二次函数中的面积问题、角度问题、相似问题专项训练-2026年中考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以面积、角度、相似三大模块构建动态问题训练体系，强化代数表达与几何推理的融合 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数中的面积问题|6题（3例+3变式）|涉及面积最值、距离计算及动态点面积关系|以二次函数解析式求解为基础，结合面积公式（铅垂高法等）实现动态面积的代数化表达，培养几何直观| |二次函数中的角度问题|6题（3例+3变式）|包含角平分线、锐角三角形判定及角相等存在性|通过二次函数上点的坐标特征，运用角度关系（三角函数、全等）转化为方程求解，发展推理能力| |二次函数中的相似问题|6题（3例+3变式）|涵盖相似三角形存在性、面积比及动态相似判定|依托二次函数图像性质，结合相似判定定理构建比例关系，提升应用意识与模型观念|

二次函数中的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 二次函数中的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 考点目录 二次函数中的面积问题 二次函数中的角度问题 二次函数中的相似问题 考点一 二次函数中的面积问题 例1．（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点，点为直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，当时，求的长． (3)连接，． ①如图，当的面积最大时，求点的坐标； ②如图，连接，在①的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 例2．（2026·湖北恩施·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离． (3)如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 例3．（2026·山东济南·二模）抛物线（m为常数，）交轴于A，B两点（点在点的左侧），交轴于点，点为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴，垂足为点，交线段于点． (1)如图1，若点的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及其顶点坐标； ②设点到直线的距离为，点到直线的距离为，，求出的最大值； (2)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与轴交于点，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出的值． 变式1．（2026·山东菏泽·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线沿x轴正方向平移m个单位（），得到新的抛物线，其顶点为P．若点P在直线上，求m的值及抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若点Q为直线上方的抛物线上一个动点，当的面积最大时，求点Q的坐标． 变式2．（2026·四川成都·二模）如图，抛物线，是常数的顶点为，与轴交于，两点，，，点为线段上的动点且不与点，重合，过点作交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求面积的最大值，并求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下过点的直线与抛物线交于，两点，求面积的最小值． 变式3．（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 考点二 二次函数中的角度问题 例1．（2026·山东济南·二模）如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 例2．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 例3．（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2025·江苏徐州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E， ①求面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且．连接，过点A作，交抛物线与点D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴交直线于点M，过点M 作于点N，连接．当的面积最大时，将线段沿直线平移，求平移过程中的最小值； (3)如图2，E是线段的中点，将原抛物线沿方向平移，使得经过点E得到新抛物线．Q为新抛物线上的一点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解其中一个点Q坐标的过程． 变式3．（2025·山东济宁·二模）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 考点三 二次函数中的相似问题 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为、，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与y轴交于点M，其对称轴与x轴交于点N，点P为对称轴上一动点，点Q为抛物线对称轴右侧一点，且在x轴上方，轴，当与相似时，求点Q的横坐标 例2．（2026·山东烟台·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过、两点的抛物线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的函数关系式； (2)求抛物线的函数关系式； (3)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，作于点，设的长为，点的横坐标为，求的最大值，及取得最大值时点的坐标． 变式1．（2025·陕西·模拟预测）已知在平面直角坐标系中二次函数与轴交于点，，与轴交于点，且． (1)试求抛物线解析式及点，的坐标； (2)连接，若在轴上有一动点，在轴右侧，轴上方的抛物线上有一动点，连接，，试问是否存在符合题意的点，，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合题意的点坐标，以及对应的点坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线经过点，，与轴的交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一点，且位于第一象限，过点分别作对称轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接．若和相似，求点的坐标． 变式3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作轴于点N，交直线于点P． (1)求线段的长； (2)若，求点M的坐标； (3)若点M在直线下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数中的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 二次函数中的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 考点目录 二次函数中的面积问题 二次函数中的角度问题 二次函数中的相似问题 考点一 二次函数中的面积问题 例1．（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点，点为直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，当时，求的长． (3)连接，． ①如图，当的面积最大时，求点的坐标； ②如图，连接，在①的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为， (2) (3)①点的坐标为；②的最小值为 【分析】（1）利用二次函数的待定系数法求解即可； （2）先求出点，直线的解析式为，推导出，得到，，则，即可解答； （3）①直线的关系式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，求出，利用求出面积，再利用二次函数图象的性质求解即可； ②作点关于直线的对称点，求出点的坐标，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长，过点作轴，交直线于点，求出直线的表达式，则可得点的坐标，再利用，求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 点， 点是点关于轴的对称点， 点， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， 直线的解析式为； ∵，， ∴， 将代入，得 ， ∴， 将代入，得 ， ∴， ∴； （3）解：①如图，过点作轴于点，交于点， 由题设点的坐标为， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时， 则最大值为，此时点的坐标为； ②抛物线的对称轴为直线， 作点关于直线的对称点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 如图，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点， 此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长， 如图，过点作轴，交直线于点， ∵， ∴设直线的表达式为， 把代入，得 ， ∴， ∴直线的表达式为， 则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 例2．（2026·湖北恩施·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离． (3)如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)①； ②或； 【分析】（1）利用已知点和点坐标，直接代入抛物线的一般式，通过二元一次方程组求解未知系数和，得到完整解析式； （2）先通过抛物线与轴交点条件求出点坐标，再根据轴性质得到点纵坐标，代入抛物线求点坐标；求出直线解析式之后，利用直线得到夹角的几何特征，通过等腰直角三角形的边长关系计算点到直线的距离，避免复杂的点到直线公式运算； （3）①利用轴的性质，直接用横坐标表示点坐标，将面积转化为以为底，为高的直角三角形面积；分两种情况讨论：点在点左侧（）时点在轴上方，点在点右侧（）时点在轴下方，分别计算长度，得到分段面积函数； ②分别代入两段面积函数解不等式：时，二次函数开口向下，最大值为2，因此恒成立，只需的不等式得到对应区间；时，二次函数开口向上，同时解和两个不等式，取符合的公共区间，最后合并两个区间得到最终结果． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于点，， 将点坐标代入抛物线解析式中，可得方程组，解得， 抛物线解析式为． （2）解：抛物线对称轴为直线，且轴，点坐标为，点与点关于直线对称， ，， 令，即， ，解得，， ， 设直线解析式为，代入点， ， 解得， 直线解析式为， 过点作于点， ，  ， ，为等腰直角三角形： ， 点到直线距离为． （3）解：①点横坐标为，且在轴正半轴， 因此，且， 轴，交直线于点，可得， 线段长度为， 当时，点在轴上方，长度为， ， 当时，点在轴下方，长度为， ， 因此关于的函数解析式为： ②当时， 当时， 由， 得， ， 解得，，结合，得 ； 由， ， ， 解得，为任意数， 两部分取公共部分：； 当时， 由得， ， 解得，或； 由， ， ； 取两者公共部分：， 综上，的取值范围是或． 例3．（2026·山东济南·二模）抛物线（m为常数，）交轴于A，B两点（点在点的左侧），交轴于点，点为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴，垂足为点，交线段于点． (1)如图1，若点的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及其顶点坐标； ②设点到直线的距离为，点到直线的距离为，，求出的最大值； (2)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与轴交于点，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出的值． 【答案】(1)①，；②的最大值为 (2)3 【分析】（1）①将代入，求出，即可求出抛物线的函数解析式及其顶点坐标；②先求出直线的解析式为，得出、都是等腰直角三角形，进而得出，，设，则，所以，即可求出的最大值； （2）由将抛物线绕点旋转，得到抛物线，可根据抛物线，求出抛物线解析式为，进而求出，，，，可判断出四边形是平行四边形，最后根据，即可求出的值． 【详解】（1）解：①将代入，得：，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； ②∵抛物线的函数解析式为， ∴令，得，解得：或， ∵点在点的左侧 ∴，， 设直线的解析式为，将，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 分别过点作的垂线，垂足为，如图所示： ∵，，即， ∴， ∴， ∴、都是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线顶点坐标为， 令，得， ∴， ∵将抛物线绕点旋转，得到抛物线， ∴抛物线顶点坐标为， ∵将抛物线绕点旋转得到抛物线，改变了开口方向，但不会改变形状， ∴抛物线解析式为， 令，得， ∴， 令，即， 解得：或， 当时，；当时，； ∵点在轴左侧，点在轴右侧， ∴，， ∵，，，， ∴关于原点中心对称，也关于原点中心对称，即三点共线，三点共线，且，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，解得：． 变式1．（2026·山东菏泽·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线沿x轴正方向平移m个单位（），得到新的抛物线，其顶点为P．若点P在直线上，求m的值及抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若点Q为直线上方的抛物线上一个动点，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）把点代入，可得：，结合对称轴，再进一步求解即可． （2）根据平移，所以点P的纵坐标为4，可得，进一步求解即可． （3）先求解，，，直线的解析式为，过点Q作轴，交于点H，设，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得：， ∵对称轴 ∴，， ∴． （2）解：的顶点坐标为， ∵抛物线沿x轴正方向平移m个单位，得到新的抛物线，其顶点为P， ∴点P的纵坐标为4， ∵P在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴平移距离为：． 的解析式为． （3）解：∵， 当，， 当，则， 解得：或， ∴，，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，过点Q作轴，交于点H， 设，则， ， ∴当时，面积最大， ∴． 变式2．（2026·四川成都·二模）如图，抛物线，是常数的顶点为，与轴交于，两点，，，点为线段上的动点且不与点，重合，过点作交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求面积的最大值，并求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下过点的直线与抛物线交于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时 (3)面积最小值为 【分析】（1）用待定系数法将，的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式； （2）分别求出点坐标，直线，的解析式，的解析式为：，进而求出，的坐标以及的取值范围，由列出函数式求解即可； （3）由（2）可得，设直线的解析式为，，联立直线和抛物线解析式，得出，根据得出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：点，， 点的坐标为， 将点，代入函数解析式中得： ， 解得：，， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 则点坐标为：， 由， 设直线的解析式为 解得： 直线的解析式为：， 由， 设直线的解析式为 解得： 直线的解析式为：， ， 设直线的解析式为：，与轴交点， 由解得：， 在线段上， ， 的取值范围为， 则 当时，即时，最大，最大值为． （3）由（2）可得， 如图，设直线的解析式为， 设 ∴ 联立 即 ∴ ∴ ∴当时，的最小值为 ∴面积最小值为 变式3．（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）可证明，则为定值，则可证明当有最大值时，有最大值；根据，推出，仿照（2）求出取得最大值时点E的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 同理可得直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 考点二 二次函数中的角度问题 例1．（2026·山东济南·二模）如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②时为锐角三角形 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）①连接，交于，根据二次函数解析式求出，进而求出，根据平分，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立直线与二次函数的解析式求出点坐标即可； ②设的中点为，连接，当时，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，利用两点间距离公式列方程求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：将、代入， ∴， 解得：， ∴． （2）解：①如图，连接，交于， 由（1）可知，， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∵，， ∴，， ∴，是等腰三角形， ∵平分， ∴，即为的中点， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． ②设的中点为，连接， ∵，， ∴， ∵点C的横坐标为， ∴， 当时，， ∴， 解得：或， ∴时，为锐角三角形． 例2．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再由C点坐标求出c的值即可求解； （2）设对称轴与直线的交点为M，连接，推导出，求出，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵与y轴相交于点， ∴， ∴； （2）解：设对称轴与直线的交点为M，连接，则， 当时，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴． 例3．（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得的长，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据正切函数，可得，根据相似三角形的性质，可得，，根据待定系数法，可得的解析式，根据解方程组，可得答案． 【详解】（1）由题意，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）设直线的解析式为， 则 解得， 直线的解析式为， 设，， 过点D作轴交于M点，如图1， 则， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值是； （3）存在． 假设存在这样的点D，中有一个角与相等， 点F为的中点， ，， 过点B作，交的延长线于G点，过点G作轴，垂足为H，如图2， ①若， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得 直线的解析式为， 联立， 解得，或（舍）， ②若， 同理可得，，， ， 同理可得，直线的解析式为， ， 解得或（舍）， 综上所述，存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为． 变式1．（2025·江苏徐州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E， ①求面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①面积的最大值为3，此时；②存在， 【分析】本题是一道函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质，二元一次方程组的解法，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数相关知识是解题的关键． （1）根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）①本题要通过求的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求的面积的最大值以及对应的P的坐标．的面积无法直接表示出，可用和的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出的长，可通过相似三角形和求出，然后根据二次函数最值即可求出所求的值； ②根据题意易得，然后根据相似比例求出的值，进而求出P的坐标和解析式，再与二次函数解析式联立求出Q的坐标． 【详解】（1）解：， ， 将代入， 解这个方程组，得， ∴此抛物线的解析式：； （2）①设，则 ， ， ， ， ∴当时，面积的最大值为3，此时； ②存在，．理由如下： ， ， ， ， ， 解析式为， 联立 解得（不合题意，舍去），， ． 变式2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且．连接，过点A作，交抛物线与点D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴交直线于点M，过点M 作于点N，连接．当的面积最大时，将线段沿直线平移，求平移过程中的最小值； (3)如图2，E是线段的中点，将原抛物线沿方向平移，使得经过点E得到新抛物线．Q为新抛物线上的一点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解其中一个点Q坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，得，于是，，得到，，待定系数法解答即可． （2）设点的坐标为，则点．由此得到 ，过点N作交的延长线于点R， 根据解答即可求出点P的坐标，将点P沿方向平移平移个单位长度，得到，做点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质，即可解答． （3）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位即可得到新抛物线，分平行互补和一般互补两种情况，利用构造直角三角形的正切解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且． ∴， ∴，， ∴，， ∴是方程得两个根， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 设直线的解析式为． 将点和点代入，得 解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点． ， ∵， ∴， ∵， ∴，， 设直线的解析式为． 将点代入，得 解得， 直线的解析式为． 过点B作于点Q， 则， ∵，，， ∴，是定值， 过点N作交的延长线于点R， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，面积有最大值，此时，． 将点P沿方向平移平移个单位长度，得到， 则， 做点关于直线的对称点， 则， 连接， ∴， 当点、M、P三点共线时，． （3）解：∵抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且． ∴， ∴，， ∴，， ∵E是线段的中点， ∴， 故将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位即可得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 由， 当时， ∵，， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为． ∵， ∴， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为． 根据题意，得， 解得，（舍去）， 此时； 当不平行线时， 过点E作轴，交y轴于点J，过点B作于点V， 则，四边形时矩形， ∴，， 在上截取，连接，则， 设直线与y轴的交点为K，则， 故， 故， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 此时， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为． 根据题意，得， 解得，（舍去）， 此时； 综上所述，符合条件的点或． 变式3．（2025·山东济宁·二模）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解； （1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，即可求解； ②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得：， 解得：， 该抛物线的表达式为：①； （2）解：①令，得， 解得：，， 点， 设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为②， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ， ， ， 有最大值，当时，其最大值为，此时； ②， 顶点， 设直线与交于点， 当点在直线下方时， ， 点在的中垂线上， 线段的中点坐标为，过该点与垂直的直线的值为， 设中垂线的表达式为：，将点代入上式得， 解得：， 直线中垂线的表达式为：③， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：④， 联立③④得：， 解得：， 点， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为：⑤， 联立①⑤得， 解得：，（舍去）， 故点； 当点在直线上方时， ， ， 则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：， 即直线的表达式为：⑥， 联立①⑥并解得：或（舍去， 故点； 综上所述，点的坐标为或． 考点三 二次函数中的相似问题 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为、，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与y轴交于点M，其对称轴与x轴交于点N，点P为对称轴上一动点，点Q为抛物线对称轴右侧一点，且在x轴上方，轴，当与相似时，求点Q的横坐标 【答案】(1) (2)点Q的横坐标是5或 【分析】（1）根据对称性得到抛物线交y轴于点，与 x轴的交点为、，待定系数法进行求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的交点为、， ∴当时，， ∴抛物线交y轴于点， ∵抛物线与抛物线关于x轴对称， ∴抛物线交y轴于点，与 x轴的交点为、，     设抛物线，将代入得， 解得：，           ∴抛物线；     （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是， ∴点，，则，， ∵轴， ∴ 设，则，， 情况①：当时， ∴， 解得（舍），，           情况②：当时，， ∴ 解得（舍），； ∴综上所述，点Q的横坐标是5或. 例2．（2026·山东烟台·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将抛物线与x轴、y轴交点坐标，代入抛物线表达式，即可求出； （2）先求出两直线的表达式，联立求出点Q的坐标，分的两部分以为底，则高相等，两部分面积比等于底边之比；过点P、点Q向x轴做垂线，将面积之比转换成，横坐标差值比；再将面积比分两种情况，分别求出点P坐标； （3）在y轴上取点，，所以，当N在y轴正半轴时，点N在上，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴负半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得，， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 、所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图，     ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 例3．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过、两点的抛物线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的函数关系式； (2)求抛物线的函数关系式； (3)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，作于点，设的长为，点的横坐标为，求的最大值，及取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2)抛物线的函数关系式为 (3)的最大值为，当取得最大值时，点的坐标为 【分析】（1）由一次函数和抛物线的图象都与轴交于点，则由抛物线解析式求出点的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）由一次函数求出点的坐标，再由可得点的坐标，把点，的坐标代入抛物线解析式即可求解； （3）过点作于点，交于点，由点的横坐标为，可得点，的坐标，可得，再证明，则，可得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点， ∴当时，，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， ∴点， ∵，且点在轴负半轴上， ∴，即点， ∵抛物线过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系式为． （3）解：如图，过点作于点，交于点， ∵点的横坐标为， ∴点，． ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，代入，得， ∴的最大值为，当取得最大值时，点的坐标为． 变式1．（2025·陕西·模拟预测）已知在平面直角坐标系中二次函数与轴交于点，，与轴交于点，且． (1)试求抛物线解析式及点，的坐标； (2)连接，若在轴上有一动点，在轴右侧，轴上方的抛物线上有一动点，连接，，试问是否存在符合题意的点，，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合题意的点坐标，以及对应的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，，； (2)所有符合题意的点坐标为，对应的点坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，，解得，，则，，当时，，通过，求出的值即可； （）分当时，则时，当时，则时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，当时，则时，， ∴轴， 设， ∴， ∴，， 由（）得，， ∴，解得：， 经检验是原方程的解， ∴，； 如图，当时，则时，，过作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：所有符合题意的点坐标为，对应的点坐标为或． 变式2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线经过点，，与轴的交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一点，且位于第一象限，过点分别作对称轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接．若和相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键； （1）把，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，且，分两种情况讨论，①，②，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设，且， ∴， ∵， ∴若和相似，分两种情况， ①， ∴即， ∴， 解得：或（舍去） ∴， ∴， ②， ∴∴即， ∴， 解得：或（舍去） ∴， ∴， 综上所述，或．    变式3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作轴于点N，交直线于点P． (1)求线段的长； (2)若，求点M的坐标； (3)若点M在直线下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 (3)存在，点M的坐标为或 【分析】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． （1）根据题意确定，，即可求出线段的长度； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 解得，． 点A在点B的左侧， ，， ． （2）令，得， ． 设直线的解析式为 把点，代入， 得， 解得 直线的解析式为． 轴， 设，则， ， ， 或， 解得，（舍去），，（舍去）． 点M的坐标为或． （3）轴， 设，且，则，， ，，． 和相似，且， 或． 当时，，且， ，即， 解得（舍去），， ； 当时，如图，过点M作轴于点D， 则， ， ，， ，解得（舍去），， 综上，当以点M，P，C为顶点的三角形与相似时，点M的坐标 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