当k∈N时， 2克 当k=1时，f()=1,函数的最小值为1， 当k≥2时，令1=sin2x,则h(0)=t+1-),te[0,1] 1 T= 显然h0=h-),即函数h(图象关于直线'2对称9分 0s4<3号 则h6)-h,)=片+0-4)-专-0-)=(-）+[0-6-1-5] =6-6)G+5++2+）+[-4)-(1-5][Q-4)1+0-4)-20-6)++0-)-] =(6-52)-(1-t)+-252-(1-4)-2(1-2)+…+(1-)1-)-2+-(1-1) 3分 0≤46≤2，得4<1-4,6≤1-h, 所以对任意ieNi<),都有5<-4)，≤0-)-H 所以砖<0-4)0-)， 得-1-4)+，-1-4)-2(1-)+…+1-4)0-)-2+5-1-6)-1<0 ))040atR黄0z2 上单调递增15分 -分】立.mm2,keN 1 所以 sin= 当且仅当 2即42，n∈N时，取到最小值， 1 f)mm=2可，keN 所 17分 2026年邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一第一次联考 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 3．已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．圆与圆的位置关系为（ ）． A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 5．已知实数，满足，且，则的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 6．已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（ ）． A．7 B．6 C．8 D．19 7．已知，则“”是“为常数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若关于的方程在内有两个不同的解，则（ ） A． B．或 C．或 D．或 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A．的最小正周期为 B． C．的图象关于点中心对称 D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 11．正方体棱长为1，动点满足，，，，那么下列说法正确的是（ ） A．当时，与所成角的最大正切值是 B．时，的最小值为 C．当，时，所在的平面与平面所成夹角的正切值为 D．当时，轨迹的体积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若直线与圆交于，两点，则________． 13．三棱锥的底面是以为斜边的直角三角形，平面且，设三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球体积与之比的最小值是________． 14．某校举办“数学文化节”，其中一项活动为“多人石头剪刀布挑战赛”．规则如下：每次挑战由名同学同时参与（），每人独立选择出“石头”“剪刀”或“布”中的一种手势．若所有人出的手势完全相同（如全为石头），或三种手势均同时出现，则视为平局．否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则判定胜负．已知每位同学出每种手势的概率均等，则一次挑战中出现平局的概率为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(13分)在中，，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； (2)若的面积为且，求的周长． 16．（15分）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 17．(15分)如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点，平面，，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）设，，，圆过，，三个点． （1）求圆的方程； （2）设点，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为的直线与圆相交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 19．（17分）设函数，． （1）求证：； （2）分别求和时函数的最小值； （3）求函数的最小值（用表示）． 参考公式：当且时， 学科网（北京）股份有限公司 $