精品解析：湖南省株洲市九方中学2025届高三第三次模拟考试数学试题

2025届高三年级第三次模拟考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线与双曲线的离心率相同，则（ ） A B. 2 C. D. 8 3. 已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 4. 为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（ ） A. 3.2 B. 5 C. 5.04 D. 15.7 5. 已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（ ） A. 15 B. 19 C. 21 D. 23 6. 已知函数（，）的最大值为，最小正周期为，若函数在区间（）上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，其中，则下列关于的说法正确的是（ ） A. 当时，有个零点 B. 若在上单调递减，则的取值范围是 C. 当时，在上有最小值 D. 若有两个极值点，（），则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的值域为，且，则________. 13. 蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形构成，，设，则上顶的面积为______.（参考数据：） 14. 已知外接圆的半径为2，是的面积，分别是三个内角的对边，若不等式恒成立，则的最大值为_____；点为外接圆上的任意一点，当取得最大值时，的取值范围是_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校开设农耕劳动教育课，共设置了两类课程：农作物种植和田间管理，学校对选择这两类课程的学生人数进行了统计，数据记录在如下表格. 男生 女生 农作物种植课程 160 80 田间管理课程 40 120 （1）根据小概率值独立性检验，判断男生和女生在选择课程的偏好上是否有差异. （2）选择农作物种植课程的学生被分为6个小组，各小组种植的农作物存活率分别为，，，，，.学校为了解存活率的偏差情况，需计算偏差系数w，其值越大，对大偏差数据的体现越明显.现给出两种计算偏差系数的方式：①，②，请比较哪一种方式对大偏差数据的体现更明显. 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6635 10.828 16. 平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 17. 已知复数，在复平面内对应点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是的外心. （1）求. （2）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （i）证明：是直角三角形； （ii）求的面积. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，. （1）求椭圆的方程. （2）若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值. （3）在（2）的条件下求四边形的面积的取值范围. 19. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）对于函数，规定：，叫做函数的阶导数.若对任意恒成立，求满足条件的正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三年级第三次模拟考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而利用交集的意义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 已知双曲线与双曲线的离心率相同，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求得双曲线和双曲线的离心率，再根据其离心率相同求解. 【详解】解：因为双曲线， 所以，则，， 又双曲线， 所以，则， 因为双曲线与双曲线的离心率相同， 所以，解得，则， 故选：A 3. 已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令导函数为可得方程，由极值点为方程的根可得，再由等差数列性质可得. 【详解】由得，， 令，得，且不是该方程的根.易知判别式大于0， 因为为函数的两个极值点， 是方程的两正根，由韦达定理可得， ，因为为等差数列，所以. 故选：B. 4. 为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（ ） A. 3.2 B. 5 C. 5.04 D. 15.7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出用水量的15.4%分位数，即可得. 【详解】由题意及，则，可得吨. 故选：A 5. 已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（ ） A. 15 B. 19 C. 21 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类列举法，即可求解. 【详解】第一种情况，5个小球只包含1种颜色，有3种情况； 第二种情况，5个小球包含2种颜色，两种颜色的球的个数组合为或， 所以包含2种颜色的取法种数有； 第三种情况，5个小球包含3种颜色，3种颜色的球的个数组合为或， 所以包含3种颜色的取法种数有. 所以共有种方法. 故选：C 6. 已知函数（，）的最大值为，最小正周期为，若函数在区间（）上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用二倍角和辅助角公式化简，得到，结合周期得到，结合最大值得到.根据零点个数得解即可. 【详解】由题可知，， ∵，∴， 又∵函数的最大值为，∴. ∴，∵，∴， 又∵在区间（）上有且仅有1个零点， 又时，，或，，∴， ∴，∴. 故选：A. 7. 已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱与圆锥的底面半径分别为，母线长分别为，高均为，由题意可得，化简即可得出答案. 【详解】设圆柱与圆锥的底面半径分别为，母线长分别为，高均为， 由题意可得：，即， 化简可得：， 故选：A. 8. 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数及的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得. 【详解】依题意，由，得，则函数的图象关于点对称， 令，则， 因此函数的图象关于点对称，显然函数与的图象对称中心相同， 则函数与的图象的交点关于点对称， 不妨令点与关于点对称， 则，， 所以. 故选：C 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用作差法判断A；举例说明判断BD；利用不等式性质判断C. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得，则，因此，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误． 故选：AC 10. 某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据所给空间几何体的形状，逐项判断即可. 【详解】根据所给空间几何体的形状， 可得空间几何体利用现在放置方式能通过C，现在放置方式由在向物体后方旋转90度可通过B， 由现在位置向右旋转90度再向后方旋转180度可通过A， 以任何方式均不能通过D. 故选：ABC. 11. 已知函数，其中，则下列关于的说法正确的是（ ） A. 当时，有个零点 B. 若在上单调递减，则的取值范围是 C. 当时，在上有最小值 D. 若有两个极值点，（），则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于该分段函数需分别对不同区间内函数的单调性，极值，零点等性质进行分析，通过求导来判断确定函数特性，进而判断各选项正确性. 【详解】 对于：当时，；当时，，，因为，所以；故在上单调递减，且，所以是的一个零点；当时，，，令，解得，即在上单调递增，在上单调递减；则，所以是的一个零点，故当时，有两个零点，故A正确． 对于：当时，，则，依题意，当时，恒成立，即恒成立，又，所以，所以，故B正确． 对于：当时，，当时，，，令，得．当时，，f(x)在上单调递减；当时，，f(x)在上单调递增，所以f(x)在处取得极小值，也是在上的最小值，且，故C错误． 对于：，当时，，，当时，，，依题意，f(x)有两个极值点，（），则（），（），即，则，，因为，所以，又f(x)有两个极值点，所以，所以，所以（），令，则当时，，所以在上单调递减，则，即，故D正确． 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的值域为，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求解. 【详解】由指数函数的性质可知， 若，则，为常数，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则， 因为函数的值域为，则， 又，则，解得， 所以. 故答案为：. 13. 蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形构成，，设，则上顶的面积为______.（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解. 【详解】依题意，由，得， 在菱形中，连接并取其中点，连接，则， 由正六边形的边长，得， 由蜂巢结构特征知，，又都垂直于平面，则， 于是四边形是平行四边形，有，则， 因此一个菱形的面积为， 所以上顶的面积为. 故答案为： 14. 已知外接圆的半径为2，是的面积，分别是三个内角的对边，若不等式恒成立，则的最大值为_____；点为外接圆上的任意一点，当取得最大值时，的取值范围是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由恒成立转化为，再利用余弦定理及面积公式证明，然后转化向量数量积为，由圆上动点到距离范围可得. 【详解】由题意要使不等式恒成立， 则， 由外接圆半径为，可知当为等边三角形时，， 且，则有. 下面证明对于任意的三角形都有. 证明过程如下： 由余弦定理与， 则 ，即. 当且时等号成立，即为等边三角形时等号成立， 故. 所以，当取得最大值，为等边三角形. 如图所示，取AB的中点D，且， 则有， 由图可得， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校开设农耕劳动教育课，共设置了两类课程：农作物种植和田间管理，学校对选择这两类课程的学生人数进行了统计，数据记录在如下表格. 男生 女生 农作物种植课程 160 80 田间管理课程 40 120 （1）根据小概率值的独立性检验，判断男生和女生在选择课程的偏好上是否有差异. （2）选择农作物种植课程的学生被分为6个小组，各小组种植的农作物存活率分别为，，，，，.学校为了解存活率的偏差情况，需计算偏差系数w，其值越大，对大偏差数据的体现越明显.现给出两种计算偏差系数的方式：①，②，请比较哪一种方式对大偏差数据的体现更明显. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有 （2）方式② 【解析】 【分析】（1）根据公式求出卡方，结合表格即可判断； （2）根据公式分别求出、，即可判断. 【小问1详解】 由已知得， ，依据小概率值独立性检验， 可以判定男生和女生在选择课程的偏好上有差异； 【小问2详解】 ， 根据①：. 根据②：. ，，，， 方式②对大偏差数据的体现更明显. 16. 平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题设条件列出方程，化简即得曲线的方程； （2）依题设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于半径推出，再由直线与椭圆方程联立消元，写出韦达定理，计算弦长和点到直线的距离，表示出面积，利用换元和基本不等式即可求得面积最大值. 【小问1详解】 设到定直线的距离为， 依题意，可得，化简得， 即曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率不可能是0，不妨设其方程为：， 则圆的圆心到直线的距离，即 ① 由消去，可得， 由，可得， 设，则， 则 ， 将①式代入，化简得：， 因点到直线的距离为， 则的面积为， 设，则，， 因，当且仅当时取等号， 此时， 的面积的最大值为. 17. 已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是的外心. （1）求. （2）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （i）证明：是直角三角形； （ii）求的面积. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用外心性质建立等式，根据复数模的性质转化等式，得到，将其变形为方程. 结合点A位置求解方程：已知A在第一象限，说明对应的点非原点，即，从而求解方程得到.  （2）（i）对已知等式进行变形：对，先根据完全平方公式展开左边，再根据三角函数半角公式对右边进行化简，得到. 结合余弦定理，得出. 根据勾股定理逆定理判断形状即可； （ii）用复数实部虚部表示点坐标：设，根据共轭复数和复数平方的运算求出和，根据垂直关系确定的值，结合的值确定的值从而得到、、三点具体坐标. 计算三角形边长并求面积. 【小问1详解】 是的外心，即， . 只需考虑，即， 又在第一象限，，. 【小问2详解】 （i）， ， 由余弦定理知，两式相加可得， ，是直角三角形. （ii）设，，则，， 可知，，. 易知AB与复平面的实轴垂直，又， 与复平面的虚轴垂直，，， 又，点A在第一象限，. ，，，，， 面积为. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，. （1）求椭圆的方程. （2）若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值. （3）在（2）的条件下求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆长轴以及即可得椭圆方程； （2）找出点关于原点的对称点，利用对称性联立直线和椭圆方程整理表达式可得结果； （3）将四边形面积等价转化为三角形面积，求得面积表达式利用基本不等式计算可得结果. 【小问1详解】 由长轴长为，可得，. 又，∴. 椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，，， 则关于原点对称点，即， 由，， ∴，，三点共线， 又，. . 设代入椭圆方程得，，，. ， ， . 【小问3详解】 四边形为梯形， 令，则，（） （当即时等号成立）. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平行关系充分利用对称性，将四边形面积转化为三角形面积，得出面积表达式再利用基本不等式求得面积取值范围. 19. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）对于函数，规定：，叫做函数的阶导数.若对任意恒成立，求满足条件的正整数的最小值. 【答案】（1）答案见详解 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数几何意义可得，进而利用导数求单调区间； （2）构建，可知对任意恒成立，注意到，可得，，并代入检验充分性； （3）可设，根据求导法则结合数列知识可得，，分析可知对任意恒成立，结合二次函数运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：函数的定义域为，则， 若函数在处的切线与直线垂直， 则，解得，所以， 令，则，解得或； 令，则，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 构建，则， 由题意可知：对任意恒成立，且， 则，解得， 若，则， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即对任意恒成立， 且对任意恒成立， 可知对任意恒成立，所以符合题意； 综上所述：. 【小问3详解】 由（1）可知：， 根据求导法则可设，其中， 则， 则 可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列，则， 对于，则， 当时， ， 且符合上式，所以， 则， 若对任意恒成立， 则对任意恒成立， 且的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，则，解得， 所以满足条件的正整数的最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$