精品解析：安徽六安市毛坦厂中学东部新城校区2026届高三最后一卷数学试题

高三最后一卷 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算结合虚部概念即可求解. 【详解】， 故的虚部为3. 2. 设集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以， 所以. 3. 某班级去历史博物馆参观，全班同学分成三个小组，并从5名班委中安排3人分别担任组长，则组长的不同安排方法共有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列的知识即可求解． 【详解】由题可知，从5名班委中安排3人分别担任组长有种不同安排． 4. 已知向量，，若，则实数m的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量加法及数量积的坐标运算法则即可求解． 【详解】由题可知，， 由得，． 5. 已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知椭圆C：经过点， 则，解得， ， ． 6. 已知函数的图象经过点和，且在区间内没有极值点，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用已知点求出，再代入点 得到的表达式，最后结合 “无极点” 的条件确定的值. 【详解】函数 ，代入点，得：. 解得 或 . 若，则 ，解得 ，即, 若，则 ，解得 ，即 , 极值点出现在 处,当 时， , 当，时， ，此区间内无，满足无极值点条件, 当，时， ，此区间内存在，有极值点, 其他选项验证均不满足条件. 综上，. 7. 已知一个圆柱、一个圆锥、一个圆台，它们的高均为，圆柱的底面半径为，圆锥的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，且，记圆柱、圆锥、圆台的体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用圆柱、圆锥、圆台的体积公式计算出、、，再结合已知条件和基本不等式比较三者的大小关系. 【详解】因为圆柱底面半径为，高为，所以 ； 已知圆锥底面半径为，高为，所以 ； 由，得， 所以​  根据基本不等式：（ ，等号仅当​时成立，由圆台知）， 因此， ， 最终大小关系为：. 8. 已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】对或展开化简，得到，不妨取，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以，即或或. 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故甲能推出乙. 因为，所以， 又， 所以 其中， 若，则，即， 与题设矛盾，所以， 故或或， 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故乙能推出甲. 综上，甲是乙的充要条件. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据可判断A；根据及即可判断B；根据两角和的正弦公式可判断C；代入可判断D. 【详解】， 解得，又，所以，故A正确； 联立及，解得， 所以，故B错误； 同理根据及，解得， 所以，故C正确； 因， 所以.故D错误. 10. 已知双曲线C：(，)的一条渐近线经过点，左、右焦点分别为，，且，点为的右支上任意一点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题意求出即可判断；对于B，结合双曲线的定义即可判断；对于C，分为直线斜率存在和不存在两种情况分别讨论，结合方程解的情况即可判断；对于D，结合双曲线的定义可得 ，即可判断. 【详解】因为渐近线经过点，， 所以，，结合,解得，，， 所以的离心率为，故A正确； 根据双曲线的定义可知 ，故B错误； 当过点的直线斜率不存在时，直线为，此时与双曲线只有一个交点， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去得 ， 当时，解得.若，方程无解；若，方程有且只有一解，此时直线方程为； 当时，若方程有且仅有一解， 则 ，方程无解， 综上所述，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条，故C正确； 由双曲线的定义得 ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 11. 已知函数的定义域为，值域为，若，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 设函数，则 D. 设函数，则… 【答案】ABD 【解析】 【分析】先推导函数的奇偶性、二倍角形式的函数表达式，再逐一验证选项. 【详解】先推导函数基本性质： 令，代入函数方程得，整理得，结合值域得. 令，代入得，故，即为奇函数. 令，得 ①. 接下来逐一判断选项： 对于选项A：. ∵ ，∴ ，右侧不等式成立. 又 ， ∵ ，∴ ，故，即，左侧不等式成立.故A正确. 对于选项B：由①式得. ∵ ，∴ . 又 ，∵ ，∴ ，， 故 ，即. 综上，B正确. 对于选项C：，代入的表达式： 分子：， 分母：， 故 ，C错误. 对于选项D： 由①式得，令，则. 故乘积. 先证左侧不等式：∵ ，且由，结合B中结论可得与同号，故 ， ，故 . 再证右侧不等式：令 ，则， ， ，∵ ，故，数列单调递增， 故 ，即 ，故. 综上，D正确. 【点睛】方法归纳：处理满足的抽象函数，可类比双曲正切函数的性质快速推导，也可通过赋值法先求特殊点函数值、奇偶性等基础性质，再逐一验证选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，，则_________． 【答案】10 【解析】 【分析】首先求首项和公差，再代入求和公式. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，解得：，， 所以. 13. 已知函数的值域为，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】要使分段函数的值域为，需两段函数值域衔接覆盖全体实数，即满足部分的最小值不大于部分的上界. 【详解】当时，，这部分值域为 ； 当时，，是增函数，这部分值域为 ， 要使整个函数的值域为，则， 画出和的图像，可知两个函数的交点为和，且当且仅当时，成立， 因此的取值范围是. 14. 一个箱子里有5个球，分别以1~5标号，甲从箱中有放回地随机抽取两次，记其取出的球的编号集合为，乙也从箱中有放回地随机抽取两次，记其取出的球的编号集合为．记随机变量为集合中元素的个数，则_________．附：已知，为两个随机变量，则． 【答案】 【解析】 【分析】由题可能的取值为，求出对应的概率，利用期望公式求解即可. 【详解】若甲两次抽到同一个数，有5种情况，此时集合只有1个元素， 若甲两次抽到不同的数，有种情况，此时集合有2个元素， 所以可能的取值为， 表示集合中没有相同元素，， 表示集合中有1个相同元素，， 表示集合中有2个相同元素，， 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着信息技术的普及，阅读内容的载体逐渐实现了从纸质到数字化的转变．某机构为了解不同年龄段人群阅读偏好的差异，随机调查了人，调查结果如下： 偏好数字化阅读 偏好纸质阅读 青少年 中老年 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为不同年龄段的人群阅读偏好有差异？ （2）采用按比例分层随机抽样的方法，从被调查的偏好纸质阅读的人中抽取人体验新型数字化阅读产品，再从这人中任选人进行深度采访，求深度采访的这人中恰有名青少年的概率. 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）可以认为不同年龄段的人群阅读偏好有差异 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合卡方公式计算和独立性检验的思想即可下结论； （2）根据题意，结合古典概型的概率计算公式计算即可求解. 【小问1详解】 零假设：不同年龄段的人群阅读偏好没有差异， 由题意得， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故可以认为不同年龄段的人群阅读偏好有差异. 【小问2详解】 因为偏好纸质阅读的人中，青少年与中老年一样多，故抽取的人中，有名青少年和名中老年， 设事件“深度采访的这人中恰有名青少年”为， 则. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求; （2）若是锐角三角形，，延长至点，使，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对已知等式进行通分化简，再结合余弦定理即可求出角； （2）先利用几何法，通过作垂线确定锐角三角形中边的取值范围；再在中用正弦定理建立与的关系，结合的范围直接推导出的取值范围. 【小问1详解】 由得， 整理得，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 如图，分别作，垂足为Q，，垂足为B，与射线交于点P． 当点在线段上（不含，）时，满足是锐角三角形． 因为，，所以，， 故． 在中，因为， 所以， 由正弦定理得，，得 ， 故的取值范围是． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． （1）证明:; （2）点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 【答案】（1）如下图，连接，因为为等边三角形，为的中点， 所以．连接，， 因为四边形是菱形，所以，又， 所以为等边三角形，则． 因为，所以平面． 又因为平面，所以． （2）满足条件的点Q只有一个，即与点P重合 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明 平面 ; （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和的坐标，根据线面角的正弦值计算结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，平面平面，平面平面，所以平面． 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，，，，． 设平面的法向量为， 由，得，取． ，，设，， 则． （10分） 设直线与平面所成的角为， 则， 由题意得，整理得 ，因为，所以， 即满足条件的点Q只有一个，即与点P重合. 18. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线与轴交于点，求； （2）当时，证明：； （3）若存在，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：当时，，定义域为，， 易知单调递减，又，， 所以存在，使得，即，也即． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 故. 又，当且仅当时取等号，但，所以. 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线，结合与轴的交点求解即可. （2）根据导数与单调性及最值的关系，结合基本不等式证明即可. （3）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 ，，则 ， 又，故切线方程为 ． 令，即 ，则， 解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若存在，使得对任意的，都有 ，即 . 令 ，则， 因为单调递减，且当时，，当时，， 故存在，使得，即， 且在上单调递增，在上单调递减， 所以. 则条件等价于：存在，使得． 令，，则， 令，则，可得在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 故的取值范围为． 19. 已知抛物线C：的焦点为，是上横坐标为1的点，，且直线的倾斜角为锐角． （1）求的方程； （2）若按照如下方式依次构造点()：作轴，垂足为，过点作直线与第一象限的部分相切于点，记点的坐标为，证明：是等比数列； （3）若以为圆心作圆与轴相切于点，按照如下方式依次构造点和(，2，3…)：在上找一点，以为圆心作圆与圆外切，同时与轴相切于点，且点在线段上（为坐标原点），设，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，求出，根据抛物线的定义求出，通过计算得到的值，结合直线的倾斜角为锐角对的值进行取舍，从而得到的方程． （2）由的坐标得到，，求直线的斜率，利用导数的几何意义得到在点处的切线斜率，利用点斜式求出在出的切线方程，因为轴，垂足为，所以，又因为过作直线与在第一象限的部分相切于，所以点在切线上，将代入在处的切线方程通过计算得到，从而得到是首项，公比为的等比数列． （3）求出，，，记，由圆与轴相切，得圆的半径，由圆与圆外切得到，利用两点间的距离公式通过计算得到．由于点在线段上得到，从而得到，得到是以为首项，为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式得到，从而得到，分别按照和讨论求解，结合裂项相消法得到结论. 【小问1详解】 设，由题意知，所以． C的准线方程为，由抛物线的定义可知， ，解得或． 当时，C:，，，， 直线的倾斜角为钝角，不符合题意； 当时，C:，，，， 直线的倾斜角为锐角，符合题意． 故的方程为． 【小问2详解】 ，点的坐标为，则，， 直线的斜率． 由C：可得，所以在点处的切线斜率为， 则在出的切线方程为， 即， 因为轴，垂足为，所以， 又因为过作直线与在第一象限的部分相切于， 所以点在切线上， 将代入在出的切线方程为， 得到， 因为点都在第一象限，所以，所以， 【小问3详解】 解得，所以是首项，公比为的等比数列． 由题意可知圆：，，，， 记，由圆与轴相切，得圆的半径． 由圆与圆外切，得， 所以． 两边平方得， 整理得． 由于点在线段上，所以， 则，即，又， 则是以为首项，为公差的等差数列． 则． 当时，，，不等式成立， 当时， ， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三最后一卷 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 设集合， ，则（ ） A. B. C. D. 3. 某班级去历史博物馆参观，全班同学分成三个小组，并从5名班委中安排3人分别担任组长，则组长的不同安排方法共有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 4. 已知向量，，若，则实数m的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象经过点和，且在区间内没有极值点，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 已知一个圆柱、一个圆锥、一个圆台，它们的高均为，圆柱的底面半径为，圆锥的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，且，记圆柱、圆锥、圆台的体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线C：(，)的一条渐近线经过点，左、右焦点分别为，，且，点为的右支上任意一点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 的最小值为 11. 已知函数的定义域为，值域为，若，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 设函数，则 D. 设函数，则… 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，，则_________． 13. 已知函数的值域为，则的取值范围是_________． 14. 一个箱子里有5个球，分别以1~5标号，甲从箱中有放回地随机抽取两次，记其取出的球的编号集合为，乙也从箱中有放回地随机抽取两次，记其取出的球的编号集合为．记随机变量为集合中元素的个数，则_________．附：已知，为两个随机变量，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着信息技术的普及，阅读内容的载体逐渐实现了从纸质到数字化的转变．某机构为了解不同年龄段人群阅读偏好的差异，随机调查了人，调查结果如下： 偏好数字化阅读 偏好纸质阅读 青少年 中老年 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为不同年龄段的人群阅读偏好有差异？ （2）采用按比例分层随机抽样的方法，从被调查的偏好纸质阅读的人中抽取人体验新型数字化阅读产品，再从这人中任选人进行深度采访，求深度采访的这人中恰有名青少年的概率. 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求; （2）若是锐角三角形，，延长至点，使，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． （1）证明:; （2）点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 18. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线与轴交于点，求； （2）当时，证明：； （3）若存在，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知抛物线C：的焦点为，是上横坐标为1的点，，且直线的倾斜角为锐角． （1）求的方程； （2）若按照如下方式依次构造点()：作轴，垂足为，过点作直线与第一象限的部分相切于点，记点的坐标为，证明：是等比数列； （3）若以为圆心作圆与轴相切于点，按照如下方式依次构造点和(，2，3…)：在上找一点，以为圆心作圆与圆外切，同时与轴相切于点，且点在线段上（为坐标原点），设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $