湖南株洲市第二中学2026届高三全真模拟考试数学试题

株洲市二中2026届高三年级全真模拟考试试卷 数学试题 命（审）题人：吴兴文，吴海燕，何小燕，吴娟 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 设集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 27 B. 36 C. 45 D. 72 4. 点声源亦称“球面声源”或“简单声源”．已知点声源在空间中传播时，衰减量L（单位：dB）与传播距离r（单位：m）的关系式为，其中k为常数．当传播距离由15m增加到90m时，衰减量的增量约为（ ）（参考数据：，） A. 8dB B. 12dB C. 16dB D. 18dB 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，P为C上的动点，Q为圆上的动点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若存在，使得对恒成立，则实数b的范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 株洲市生态环境局记录了5月日连续7天的预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：），如下表： 日期 21 22 23 24 25 26 27 预测误差 2 0 3 2 2 则以下结论正确的是（ ） A. 这组数据的众数是2 B. 这组数据的中位数是 C. 若第8天的预测误差为2，则加入该数据后的平均数变大 D. 若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的方差变小 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 三棱锥的体积最大值为1 C. 若为中点时，则点到直线的距离为 D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度为 11. 已知数列满足，，则下列正确的有（ ） A. 任意， B. 任意，都有 C. 存在， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，则与的夹角为______． 13. 若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 14. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有______种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． （1）求AD长； （2）若，求的面积． 16. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且． （1）若是的中点，求证：平面平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 17. 为了测试某AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与该AI象棋软件进行比赛．比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与该AI象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响．已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，． （1）设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件M，象棋大师甲得2分为事件N，求； （2）由于该AI象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行4局，且当两位象棋大师的总得分与该AI象棋软件的得分相差2分时比赛结束．设比赛结束时共进行了X局，求X的分布列及数学期望． 18. 已知椭圆：过点，其左焦点为，右顶点为，． （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于，两点，若，求实数的取值范围； （3）已知点为直线上的一个动点，过点的直线与椭圆相切于点（异于点），求证：平分． 19. 已知 ，． （1）讨论的单调性； （2）当时， ，若函数在定义域内存在极小值点，且满足，求实数的取值范围； （3）若在定义域内有两个不同的根，， 证明：． 株洲市二中2026届高三年级全真模拟考试试卷 数学试题 命（审）题人：吴兴文，吴海燕，何小燕，吴娟 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】72 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：由题意以为坐标原点，分别为轴，过点平行于的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 在正三棱柱中，由，是的中点， 则， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 因为 ，所以， 所以平面平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）分布列为 1 2 3 4 . 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明：设，，则过点的切线方程为， 又切线过点，则，即. 设过点的切线与轴交于点. 要证平分，只需证，即， 也即 ，即证. 又，， ， 又，所以， 则， 所以， 因此平分. 【19题答案】 【答案】（1）当时，在R上单调递增；当时，在 上单调递减，在 上单调递增. （2） （3）由在定义域内有两个不同的根，可得， 即方程 有两个不同的实根 ,不妨设， 设，则, 当时，， 即在上单调递增，此时 ， ， 令，则，那么 当 时，由于在上单调递增，故 ; 当 时，由于在上单调递增，故, 令，那么 根据和差化积公式，，得 设令，则， ， , 由于 , 所以， , 所以，在上单调递增， ， 故当即时，即， 所以，，即 又，故 又 ，在上单调递增， 所以，即 证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $