安徽六安市毛坦厂中学等校2026届高三下学期5月学业质量检测数学试题

姓名 座位号」 (在此卷上答题无效) ★启用前绝密 2026届高三5月学业质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|0<x<5},B={x∈N‖x-11},则A∩B= A.{0,1,2} B.{1,2} C.(0,2] D.[1,2] 2.设复数z满足z(1-2)=1+3i,则复数z的虚部是 A子 B.号 C.i D. 3.己知数列{an}是等差数列，3a6=a4+4,则a,= A青 B.2 C.3 D.4 4.已知点AL,1),B(m,3),O为坐标原点，则“OA和OB的夹角为锐角”是“m>-3”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数f(闪)=+的图象如图所示，则关于x的不等式f(d)sa+b的解集为 x+b A.（-oo,1) B.（-o0,-1] C.[0,1) D.[-1,1) (第5题图) 6.已知函数f()=3si血2x,先将f,)图象向左平移严个单位，再将图象上点的横坐标变为原来 6 的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象.若g(a)=1,则cos or -2a- A.7 B.-7 C.42 D. -42 9 9 9 9 数学试题 第1页共4页 7.已知实数xy满足x-22+户=1，则@=3x+y的取值范围是 At语ouo语 R语得 c.e得Uou 0,+oo) D.(ou9+o 。+e,若f)-f心)-1，则-名的最小值是 8.已知函数f)=e-2e A.-In3 B.-In2 C.In2 D.In3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若函数f(x)=loga(x-2)+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,且点A在直线 mx+y=1(m>0,n>0)上，则下列选项正确的是 A.m+n=1 B.mn的最大值是马 C.m+历的最大值是 3 D.上+3m的最小值是9 m n 10.如图所示，正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，M为棱CC(不包括端点)上的动点，在M 的运动过程中，下列选项正确的是 D A.三棱锥rDDM的体积为号 B.过A1、M、D三点的平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 C.当点M为CC中点时，过A1、M、D三点的平面把正方体分 成两部分的体积之比为7：17 D.AM什MD1的最小值为2√4+2√2 (第10题图) 11.设直线1与抛物线x2=4y相交于A,B两点，与圆x2+0y-5)2=r2(r>0)相切于点 M(,),且M为AB的中点，下列选项正确的是 A.当直线1斜率为1时，|AB=8 B.直线1斜率可能为2 C.若直线1斜率不为0，则M点轨迹是一条直线 D.当r=2时，符合条件的直线1有且仅有两条 数学试题第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.(ar+2 的展开式中常数项为160，则它展开式的第5项为 13.己知函数y=e*和y=2ar-2的图象上存在点关于直线y=x对称，则实数a的 取值范围为 14.如图，已知三棱锥D-ABC和三棱锥E-ABC均为正三棱锥，其中DA=2 AB=AE=2,则其内部能放入的最大球的半径R= (第14题图) 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤。 15.在△ABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,其中A为钝角，B>C,且满足 tan B+tan C=tan B tan C+1 (1)求角B; (2)若tanB=2tanC,b=√2，求△4BC的面积 16.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,将△4BD沿矩形对角线BD翻折至△SBD,使得点S 在底面BCD内的投影点O在CD上，M为BS中点 (1)求证：SD LMC; (2)求二面角D-MC-S的余弦值 (第16题图) 数学试题 第3页共4页 17.已知椭圆c:名+，之=1a>b>0)的左、右焦点分别为乃，F及.过焦点乃作垂直于长轴的 直线与椭圆交于A,B两点，△F2AB为等边三角形 (1)求椭圆C的离心率： (2)若椭圆C的长轴长为6，点D(W3,2),点M,N为椭圆上异于D的动点，且直线MD, ND的斜率互为相反数，直线MW的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请 说明理由， 18.强健的体魄是高效学习的保障.为增强体魄、放松身心，甲、乙两位同学周末相约在小区篮 球场进行投篮游戏，游戏的方式有两种： 方式一：随机决定谁先投篮，若先投篮的同学出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，该 同学停止投篮，由另一位同学投篮；若后投篮的同学也出现连续2次未投中或投篮次数达到 5次，游戏结束.游戏中累计投中次数多的同学获胜，若两人投中次数一致，则为平局 方式二：每次由其中一人投篮，规则如下：若投中则此人继续投篮，若未投中则换对方投篮。 由掷质地均匀的硬币决定第1次投篮的人选 已知甲同学每次投篮的命中率为子，乙同学每次投篮的命中率为？，且每位同学每次投篮是 否命中相互独立： (1)选择方式一时，记甲在游戏中的投篮次数为X,求X的分布列和数学期望； (2)选择方式二时， ()两人约定先累计投中2次者获胜，游戏结束.在游戏结束时，两人合计投篮次数不超过 4次，求此过程中甲只进行了2次投篮的概率； (i)若二人一直进行投篮，记第n次是甲投篮的概率为pn,前n次投篮中甲的投篮次数为Y, 求pn和E() (参考知识：若随机变量X:服从两点分布，且P(X;=1)=1-P(X;=0)=9:,i=1,2,…,n,则 E(2X)=29:) f=1 19.己知函数f(x)=e*-x2+ax(x∈R) (1)若f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)已知g(x)=x+1,当x∈[0，+o)时，f()≥g(x)恒成立，求整数a的最小值： (3)证明：21+V2+V3+…+√n)>(m+1)ln(n+10(n∈W). 数学试题第4页共4页 2026届高三5月学业质量检测 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区城的答案无效 请在各题目的答题区城内作答，超出答题区域的答案无效 四、解答题 数学答题卡 16. 15. 姓名： 贴条形码区 -海 考号： 答题相务必认直枝液条形码上的姓名、考号，并将本人姓名、考号填写在相应位置。在答驱中 注意事 2. 须使用B船笔涂，如需动，务多摔净。管非题时，使用5毫米的 要水 书写 字体工整 第达清。严格按号所指示的答题区域作答，望出答蓝区 稿纸上答无。保特卡面清，不折、不损。 3. ■此烂考生禁填 缺考标记口 缺考考生由度考员后条形。用2B笔填涂左边的峡考标 并在姓名栏填可缺号 选择题（用2B铅笔填涂） 正确填涂样例：■ 一、进择题 AJIBIICIID] 5IAJIBIICJID] 2[AJ[BIICIID] 6[A][B][CIID] 3[AJIBIIC]ID] 7[A][B][CIIDI 4[A1[B1IC】IDJ 8[A][B][CJ[D] 二、选择趣 9IA1IB1[C1ID】 [A][BI][C][D] 10[AJ[BI[CJ[D] 非选择题（用05毫米的黑色墨水签字笔书写） 三、填空题 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答愿区域内作答，超出答意区城的答案无效 请在各题目的答题区规内作答，起出容题区域的答案无效 数学答愿卡第1页共2页 座位号 考生务必将姓名、座位号后两位用0.5瓷米的黑 色眼水签字端认真填写在书写框内，座位号后两位的 请在各题目的答题区域内作答。超出答通区域的答案无效 请在各愿目的答愿区域内作答，短出答露区城的答案无效 每个书写拟只能填写一个国位伯数字， 18. 9 请在名网且的鉴要区域内作答，超出答恩区域的答案无效 公 请在各题目的答题区城内作答，星出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区城内作答，超出答题区域的答案无效 情在各题目的答瑟区城内作答，超出容恩区域的答案无效 数学答题卡第2页共2页 2026届高三5月学业质量检测 数学参考答案 1、B 解析：B={0,12}.A∩B={1,2 2、A 解析：-1+3改17. i-2551 3、B 解析：3a6=a4+4.3(a-d)=a-3d+4.a=2 4、B 解析：由OA和OB的夹角为锐角得m+3>0且m≠3 故“OA和OB的夹角为锐角”是“m>-3”的充分不必要条件 5、D 解析： Fx)=a+1-ab 所以a1a=1 x+b 1-b=1b=-1所以f≤0解集为[1，) 6、B 期折：由题知，860=3n+孕.则n(a+学-号 所拟co(写-2a-co时x-2a+31-c0s2a+7-2sna+孕-1-号 3 31 7、B 解析：由题知x≠0 若y=0,则o=0: n咖实兰m9} y x 综上，w∈ 5√3 1010 8、C 解析：f(w)=1- 3 3 e+1fx)f)=ele+ .e2e2x.+4e2-2e2x+1=0 令m=e2,n=e2x2(m>0,n>0),则有m+4l-2n+1=0 显然m≠2n=4+1 2-m 又n>0,所以0<m<2 =是-如招0 1 472+1 41m+1 令y= m∈0,2)，求导知y在0,2 单减，了 22 单增。 (2-m）1 所以m=】时y最小为4，所以x一x的最小值为1n2 9、BCD 解析：A(3,3)所以+n= ,所以A选项错误： m以>2mm≤名当且仅当加=n=名时等号成立，故8造碳正确： 1 1 3 6 √m+√n m”.m+ms5,当且仅当m=n=时等号成立，故C选 1 2 3 6 项正确： 1+3m_3m+3m+3m=3+3”+≥9，当且仅当m=n=L时等号成立，故 m n mn 6 D选项正确； 10、BCD 解折：对计A越项-兮兮②小水？-成A达现民 对于B选项，过点M做MG∥BC交BC于点G,连接AG,则截面为四边形 ADMG,其中AD∥MG,AG=DM,故B选项正确： 对于C选项，=VcaM-A4D=3 V2=8- 7-1:=7:17,所以故C选项 33 正确； D C 对于D选项，如图，最小值为√4+(2+2W2)2=24+2W2 11、AD 解析：设A(x,),B(x2,y2),M(x,yo),G(0,5) =4%5-x=44y x=4y2 5≠2,2x=4片-业即=2k48 X1-X2 对于A选项由ks=1知=2：又awk=-1,得5x1=-1“为=3 x。-0 .M(2,3),此时直线AB:y=x+1过抛物线焦点，故|AB片+y2+卫=2y。+p=8 所以A选项正确： 对于B选项，由k=2知=4：又K6=1,得么5×2=-1人，=3 4-0 .M(4,3)不在抛物线开口内，它不可能是AB中点，故B选项错误： 对于C选项，当k知0时，由k6=-1得么5专=-16=3 x。-02 所以点M在直线y=3上：但M是AB中点，那么M必须在抛物线开口内，所以M 的轨迹不可能是一条直线；故C选项错误： 对于D选项，当k48≠0时由C选项知M(x,3),又r=2,得M(0,3),此时kA4B=0, 与条件矛盾（舍去）：当k4a=O时，显然有2条直线满足题意；故D选项正确 12、 240 x2 G 解析：由题意可知 ax+ 的展开项的常数项为C()(a)-160a2=160, 则a=1,所以展开项的第5项为C:()x=240 x2 1( 解析：y=e关于y=x的对称函数为y=lnx,则函数y=e和y=2x-2的图象上存 在点关于直线y=x对称时，y=x与y=2ax-2有交点，则nx=2-2有解，即 2a-1+2有解，令f的=血x+2,则f=-血-1=0时有x=e x2 x∈(0，e1)时，'(x)>0,f(x)单调递增， xe(e,+o)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 则f(x)mx=f(e1)=e,且x→0，f(x)→-0，f(e2)=0,x→+o0,f(x)→0+ 所以2a∈(-0，e,则a∈(-0，] 14、 3+2√6 15 解析：取△ABC的中心O,连接DO,EO.DO,EO即分别为两个正三棱锥的高，易知 D,O,E三点共线，连接AO,延长后与BC相交于点M. ~40=2y5:D0=VD4-40=150=VaB-40-2y6 3. , M0=5:DM=D0+M0-2W5 3 EMOMO 该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球， 由题意可得：乃。8+Ac= 0Sx+08e8+2 3 S=SADAB SADAC SADBC +SAEA SAEAC +SARBC=3SADBC +3SARBC 则5e=gw-c+号ac5 由等体积法可知： VD-ABC+VE-ABC= RS表 3 所以R= 3+2W6 15 15、(1)解：由题意可知： sin B sinC=sin BsinC cos B cos C cos B cosC 化简可知：sin B cosC+sin C cos B=sin BsinC+cos B cos C, BC)co8(B-C)=in(C) 3分 :.①B+C=B-C+F时，C=元，又B>C,则B+C> ,A为锐角，不符合题意： 2 C+B-C+r+kkGZ☑，此时可得B=(B为锐角)，此时符 4 综上，B=元 ..7分 (2)tan B=1,:tanc=I 2 可得snB=cosB= 2，nc= 5,cosC= 2W5 J sin A=sin(B+C)-sin BcosC+sinc cosB=10 10 10分 b=v2,b c sin B sin C ,c=25 5 csim4=V2.2y5.3wi0_3 2 2 5105 13分 16、(1)证明：.SO⊥平面BCD .SO⊥BC,又BC⊥CD,且SO∩CD=O, .BC⊥平面SCD,… 3分 .'SDc平面SCD ∴.BC⊥SD,又SD⊥BS,且BS∩BC=B, .SD⊥平面SBC.... 6分 :MCc平面SBC, ∴.SD⊥MC .7分 (2)法一：延长CM,在平面SBC内，过S作CM的垂线， 垂足为H,连接HD 由(1)可知SD⊥MC,又MC⊥SH,且SD∩SH=S, .MC⊥平面SHD,.MC⊥HD,又CM为二面角的棱， SHc平面SMC,HDC平面CDM, ∴.∠DHS为所求二面角的平面角. ..11分 :BC⊥平面SCD...BC⊥SC.SC=2V3 又M为SB的中点，可得MC=2, SASMG= 22 S=.. .14分 SH SH .cos∠DHS= V21 ...15分 HD SH2+SD2 1 法二：如图，以O为坐标原点，OS所在直线为z轴，OC所在直 线为x轴，在平面BCD内，以过O且垂直于CD的直线为y轴， 建立空间直角坐标系， 计算可得：S0=√3，OD=1,OC=3 则空间中的一些点的坐标为： C(3,0,0),S(0,0,V3),D(-1,0,0),B(3,-2,0), .10分 由题意可知，平面SBC的法向量为DS=1,0,3),11分 .设平面CDM的法向量为n=(xo,y,2o), c9-(-马 3 6+ 2 20=0 5 √ ，得x=0,令20=2，则。=√5， +% 20 n=(0,√3,2) .....13分 :二面角D-MC-S的平面角O显然为锐角， n.DS √21 .cosθ=cos<n,DS>=H .15分 n DS 1 b2 17、(1)将x=-c代入椭圆可得y= a 2b2 ∴.|AB= a 1分 又△F,AB为正三角形， 上51481即2G=52沙，则可得6=2ac,3分 2 2 a 又b2=a2-c2,.√3c2+2ac-√3a=0. 离心率e=,V3e2+2e-=0, e-5(e-V5合去) 3 5分 (2)由题意可知：a=3,结合(1)可得c=√3，b=√6， 则椭圆c:+y2 =1.… 6分 96 由题意可知，符合条件的直线MN的斜率必存在， .设直线MN的方程为：y=kx+t,M(x,),N(x2,2) y=kx+t 联立椭圆和直线方程： x2.y2 十 1'消去y可得(6k2+2)x2+6你+3r-18=0, 96 ·直线和椭圆必有交点，则△之0， -6t 3t2-18 小米+= 32+2书 ..9分 -3k2+2 MD,ND的斜率是互为相反数，kMD+ko=O. 又3=g2,m52=”2 二 x,-3x,-√3 .11分 6o+60-+2++12-0, x3x3 化简可得(+t-2)飞，-√3H(,+t-2)x-V3)=0, 即33k2-9k+3M-3t+2√3=0… .13分 因式分解3k-V55k-2+0=0,则可得k=5或V5k+1=2, 3 ,√3k+t=2时，直线MN经过点D(V3,2),故不符合题意， 则直线N的斜率为定值 6 15分 3 18、(1)结束投篮时甲的投篮次数X的可能取值为2,3,4,5..1分 Px=231PX=3)=2.11-2 33327 P(X=4)= 1211,22112 3333333327 P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= 20 ...4分 27 X 2 3 4 5 心 1 2 2 20 9 27 27 27 0=2分327+4 +5x 2040 。。。。。。。。。 6分 27 27 27- (2)(i)设甲投中为事件A,乙投中为事件B, 投篮2次游戏结束的情况有：AA,BB 投篮3次游戏结束的情况有：ABB,BAA 投篮4次游戏结束的情况有：AABB,AABA,ABAA,BBAA,BBAB,BABB.9分 则P甲只投中2次=2.2+2.2.2+2.1.3.33.2.22)91 23353333555533225 .11分 (i)由题意可知乃=2，第”次投篮的是甲的概率为P,第1-1次投篮是甲的概率为P,1 是乙的概率为1一Pn-1,则一定满足 2 p.=3P.+50-p. 5 13分 4 2 即P.=i5P1+写 可构造如下关系：卫。 614 可得：卫.=1i2215 .15分 若记第i次投篮甲投的次数为X,,不难发现甲投X=1,乙投X,=0,则X,服从两点分 布， P(X,=1)=1-P(X,=0)=P, 则E(X)=卫，i=1,23,,n,又Y=X 4 则E0=8-60-1 15 6 1122 11 11 242 .17分 15 19、(1)由题意可知：f'(x)=e-2x+a,令h(x)=f(x), ∴.h(x)=e-2=0的解为x=n2, x∈(-oo,1n2)时，h(x)<0,f'(x)单调递减， x∈n2,+o)时，1(x)>0,f'(x)单调递增， .∫'()极小值=f'()mm=f'(n2)=2-2n2+a3分 :f(x)有两个极值，且x→-0，f"(x)→+0，x→+0，f'(x)→+0 .2-21n2+a<0 .a<2n2-2 经检验符合题意. ..4分 (2)f(x)≥g(x)在x∈[0，+w)时恒成立，即e-x2+(a-1)x-1≥0恒成立 设F(x)=e-x2+(a-1)x-1, 显然x=0时符合题意，只需讨论x∈(0，十0)恒成立即可 .5分 则F(x)=e-2x+a-1,当x=0时F'(0)=a: 令H(x)=F(x),则H'(x)=e-2=0时的解为x=n2, x∈(0,1n2)时，H'(x)<0,F'(x)单调递减， x∈n2,+o)时，H'(x)>0,F'(x)单调递增， .F'(x)报小值=F'(x)mn=F'Qn2)=1-2ln2+a ∴.a≥2n2-1时，F'(x)≥0在xE(0,+o)恒成立，∴.F(x)在(0，+0)上单调递增， .F(x)>F(0)=0符合题意；.… ....7分 又a≤0时，'F(0)=a≤0，x∈(O,ln2)时F'(x)单调递减，此时F()<F(O)=0不符 合题意， 又21n2-1<1,且a∈Z, 8分 则ann=1… .9分 (3)证明： 由(2)可知，当a=1时，当x∈(0，+oo)必有e>x2+1恒成立， 即x>n(x2+1)恒成立，10分 x) 可得二>ln(2+D=ln+马=n0+D-lnn, n 两边同时乘以n,可得√n>nln(n+1)-nnn. ....12分 … 南(N3(I+0(I+四<(u个++S个+乙个+D忆地⑦+① gp..... ⑦‘乙四++（亿-西+(I-u叮+u四+(+0四<个+++个+I膨血r盖 乙叮<I E四< … (1-0四<元-u uI<I-4个卓馗 SI… (I+u<u个 (N3四u个=x准电 ①‘[忆四++（亿-uT+(I-叮+uu可-(I+)阿u<u个++S介+乙个+I铋世r當 [I-乙I<[ 乙忆-忆< (L-)四(1-4)-u四(1-W<I-u个随