精品解析：江西九江市武宁县名校联盟2026年九年级中考二模考试数学

机密★启用前 2026年初中学业水平 数学冲刺（二） 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是最符合要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 通常把标准大气压下水结冰时的温度规定为，如果比水结冰时的温度高记作，那么比水结冰时的温度低应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据规定比高的温度记为正，因此比低的温度用负数表示即可求解． 【详解】解：∵标准大气压下水结冰时的温度规定为，比水结冰时的温度高记作， ∴比水结冰时的温度低应记作． 2. 国家能源局发布的数据显示：截至2025年底，我国可再生能源总装机达到亿千瓦．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，即可求解． 【详解】解：亿． 3. 将如图所示的一段折线绕着过其两端点所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的旋转，熟练平面图形与立体图体的关系是解题的关键，根据面动成体，图形绕直线旋转是圆锥即可得到答案． 【详解】解：由图可得，将三角形沿着虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥， 故选：D． 4. 如图，在等边三角形中，，，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由平行的性质，再由等边三角形的性质得到，由含有的直角三角形求解即可 ． 【详解】解：∵等边三角形中，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， 在中，，，， ∴． 5. 适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是次/分．某班班主任随机测量了班上15名学生的心率，统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数 2 5 5 1 2 则这15名学生的心率的中位数是（ ） A. 68次/分 B. 69次/分 C. 70次/分 D. 72．5次/分 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解，即可． 【详解】解：∵把这15个数据从小到大排列，位于第8个数据为70， ∴这15名学生心率的中位数是70次/分． 6. 如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另外两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可以画（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图所示，最多能画5个平行四边形， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将化成最简二次根式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 9. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法，通过移项，合并同类项，系数化为1，即可求出不等式的解集． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 10. 如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第①幅图有6个圆点，第②幅图有10个圆点，第③幅图有14个圆点，……，按照此规律，第⑩幅图中圆点的个数是______． 【答案】42 【解析】 【详解】解：第①幅图有个圆点， 第②幅图有个圆点， 第③幅图有个圆点， ……， 第幅图有个圆点， 则第⑩幅图中圆点的个数是． 11. 当时，函数（k为常数且）的最大值是7，则函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可判断函数的增减性，得到函数取最大值时对应的值，代入求出的值得到函数解析式，再根据增减性求出函数的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值是， ∴ ，解得， ∴，当时，取最小值，最小值为． 12. 如图，在中，，，，是边上一动点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，且点落在边上，连接．当是等腰三角形时，的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】先通过勾股定理求出，由旋转的性质可得，所以，然后分当时，当时，当时，三种情况求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 如图，当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，如图，过点作于点，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成各题 （1）计算：． （2）如图，，相交于点O，，，求证：． 【答案】（1） （2）证明：在和中， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数，零指数幂计算即可； （2）直接根据证明即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 略 14. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 15. 如图，和均为等边三角形，D是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作线段的中点P． （2）在图2中作菱形，点F在上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）延长，交于点P，根据等边三角形的性质可知，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （2）连接，延长，交于点P，连接，交于点，连接并延长，交于点，连接，根据等边三角形的三线合一及菱形的判定易得点即为所求． 【小问1详解】 解：如图1，点P即所求． 【小问2详解】 解：如图2，菱形即所求． 16. 某校根据自身特色开设了《擂茶》《传统编织》《红土地实践园》《家乡文化》四个校本课程，每人只能选择一门课程学习． （1）若随机从中任选一门课程，选到《家乡文化》的概率是______． （2）甲、乙两名同学各自随机从中任选一门课程，请用画树状图或列表的方法求他们两人选到同一课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，进而根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：随机从《擂茶》《传统编织》《红土地实践园》《家乡文化》四个校本课程任选一门课程，选到《家乡文化》的概率是； 【小问2详解】 解：《擂茶》《传统编织》《红土地实践园》《家乡文化》分别用A，B，C，D表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，两人选到同一课程的结果有4种， ∴两人选到同一课程的概率为． 17. 某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． （1）当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． （2）当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】（1）2550；2565 （2）当时，两种方案购买所需费用一样 【解析】 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； 【小问2详解】 解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． （1）求b，k的值． （2）C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数图象于点D，若，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把代入求出，再代入计算即可； （2）过点D作轴于点H，过点B作轴于点G，证明，可证，把代入中，得，可知点D的坐标． 【小问1详解】 解：把代入中，得， 解得． ∴． 把代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：如图，过点D作轴于点H，过点B作轴于点G． ∴， ∴， ∴． ∴． 把代入中，得， ∴． 19. 图1是九江市胜利碑，位于江西省九江市八里湖新区的胜利公园，将其抽象成如图2所示的示意图．数学兴趣小组想要测量胜利碑的高度，在建筑的楼顶D处测得胜利碑顶端B的仰角为，在C处测得胜利碑顶端B的仰角为，建筑D的仰角为，已知，图中所有点均在同一平面内，点A，C，G在同一条水平直线上，，． （1）填空：的度数为______，的度数为______． （2）求胜利碑的高．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）， （2）胜利碑的高约为 【解析】 【分析】（1）因为水平线是平行的，D处观测C的俯角与C处观测D处的仰角是相等的，所以；根据平角是，求出，再结合三角形内角和为，求出； （2）过点D作，垂足为M．设，已知高度，，求出，用含有x的代数式表示，，根据，求出x即可． 【小问1详解】 解： D处观测C处的俯角与C处观测D处的仰角是相等的， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：如图，过点D作，垂足为M．设， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ，解得． 答：胜利碑的高约为． 20. 为深化青少年家国情怀培育，某校开展了“时代有我，家国天下”系列主题活动，设计了A．主题演讲、B．丹青筑梦、C．逐梦科技、D．家国征文、E．时代剧演五种活动． 收集数据 活动结束后，随机抽取了部分七年级学生对“你最喜欢的活动”展开调查（每名学生只能选一项）． 数据处理 根据收集到的数据，绘制了下列统计图． 数据应用 （1）本次共抽取了______名学生，扇形统计图中，______． （2）请补全条形统计图． （3）若该校七年级共有1200名学生，请你估计最喜欢的活动为A．主题演讲的学生人数． （4）下图是小刚对该校八年级学生“你最喜欢的活动”调查得到的扇形统计图，小刚判断八年级喜欢E．时代剧演的学生人数多于七年级．你同意他的看法吗？请说明理由． 【答案】（1）120； （2）见解析 （3）七年级约有90名学生最喜欢的活动为A．主题演讲 （4）不同意，见解析 【解析】 【分析】（1）用C的人数除以百分比可知总数，进而用B的人数除以总数乘以可知的值； （2）求出D的人数，进而补全条形统计图即可； （3）用1200乘以最喜欢的活动为A．主题演讲的学生的比例即可； （4）不知道七、八年级的学生人数，所以不能从各自占比比较人数多少． 【小问1详解】 解：共抽取了名学生， ； 【小问2详解】 解：D的人数为（人） 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：（人）． 答：七年级约有90名学生最喜欢的活动为A．主题演讲； 【小问4详解】 解：不同意． 理由：因为不知道七、八年级的学生总人数，所以不能从各自占比比较人数多少． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的直径，点C，D分别在圆上，D是的中点，连接交于点F，点E在线段的延长线上，且． （1）求证：是的切线． （2）若，的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，过点C作于点M，则，由题意易得是等边三角形，然后可得．，进而根据割补法进行求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵D是的中点， ∴，即． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接，过点C作于点M，则，如图所示， ∵的半径为2， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴阴影部分的面积是． 22. 随着“江西省城市足球联赛”（简称“赣超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情．下图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员位于点O处起脚射门，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点O的水平距离x（单位：m）与离地高度y（单位：m）的部分数据如下表： 水平距离 … 6 9 12 15 … 离地高度 … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点O为坐标原点，直线为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度：______m． （2）求y关于x的函数解析式． （3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于该守门员的最大防守高度时，该守门员可防守成功．若守门员距离点O水平距离时，该守门员需要至少退后几米，才能防守成功？ 【答案】（1）4.8 （2） （3）守门员需要至少退后2米，才能防守成功 【解析】 【分析】（1）由表格分析求解即可； （2）设出顶点式，再代入即可求解； （3）把代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，时和时，相等， ∴抛物线关于直线对称， ∵抛物线的开口向下： ∴当时，最大，为； 【小问2详解】 解：由题意，设抛物线为． 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意，当时，， 解得或（舍去）， ， ∴守门员需要至少退后2米，才能防守成功． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图，在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“射影点”． 初步感知 （1）如图，在中，，于点，则点______（填“是”或“不是”）中边上的“射影点”． 尝试探究 （2）如图，已知在四边形中，对角线交于点，，若点是中边上的“射影点”，求证：． 迁移应用 （3）如图，在矩形中，为边上一动点，连接交对角线于点，当点恰好是中边上的“射影点”时． ①求证：点也是中边上的“射影点”． ②若，直接写出的长． 【答案】（1）是 （2）证明见解析 （3）①证明见解析；②或 【解析】 【分析】（）证明，可得，再根据“射影点”的定义即可判断求解； （）根据“射影点”的定义可得 ，又由得到，即得到，即可求证； （）①根据“射影点”的定义可得，又由可得，即得到，进而即可求证；②利用矩形的性质和勾股定理可得，过点作，垂足为，利用三角形的面积得 ，得到 ，设，则， ，由 ，可得，即得，解方程得到或，再利用解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是中边上的“射影点”， 故答案为：是； 【小问2详解】 证明：∵点是中边上的“射影点”， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①证明：∵点是中边上的“射影点”， ∴ ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴点也是中边上的“射影点”； ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， 如图，过点作，垂足为， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设，则，， 由①知， ， 又∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得 ， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴或， ∴解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2026年初中学业水平 数学冲刺（二） 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是最符合要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 通常把标准大气压下水结冰时的温度规定为，如果比水结冰时的温度高记作，那么比水结冰时的温度低应记作（ ） A. B. C. D. 2. 国家能源局发布的数据显示：截至2025年底，我国可再生能源总装机达到亿千瓦．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将如图所示的一段折线绕着过其两端点所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在等边三角形中，，，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是次/分．某班班主任随机测量了班上15名学生的心率，统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数 2 5 5 1 2 则这15名学生的心率的中位数是（ ） A. 68次/分 B. 69次/分 C. 70次/分 D. 72．5次/分 6. 如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另外两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可以画（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将化成最简二次根式为______． 8. 分解因式：___________． 9. 不等式的解集是______． 10. 如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第①幅图有6个圆点，第②幅图有10个圆点，第③幅图有14个圆点，……，按照此规律，第⑩幅图中圆点的个数是______． 11. 当时，函数（k为常数且）的最大值是7，则函数的最小值为______． 12. 如图，在中，，，，是边上一动点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，且点落在边上，连接．当是等腰三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成各题 （1）计算：． （2）如图，，相交于点O，，，求证：． 14. 化简：． 15. 如图，和均为等边三角形，D是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作线段的中点P． （2）在图2中作菱形，点F在上． 16. 某校根据自身特色开设了《擂茶》《传统编织》《红土地实践园》《家乡文化》四个校本课程，每人只能选择一门课程学习． （1）若随机从中任选一门课程，选到《家乡文化》的概率是______． （2）甲、乙两名同学各自随机从中任选一门课程，请用画树状图或列表的方法求他们两人选到同一课程的概率． 17. 某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． （1）当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． （2）当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． （1）求b，k的值． （2）C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数图象于点D，若，求点D的坐标． 19. 图1是九江市胜利碑，位于江西省九江市八里湖新区的胜利公园，将其抽象成如图2所示的示意图．数学兴趣小组想要测量胜利碑的高度，在建筑的楼顶D处测得胜利碑顶端B的仰角为，在C处测得胜利碑顶端B的仰角为，建筑D的仰角为，已知，图中所有点均在同一平面内，点A，C，G在同一条水平直线上，，． （1）填空：的度数为______，的度数为______． （2）求胜利碑的高．（结果精确到，参考数据：，，，） 20. 为深化青少年家国情怀培育，某校开展了“时代有我，家国天下”系列主题活动，设计了A．主题演讲、B．丹青筑梦、C．逐梦科技、D．家国征文、E．时代剧演五种活动． 收集数据 活动结束后，随机抽取了部分七年级学生对“你最喜欢的活动”展开调查（每名学生只能选一项）． 数据处理 根据收集到的数据，绘制了下列统计图． 数据应用 （1）本次共抽取了______名学生，扇形统计图中，______． （2）请补全条形统计图． （3）若该校七年级共有1200名学生，请你估计最喜欢的活动为A．主题演讲的学生人数． （4）下图是小刚对该校八年级学生“你最喜欢的活动”调查得到的扇形统计图，小刚判断八年级喜欢E．时代剧演的学生人数多于七年级．你同意他的看法吗？请说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的直径，点C，D分别在圆上，D是的中点，连接交于点F，点E在线段的延长线上，且． （1）求证：是的切线． （2）若，的半径为2，求图中阴影部分的面积． 22. 随着“江西省城市足球联赛”（简称“赣超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情．下图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员位于点O处起脚射门，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点O的水平距离x（单位：m）与离地高度y（单位：m）的部分数据如下表： 水平距离 … 6 9 12 15 … 离地高度 … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点O为坐标原点，直线为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度：______m． （2）求y关于x的函数解析式． （3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于该守门员的最大防守高度时，该守门员可防守成功．若守门员距离点O水平距离时，该守门员需要至少退后几米，才能防守成功？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图，在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“射影点”． 初步感知 （1）如图，在中，，于点，则点______（填“是”或“不是”）中边上的“射影点”． 尝试探究 （2）如图，已知在四边形中，对角线交于点，，若点是中边上的“射影点”，求证：． 迁移应用 （3）如图，在矩形中，为边上一动点，连接交对角线于点，当点恰好是中边上的“射影点”时． ①求证：点也是中边上的“射影点”． ②若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $