湖南邵阳市第二中学2025-2026学年高一下学期4月份检测数学试卷

邵阳市第二中学高一年级下学期第一次月考数学答案 1.【答案】D【详解】2=3i3-C1-D-421-2-1, -1+i(-1+i0(-1-i)2 所以川z√(-2)2+(-1)2=√5 2.【答案】A【详解】因为f(x)为幂函数，所以m2-4+4=1,解得m=1或m=3, 因为f(x)在(0，+o)上单调递减，所以m-2<0,则m<2, 所以m=1,则2a+b=1,且a>0,b>0, a b b4a-8, 当名0即a-寻6=2时取等号， 当且仅当 1 1 a b 2 所以上+2的最小值为8 3.【答案】D【详解】对于A选项，若a/1b,已知a=(cos8,sin8),b=(4,-3), 百3cs0-46in0=0,即3cs日=4in0,所拟tam0g-A进项错误 对于B选项，若a⊥b,根据两向量垂直的性质，a.6=0. a.b=4cose-3sin=0,4cos0=3sine. 又因为sm0+cos6=1,联立方程组，解得m0=士号，B选项错误 对于C选项，先求a-b的坐标，a-b=(cos6-4,sin0+3) 则1a-b=Vcos0-4)2+(sin0+3)2. 43 展开整理得|a-b=√26-8cos0+6sin日0=V26+10sin(0-otan年 10sin(8-p其最小值为-10.所以ā-b|的最小值为√26-10=4，C选项错误 对于D选项，若a与a-b垂直，则a.(a-b)=0,a.(a-b)=-a.b=0. 因a2=cos20+sin0=1,=25,则a.6=1. 则1a-i=√a-b2=a2-2āb+b2=-2x1+25=4=26,D选项正确， 4.【答案】D【详解】由题意，可得∠MAC=60°，∠NAB=30°，MC=500W3m,NB=250W2m,∠MAN=45°， 且MCA=∠NBA=90,在RtAACM中，可得M=M -=1000m, sin60° 第1页/共11页 在Rt△ABN中，可得AW=B sin30° =500W2m, 在△AMN中，由余弦定理得： MN2=AM+AN2-2AM·ANcos∠MAN=500 2+(2x2×返5 500000所以MN=500W2m. 5.【答案】C【详解】根据题意作图，如下图所示 C b=2 45>B A,c 当x的值确定以后，以C为圆心，2为半径的圆与c边的交点即为顶点A的位置， 由图可知，两种临界条件分别为： (1)圆与c边所在直线相切，此时∠CAB=90°，三角形只有一个解， 此时根据正弦定现品万可得=2W: (2)圆过B时，∠CAB=45°，三角形只有一个解，此时x=2: 所以当2<x<2√2时，三角形有两个解， 所以x的取值范围为2<x<2√2 6.【答案】A【详解】在△ACD中，由余弦定理得22= （8+j-27x号xcas∠Ac-+7-5asAc, 4 在△ABD中，由余弦定理得c2= +(-27号tADc7acc, a 相加得c2=号+10，又4+c2-a2=2c,解得c=4a=25, 2 7.【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数g(y)=f〔四在(0，+)上单调递增，再利用单调性求解不等式即可 【详解】因为函数∫()满足对任意的无，玉∈(0，+切)，X≠，都有(）f()0, x-x 设x>x2>0,则x-x2>0,所以xf(x)-∫(x2)>0,即x∫(x)>f(x), 所以ff儿，令g的=因， 12 第2页/供11页 因为当x>x2>0时，都有g()>g(x2), 所以函数g(x)在(0，+o)上单调递增. 又不等式/2)2-3)，32两边同乘以x, 得x2f(2x)>2xf(x2-3)+3f(2x),即(x2-3)f(2x)>2xf(x2-3), 即f2,-3,所以8(2)>g(x2-), 2x x2-3 [2x>0 故x2-3>0,解得V3<x<3,即x∈(5,3) 12x>x2-3 8.【答案】D【详解】如图，由OA-2OB-3OC=0,得OA-OC=2(OB+OC), 即CA=2(OB+OC),取BC中点G,AB中点H,连接GH, 则CA=2Gǖ，即OB+OC=G五， 取GH中点K,延长G到O,使KG=GO,则O为所求点， 此时△BGK=ACGO,所以OC⊥AC,OC=2√5， :点P满足O=19,M为△ABC边上的点， NP ∴当M与A重合时，MP有最大值，为0A+OP,而oA=23+82=29, .MP的最大值为319，D正确 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9【答案】AB【详解】对于A,若aA6C为锐角三角形，则A<受B<受4+B>号 所以经8号4小0，所以m8>合AsA即m8>s4,故A正确： 对于B,若B=60°，b2=C, 则b2=d2+c2-2 ac cos B=d2+c2-ac,所以a2+c2-2ac=0,所以(a-c)'=0,所以a=c,所以b2=ac=d2 即b=a,所以a=b=c,即△ABC是等边三角形，故B正确： 对于C,若acosA=bcosB,由正弦定理得sinAcosA=sin B cos B, 第3页/共11页 即sin2A=sin2B，又A,Be(0,,则2A=2B或2A+2B=元，即A=B或A+B= 所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误： 对于D,因为△ABC为钝角三角形，且AB=3,AC=5,cosC= 14?所以 b=5.c=3,sinC=v1-cosC= 13)2 3v 14 14 ,所以由余弦定理得c2=a+b-2 rbcosC即9=d+25-65。 a, 7 整理得7a-65+12=0,解得a=7或a=16 当a=7时，b2+c2=34<a2=49,故A为钝角，满足题意： 0时，G+c69<625,放B为钝角，满足题意 △MBC的面积为bsnC=×7×5×35_155或bsnc=×16×5x35_60W5故D错误 2 144 27 1449 10.【答案】ACD 【解】对于AB,C.因AG=46+u4C,低题意a正=号B,0-4C代入， 3 AG= AAE+LAC 得 因为E,G,C三点共线，且B,G,D三点共线， AG=AAB+2UAD +4=1 a=1 所以2 ,得 2 ,所以A对，B错： 1 元+2u=1 =4 由4G=AB+AC可得4C+CG=AB+AC, 2 4 做G-0---C列--80--c 4 4 4 故C正确： 对于D,4G=AB+AC,AW=m西，=C, 4 则G_1AM+4·N,因为以GW军点共线， 21 1+=1,即2+=4， 则 2m 4n m n m4n=2, 第4页/供11页 [2+1=4 =1 当且仅当mn,即{，1时取得等号.所以D正确.故选：ACD. =2n 2 11.【答案】BCD【详解】因为g(x-3)是偶函数，所以8(-x-3)=8(x-3), 则f(-x)+g(-x-3)=f(-x)+g(x-3)=2=f(x)+g(x-3),所以f(x)=f(-x): 选项A,当x=0时，f(0)+g(-3)=2,又因为g(-3)=1,所以f(0)=1, 由f0)+f(-1)=f(0),得2f)=f(0)-=1,所以f0)=),故A错误： 选项B,由f(x+l)+f(x-1)=f(x),得f(x)+f(x-2)=f(x-I), 两式相加得f(x+1)+f(x-1)+f(x)+f(x-2)=f(x)+f(x-1), 化简得f(x+1)+f(x-2)=0,即f(x)+f(x+3)=0, 又因为f(x)=f(-x),所以f(-x)+f(x+3)=0, 3。Y 所以f(✉)的图象关于点(20中心对称，故B正确： 选项C,由B知，f(x)+f(x+3)=0,即f(x)=-f(x+3),所以f(x+3)=-f(x+6), 所以f(x)=f(x+6),故f(x)是以6为一个周期的周期函数， 所以f(2025)=f(6×337+3)=f(3)=-f(0)=-1,故c正确： 选项D,由B知，f(x)+f(x+3)=0,所以f(0)+f(3)=0,f(1)+f(4)=0, f(2)+f(5)=0, 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0, 由A知，f0)=1,f0=) 自fx+)1x)-f).f12)f0-f0.所以f2)-f0)-fo)-1-月 所以f(0)+f(I)+f(2)+f(3)=0. 则f(0)+f(1)+f(2)+.+f(2025) =337×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5】+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,故D正确. 第5页/供11页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【详解】因为m=(1,-2),=(6,8),则mi=-l0,=5,所以n在m方向上的投影向量坐标为 n i=-2i=（-2,4) 1-cos 13.【详解】 f(x)=sin2 0X,元 2 1+sin @x 11. +-sin ax 4 2 2 22 因为f(x)在区间 π2π 上单调递增，所以了2 [-+2kr≤ox≤T+2kπ(keZ) 2'3 2 0>0 π 2kππ 2kπ 解得x∈ 020 (k∈Z)由于区间 π2π 2’3 包含原点附近的正负区间，仅当k=0 π π 公 2 20 解得0≤，又0>0，所以0<@s3 3 时的递增区间 可以覆盖该区间，因此 2020 2π<π 4 3 20 14.（-1,0)【详解】当- x<0时，0<-x<2,故f)=1, 2 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(),故-f(x)=1,f(x)=-1, 当x≤- 时，-2分故()=-2，又)=-，故-f)=-2,=,又f0)=0,所以 f(x)= 0,x=0 f6列=06l,f6-山做ah=0,2ac1,b-1,放a,aiy.be< 不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos sin0),8e[0,2m), 由a>得eos0号由6c<-得m0号 2 2 2,又cos2a±sim0=1,故1-m0>子：解得-)<ma<V3 故号0名结合o0分可符0（餐晋） 5π11π )+50.1)-(co0.m)c 第6页/供11页 因为0-ge,2,所以a+5-2mo}e1o0. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案】(1)1 (2 〔。号 【小问1详解】因为a=(2,-1),b=(cos,sina),且aLb,所以2cos-sina=0. 因为cosx≠0，所以tana=2,故2ina-cosg_2tama-1=1. sin a+cosa tana+1 【小问2详解】因为a=0,所以b=(1,0),又ā=(2，-1)， 所以2ā+b=(5,-2),a-b=(2-元，-1) 因为2ā+b和ā-b的夹角为锐角， 所以(2a+b)(a-b)>0且2a+b与a-b不共线， 12 则5×(2-)+(-2)(-1)=12-52>0，解得元> 5 又2,2号即2女行所以2的取值范围是 5 -2 16.【答案】(1)150π平方米. (2)S=450-150W3平方米. 《3)a三：最大值为150W3. 【小问1详解】由题意，∠MON-元 6·扇形半径即OM=30米，则扇形0N的面积为)×3×3050元 平方米 【小间2详解】因为a=元，在Rt△OBC中，BC=30sin工=15V2,OB=30cos2-15√5， 在Rt△OAD中，AD=BC=15V2,则OA=0-5 V3-3 x15V2=56, 所以AB=OB-OA=15V5-5V6 则矩形ABCD的面积S=AB.BC=15V2-56)x15V2=450-150W3. 所以当a=二时，矩形ABCD的面积S=450-1503平方米. 4 【小问3详解】 在Rt△OBC中，BC=30sin,OB=30coSa,在Rt△OAD中，AD=BC=30sino,则 第7页/共11页 OA=4D 33 ×30sina,所以4B=OB-OA=30cosa-10W3sina.则矩形ABCD的面积 S(a)=4B.BC 30sina(30 cosa-10v3sina) =3003(3sinacosa-sin'a) =150v3(3sin2a+cos 2a-1) -305m（2a+1506.0<a 所Sa-305m2a+骨1505，吴0a号 海于导20，点 66 ,则当2a+-时，即a-元时，S(a四x=1505 62 6 所以当a=亚时，S()取得最大值，最大值为150√5. 6 170)B-弩包(Q)【详解】1)因为s血4生C-s4,由正弦定理得m4n π-B 2 =sin Bsin A, 2 改sin Acos2=28in o82sinA,在△ABC中，0<A<元，0<B<元，所以sinA>0,0<B, BB B 22c 2,则o2>0, 可得snB1 }所以经后所以a号 O电孩定理到得2R5R为ABC外接圆的平径.所以a2m K=sinA sinc sin B√3 2 。=2mc,因为8分则4c,c4, 3 所以2a-c=4sinA-2sin 0<A< 因为△ABC为锐角三角形，则 2 0<c=20A< 解得<4< 2 2 则4》4-)9) 故2a-c∈(0,3). 第8页/供11页 18.【小问1详解】 CP=CM=CA+21CB=21CW+2CB,因为P,B,N三点共线，设PB=mBN,即 3 3 币-nn丽，币-tmm0,故-m}-1m,所以兰-1，解得 33 【小问2详解】 设C=a,CB=6,N为AC的中点，放BN=BC+CN=-B+CM=a-方，BM=BA, 放c-cid-61写时-6c1ci-66a-06 3 又∠C=90°，AC=6,BC=9,故a.b=0, a-av-Ga53a-66+0-35-合36号81-4s. 网G+可5a+5合+o而 1 m-a5-a-a6--合6-0-9-io 则cos∠MPN=co(B,C） CM·BN -48 、4 210×310 51 【小问3详解】 B 以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系， M 设K(x,y),K在线段P上，NP方程即为WB的方程， 设NB方程为y=x+b,而直线NB过点N(3,0),B(0,9), 代入直线方程即可解出k=-3,b=9,故NWB的方程为y=-3x+9, A 由4)知C-丽，结合M26可P)百KT线款7上.放x=号3引 KA=(6-x,-y),KB=(-x,9-),故KA+KB=(6-2x,9-2), 而y=-3x+9,故9-2y=6x-9,所以KA+KBFV(6-2x)2+(6x-9)?=V40x2-132x+117 第9页/供11页 ,而40r-132x+17是并口向上的二次函数，对称轴x=3e 3 20 最小值在对称轴处取到，为 20 3+117=1010 -132. 819W10 2 最大值在端点x=3处取到，为√4032-1323+117=V81=9, 9W10 故KA+KB的取值范围为 9 10 19.【详解】(1)因为函数f=1og.+1=1og.a+ 1 若a=1, 不等式f(x)<1即为log2 0e2.可将012，解得xs-1或1 所以不等式f(x)<1的解集为(-0，-1)U(1,+o). 2)因为商数f=-1og.)=la小，则+e3 由题意可知：a+>0对任意x∈[L,3]恒成立， 则a+兮0，可得a> 因为y=log,w在定义域内单调递增，y=a+上在[G,t+1]内单调递减。， 可知f(x)在[t,t+1]内单调递减， 则)在[内的最小值为ft+=le:a+,最大值为f@=lg(a月》 若对任意t∈[1,2]，当x,x2∈[t,t+1时，都有f(x)-f(x,)<2, 则0fu-ea-井sa+e, t+1 a+ t+1 、114）1-3t 可得千<4，整理可得a>it中3t+西' 1 a+ t+1 令1-521，则-号，n2, -n -3n -3 a>- 可得 ++1 +3 r+5n+4n+4+5, 第10页/共11页邵阳市第二中学2026年上学期高一4月份阶段检测数学试题 测试时间：120min 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的！ 1.若复数二满足(+1)i=3+三(i为虚数单位)，则==() A.1 B.√2 C.5 D.√5 2.已知幂函数f(d)=(m-4m+4)x?在(0，+)上单调递减，若正数a,b满足2a+b=m,则上+2的最小 a b 值为() A.8 B.16 C.82 D.16W5 3.己知向量a=(cos8,sin8),b=(4,-3),下列选项正确的为() A若a历，则m0= B.若aLb,则血0号 C.a-的最小值为6 D.若a与a-b垂直，则a-=26 4.计划在山的两个山顶M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观 测点A,B,C,在A处测得山顶M,N的仰角分别为60°和30°，测得两个山顶的高分别为 MC=500W3m,B=250W2m,且测得∠MAN=45°，则M,N间的距离为() A.500m B.250√6m C.500v3m D.500W2m 5.在△ABC中，a=x,b=2,∠B=45°，若解三角形时有两解，则x的取值范围是（) A.x>2 B.x<2 C.2<x<22 D.2<x≤2W2 6.如图，已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2,b+c2-a2=bc,若BC边上的中线 AD=√7，则BC的长为() A.23 B.2√6 C.22 D.3W2 7.已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，若对于定义域内给定的任意x,x(:≠x),都有 f/0,则不等式/x2-到，y2)的解集为《) x-x2 A.(5,3B.（V5,+o C.(0,3) D.(3,+∞) 第1页/共4页 8.边长为8的等边△ABC所在平面内一点O,满足OA-2OB-3OC=0,若M为△ABC边上的点，点P满 足O=19,则MP的最大值为() A.5V5 B.6W5 C.219 D.319 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,下列四个命题中正确的是() A.若△ABC为锐角三角形，则SinB>coSA B.若B=60°，b2=aC,则△ABC是等边三角形 C.在△ABC中，若acosA=bcosB,则△ABC必是等腰三角形 D,若△18C为能角三角形，且4：3,4C=5,cosC-则△AC的面积为55 4 1O.如图，在△ABC中，BD与EC交于点G,E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有 AG=AB+LAC,,u∈(0，+n),过G作直线MN分别交线段AB,AC于点M,N,设AM=AB,A=nAC (m>0,n>0),则() E M 1 A.= B.μ=3 1 2 C.CG-3BE-3BC D.m+2n的最小值为2. 11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x+1)+f(x-1)=f(x),g(x-3)是偶函数，且 f(x)+g(x-3)=2,若g(-3)=1,则下列说法正确的有() Af0=月 B.f(x)的图象关于点 50 中心对称 c.f(2025)=-1 D.f(0)+f(1)+f(2)+.+f(2025)=0 第2页/共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面向量=(1，-2)，n=(6,8),则元在方向上的投影向量坐标为 13己知函数f(x)=sin (x+(o0)在区间 .π2π 、24 上单调递增，则)取值范围为 23 1 1,0<x< 14.己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，+o)时，f(x)= 1 2,若ā，6，c是平面内三个不 2x,x2。 Γ2 同的单位向量，且满足f(a.)=0,fa.c)>1,f(c)<-1,则(a+V3b)c的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.直角坐标系中，已知向量d=(2,-1),b=(cosa,sino). (1)若石L6,求2sia-cosa的值： sina+cosa (2)若u=0,且2ā+b和ā-2b的夹角为锐角，求1的取值范围. 16近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深 挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计 划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD,矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D 在边ow上，且∠0N=号，OM=30米，设∠coM=a (1)求扇形OMN的面积： D (2)若a=4,求矩形4BCD的面积S: (3)若矩形ABCD的面积为S(),当&为何值时，S()取得最大值， 并求出这个最大值 BM 17.△ABC的内角4，B,C的对边分别为a,bc,已知asin4+C=bsnA. 2 (1)求B: (2)若△ABC为锐角三角形，b=√3，求2a-c的取值范围， 第3页/共4页 18,如图，Rt△4BC中，∠C=90°，AC=6,BC=9,BM=BA,N为AC的中点，设BN与CM相交 于点P (1)若CP=tCM,求t的值； M (2)求cos☑MPW: (3)设动点K在线段NP上（包含端点），求KA+KB的取值范围. 19.已知函数f)=1og,+1 (1)当a=1时，解不等式f(x)<1: (2)若对任意t∈L,2],当x,2∈[t,t+时，都有f()-f(x2<2,求实数a的取值范围： B股a2,对任宽整数，在区间后存在：习个安数44，风.使 f(a)>f(a)+f(a)++f(a),求k的最大值 第4页/共4页