2026年中考数学三轮冲刺16：二次函数中求线段、线段和、面积等最值问题（全国通用）

**基本信息** 聚焦二次函数最值核心模块，构建“坐标转化-模型识别-函数求解”三阶方法体系，覆盖中考高频考点与动态综合题型，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单线段最值|河南周口一模|坐标差/距离公式→二次函数最值|解析式确定→点坐标表示→线段量化→函数求最值| |线段和差最值|山东淄博一模|将军饮马/胡不归/阿氏圆模型|对称转化/比例构造→化折为直→几何性质应用| |三角形面积最值|江苏苏州一模|底高法/铅锤法→面积函数|定底动高→坐标差表高→面积公式转化| |四边形面积最值|江苏连云港模拟|分割转化/坐标公式法|图形拆分→面积和差→单变量函数构建| |周长最值|江苏苏州一模|定线段+动线段和→模型转化|周长拆分→动线段化归→将军饮马应用| |综合最值|山东淄博一模|几何性质+函数建模|函数与几何图形性质融合→分类讨论定义域|

■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺16：二次函数中求线段、线段和、面积等最 值问题专项 》》》 中考全国考情分析 1、必考性与分值稳定 二次函数最值问题是全国中考数学压轴高频考点，覆盖填空、解答压轴题，分值8一12分，难度中高，是 区分高分段考生的核心题型。核心失分点集中在：坐标转化错误、最值模型识别不清、几何最值转化逻辑 薄弱、配方/求导运算失误、忽略定义域限制。 2、考点聚焦 围绕二次函数解析式确定→点坐标与线段表示→单线段最值→线段和/差最值→三角形/四边形面积最 值→周长最值→几何图形与二次函数综合最值七大核心模块，其中线段最值、面积最值、线段和最值为压 轴必考热点。 3、最新命题趋势(2024一2026) 命题深度情境化，结合动点、动线、折叠、平移等动态场景；从单一函数计算向函数建模+几何转化+最 值推理综合考查；强化跨模块融合，常与等腰三角形、直角三角形、圆、相似三角形结合；新增参数最值、 区间最值、最值存在性探究题型，突出数形结合与逻辑推理能力。 4、地域差异 一线城市侧重复杂动态最值、多模型综合、参数探究；三四线城市侧重基础线段最值、常规面积最值、简 单线段和最值，全国统一遵循“重模型、重转化、重规范、重运算”命题原则。 》》》分 题型一、二次函数中单线段最值问题 具体解决方法： 设动点坐标（用二次函数解析式表示，如x,ax2+bx+c); 用横坐标/纵坐标差或两点间距离公式表示线段长度； ■■■ 转化为二次函数最值间题，配方或用顶点公式(-b,4c-b )求最值； 2a 4a 注意自变量取值范围，区间内最值需比较端点与顶点值。 例题 2026河南周口一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C 6 备用图 (1)求抛物线的表达式； (②)点P是抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当点P在第一象限时，求线段 PE的最大值； (3)在(2)的条件下，当PE取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QBE为等腰三角形？ 若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 e 3)存在，点Q的坐标为 991+3-- 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0),B(3,0)两点， 抛物线的解析式为y=-x+1)x-3)=-x2+2x+3; (2)解：设直线BC的解析式为y=+b, D 2 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■了 将点813,0、C0,3到代入，得20，解得6=3 [3k+b=0 k=-1 :直线BC的解析式为y=-x+3, 设点P坐标为x,-x2+2x+3,则E(x,-x+3), pE=r+2+3r=r+3=(-+ :-1<0, :当x=时，PE有最大值，最大值为？： 4 (3)解：：y=-x2+2x+3=-（x-1)+4 ·抛物线的对称轴为直线x=1, 3 :当x=三时，PE有最大值， E33 (22 设点Q的坐标为1，m), o1、8》 e-3+0--3 B02=(3-1+(0-m)2=4+m2; 0e-0-m=m-+ 当B0=8E即80-BE时，4+m}即㎡ 解得m= 2 点Q的坐标为 当QE=BE即QE2=BE2时，m2-3m+ 59 221 解得m3+或m,=3 3-V17 2 2 3 ■■■ 点Q的坐标为 22月 当QE=BQ即QE2=BQ时，m2-3m+ 5=4+m2, 点Q的坐标为(L》 综上所述，点Q的坐标为 9)1933-》 题型二、二次函数中线段和（差）最值问题 具体解决方法： 将军饮马模型：对称点转化，化折线段为直线段，用两点之间线段最短求最小值： 胡不归模型：构造特殊角，转化线段系数，再用垂线段最短求最值； 阿氏圆模型：构造相似三角形，转化线段比例，结合圆的性质求最值； 线段差最值：利用三角形三边关系，三点共线时取最值。 例题 (2026山东淄博.一模)如图，直线1过点A(4,0),B(0,-3),抛物线y=2x2+4x+1与y轴交于点 C,若点P在抛物线的对称轴上移动，点Q在直线1上移动，则CP+PQ的最小值是() B A.5 B.4.4 C.3.6 D.3.3 【答案】B 【详解】解：设直线的解析式为y=x+b, [4k+b=0 代入点A(4,0)、B(0,-3): b=-3 解得k=三，b=-3, 4 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞 3 直线l为y=二x-3, 4 在y=2x2+4x+1中，令x=0,得y=1, .点C的坐标为(0,1)， 配方得y=2(x+1)2-1, .抛物线的对称轴为直线x=-1, 作点C(0,1)关于直线x=-1的对称点为C'(-2,1), 对对称轴上任意一点P,都有CP=CP, .CP+PO=C'P+PO, 过点C作C'H⊥AB于点H,交x轴于点M,交对称轴于点P,过点C作CK⊥x轴于点K,如图所示 A B H .CK=C0=1,0K=2, :A4,0),B(0,-3), .0A=4,0B=3, m840-子 :∠C'KM=∠MHA=90°，∠C'MK=∠AMH, .∠MC'K=∠BAO, ÷tan∠MC'K=tan∠BAO=3_MK 4 CK w是 OM=2-3=5 44 :M(-3,0 4 同理得：直线C'M所在直线的函数解析式为y=-x- 3x-3 5 3 x-3 联立I与C'M: 4 4 y= 3-3 16 x= 25 解得： 63 25 :点 (16 63 25’- 25 16 63 66 88 .C'o= -(-2) +25 25 +25 22=4.4 5 CP+PQ的最小值为4.4. 题型三、二次函数中三角形面积最值问题 具体解决方法： 底高法：定底+动高，用动点纵坐标差表示高，转化为二次函数求最值： 割补法：分割/补全图形，用坐标表示各部分面积，化简后求最值： 铅锤法：水平宽×铅锤高÷2，简化面积计算，快速转化为函数最值； 注意动点位置限制，避免最值点超出函数定义域。 例题 (2026江苏苏州一模)如图，抛物线C,:y=ax2+bx+c过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的 边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C,D在抛物线上.设B(t,0),当1=2时，BC=8. E 图1 图2 (1)求抛物线G的函数表达式； (②)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ (3)如图2，保持t=2时的矩形ABCD位置不动，平移抛物线C使之经过点D,得到抛物线 C2:y2=ax2+dx+40,过点D的直线交抛物线C和C2于点M,N(点M,N均不与点D重合)，设点M的横 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 坐标为m,设点N的横坐标为n,请求出m-n的值. 1 【答案】0y=2-5 (2)1=3,29 3)10 【详解】(1)解：：矩形ABCD, BC⊥OE, 当t=2时，B(2,0), :BC=8, C2,-8), 又：抛物线过点O(0,0),E(10,0)和C(2,-8), c=0 c=0 1 :100a+10b=0,解得{a= 2 4a+2b=-8 b=-5 1 y=2-5x 2解由)知：=方-5 -5 ·抛物线的对称轴为直线=- 5 x22 :B(1,0, c-0小 1 :矩形ABCD, CD∥AB, 点C,D关于对称轴对称， 0--s BC=51-2,CD=10-1-1=10-21, :矩形ABCD的周长为2(BC+CD)=-t2+6t+20=-(t-3)2+29, .当t=3时，矩形ABCD的周长最大为29： ■■■ (3)解：：t=2, C2,-8,D8,-8), :y= 1 a=2' :平移后的抛物线的解折式为C,:y弓++40， 把D(8,-8)代入，得2x64+8d+40=-8,解得d=-10, 1 y2=5x2-10x+40, 2 设经过点D的直线解析式为y=k(x-8)-8=kx-8k-8, y=x-8k-8 「x=8x=2k+2 联立 或 x2-5x，解得 y= y=-8y=2k2-6k-85 m=2k+2, y=x-8k-8 x=8 「x=2k+12 联立 210x+40'解得1 或 y= y=-8 y=2k2+4k-8 .n=2k+12, .m-1=2k+2-2k-12=10 题型四、二次函数中四边形面积最值问题 具体解决方法： 分割转化：拆分为两个三角形，分别表示面积后求和，再求最值； 坐标公式法：利用四边形顶点坐标，代入面积公式转化为函数； 平行四边形/梯形：结合边长与高的关系，转化为单变量函数求最值； 动态四边形：抓住不变量+变量关系，简化最值求解逻辑。 例题 (2026江苏连云港模拟预测)如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方 形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交 DC于H,折痕为EF,连接BP、BH, 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ H G (I)求证：∠APB=∠BPH. (②)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论： (3)四边形EFGP的面积为S,AP=x. ①BE= (用含x的代数式表示) ②试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (②)△PDH的周长不发生变化，证明见解析 ③)①2+亡；②S存在最小值，最小值是6 8 【详解】(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∠A=∠ABC=90°， .∠APB+∠ABP=90°， 由折叠可得，∠EPH=∠ABC=90°，EP=EB, LBPH+∠EPB=LEPH=9O°，∠EBP=∠EPB, ∴.∠APB=∠BPH (2)解：△PDH的周长不发生变化 证明：如图2，过B作BQ⊥PH于点Q,则∠BQP-=∠BQH=90°， G 图2 :四边形ABCD是正方形， ∠A=∠C=90°，AB=BC, ∠BOP=∠BQH=∠A=∠C, 9 ■ 由(I)可知，∠APB=∠BPH, 在AABP和△QBP中， ∠A=∠BQP ∠APB=∠BPQ, BP=BP △ABP≌△QBP(AAS, .AP PO,AB=OB, .BO=BC, 在Rt△BOH和Rt△BCH中， BHBH BO=BC .Rt△BQH≌RtABCH(HL, .OH=CH, ∴△PDH的周长=PD+DH+PH PD+DH+PO+OH =(PD+PO+(DH +0H =(PD+AP)+(DH+CH) =AD+DC, :四边形ABCD是边长为4的正方形， .AD=DC=4, .△PDH的周长=AD+DC=8,即△PDH的周长不发生变化 (3)解：①如图3，过F作FM⊥AB于点M,设EF与BP交于点O, D H G M B 图3 :四边形ABCD是正方形， lo 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ∠MBC=∠C=90°，AB=BC, .四边形MBCF是矩形， .FM =BC=AB,CF=BM, :EF为折痕， EF⊥BP, .∠E0B=90°， ∠ABP+LBEF=90°， FM⊥AB, .∠FME=90°， .∠EFM+LBEF=90°， .∠ABP=∠EFM, 在EMF和△PAB中， ∠FME=∠A MF=AB ∠EFM=∠ABP △EMF≌PAB(ASA), .ME AP =x, 由折叠可得，EP=EB, 在RtAAPE中，AP2+AE2=PE2,即AP2+4-BE)2=BE2, x2+(4-BE)2=BE2, ·BE=2+ 6 ②由O可知，CF=BM=BE-ME=2+ 8 -r, 由折叠可得，S国边形EFGP=S四边形EBCP, S四边形ErGP=S边形EBC 1 :20 .当x=2时，S的最小值为6. 题型五、二次函数中周长最值问题 11 ■■■ 具体解决方法： 拆分周长为定线段+动线段和，定线段固定，只需求动线段和最值； 结合将军饮马转化动线段，化折为直求最小周长： 等腰/直角三角形周长：利用边长关系，转化为单变量函数，结合定义域求最值。 例题 (2026江苏苏州一模)如图，抛物线C:y=ax2+bx+c过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的 边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C,D在抛物线上.设B(1,O),当t=2时，BC=8. 图1 图2 (1)求抛物线C的函数表达式： (②)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ (3)如图2，保持1=2时的矩形ABCD位置不动，平移抛物线C使之经过点D,得到抛物线 C2:y2=ax2+dx+40,过点D的直线交抛物线C和C2于点M,N(点M,N均不与点D重合)，设点M的横 坐标为m,设点N的横坐标为n,请求出m-的值 【答案】(1)y=5x2-5x (2)1=3,29 (3)10 【详解】(1)解：：矩形ABCD, BC⊥OE, 当t=2时，B2,0), BC=8, C2,-8), 又：抛物线过点O(0,0),E(10,0)和C(2,-8), 12 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ c=0 [c=0 100a+10b=0,解得a=2 4a+2b=-8 b=-5 y=5x2-5x: 2 (2)解：由(1)知：y= -. 5 六抛物线的对称轴为直线2 =5 1 :B(t,0, c5- 2 矩形ABCD, CD∥AB, 点C,D关于对称轴对称， 00-4-50 8c=5-,cD=10-t-1=I0-2 矩形ABCD的周长为2(BC+CD)=-t2+6t+20=-(t-3)+29, ∴当t=3时，矩形ABCD的周长最大为29； (3)解：t=2, C(2,-8,D(8,-8), 1 a=2' :平移后的抛物线的解析式为C,为分+水+40， 把D(8,-8)代入，得)×64+8d+40=-8,解得d=-10, 为2r-10x+40, 设经过点D的直线解析式为y=k(x-8)-8=kx-8k-8, 13 ■■■ y=m-8k-8 x=8 「x=2k+2 联立 1x2-5x，解得 y=1 y=-8y=2k2-6k-8 .m=2k+2, y=x-8k-8 x=8 x=2k+12 联立 或 y= 6x2-10x+40’解得/ y=-8 y=2k2+4k-8 n=2k+12, m-m=2k+2-2k-12=10 题型六、二次函数与几何图形综合最值问题 具体解决方法： 先确定二次函数解析式与关键点坐标： 结合等腰、直角、相似、圆等几何性质，转化线段/角度关系； 将几何最值转化为二次函数最值，结合图形限制确定定义域： 分类讨论：动点在不同区间、图形不同位置时的最值情况。 例题 (2026山东淄博一模)如图1，在平面直角坐标系x0y中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象经过边长为4的等边三角形AOB的三个顶点，己知等边三角形AOB的边OB在x轴的正半轴上，P,Q分 别是边OB,AB上的动点，且AQ=2OP,连接PQ D 图1 图2 图3 (1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式： (2)如图2，C是x轴上方二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上的一个动点，连接CP,CQ.问当OP=1时， △CPQ的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由： ③)如图3，在等边三角形AOB的边40上取中点D,连接DP.间DP+5PQ的值是否存在最小值，若存 3 在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由. 14 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 答案0+2尽 2②存在，最大值为15 P 3)存在，最小值为2 3 【详解】(1)解：△AOB是边长为4的等边三角形，二次函数y=ax2+bx+c(a≠O)的图象经过点A,B,O .0A=0B=AB=4,∠A0B=LAB0=∠0AB=60°，c=0,B4,0, 如图所示，过点A作AE⊥OB于点E, B 0E=EB=20B=2,∠04E=30°， AE=V0A2-0E2=2V5, A2,2V5 4a+2b=2V5 把点A,B的坐标，c=0代入二次函数解析式得， 16a+4b=0· a=- 解得， 2, b=2V5 六二次函数解析式为y=- 2x2+2V3x: (2)解：存在，最大值为135，理由如下， 8 OP=1,AO=2OP,AB=4, P1,0,AQ=2, 点0是线段B的中点，则2+4-3,25+0-5，即Q3,), 2 2 15 设点Cc,- 如图所示，过点C作CF⊥x轴于点F,过点Q作OG⊥x轴于点G, Fc,01,G3,01,CF=-5c2+25c,0G=5,pF=l-c,PG=3-1=2,GF=3-c, .S.cwc-5.-S.c(CF+QG)GF-QGGP-PFCF f945e-5a-9e+5） a-4+-4-92- 5+2c1-小l-+9-d小50， 当c<1时， 8当c=时，Sc的面积最大，最大值为1-73 当1<c<3时，如图所示，过点C作CF⊥x轴于点F,交PQ于点H, H 16 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞盘 :P1,0,0(3,5), 设直线PQ的解析式为y=mx+n(m≠0)， m+n=0 3m+n=5' m= 解得， 2 2 :直线P0的解析式为y=5x-5, 2 2 2 :cH=-52+2w5c- 995c+9pc-,Gi=3e612 2 ..5.m5.cPCH-CHFP+G)CH GP =×5e+35c+x2-5c+35+5-5c-+155 22 2c+ 2 -C+ c-- 2 2 222 :、 2 <0, 当c时，S0v的面积最大，能大价为15v5。 8 当3<c<4时，如图所示， GF c-5e+2v5c,QG=5,FG=c-3,GP=3-1=2,Fp=e-1, 2 .5.m5ww5-5.-(CF+QG)G+0P-FPCP ea+ai-9eae 17 5:35.5 2 2 2 =5.32135 2c-2 :3<c<4, ·该情况不符合题意； 1-75135 8 8 ÷△CPO面积的最大值是I3 8 (3)解：存在，最小值为2w2,理由如下， 3 A2,2V5,B4,0, :设直线AB的解析式为y=kx+ek≠O), 2k+e=2V5 4k+e=0 k=-V5 解得， e=4V3 .直线AB的解析式为y=-√3x+4V3, :点D是OA的中点， D1,5 设P(t,0),则OP=t,AQ=2t≤4，则0≤1≤2， :BO=AB-A0=4-2t, 如图所示， 18 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ :∠AB0=60°，QG⊥x轴于点G, 在0G,∠B0G=30,BG-80-4-2训=2-1， QG=3BG=V3(2-t), .0G=4-（2-t=2+1, 0(2+t,25-V5 如图所不.过点P作PN1PO,使得PN=5P0,连接ON, R ·DP+3 PQ=DP+PN≥DN, :当点D,P,N三点共线时，DP+5PO的值最小，最小值为DN的长， 3 如图所示，过点P作y轴的平行线RT,过点Q作OR⊥RT于点R,过点N作NT⊥RT于点T, ∠R=∠T=∠QPN=90°， .∠OPR+∠NPT=∠NPT+∠PNT,则∠QPR=∠PNT, :.△ORP∽△PTN, QR_RP=P№=5， PT TN PN :QR=2+t-t=2,RP=2√5-√5t, ·PT=23 3 TN=2-1, w-622. 3 DP+ 9P0的最小值是2 19 ■ 》》》 1.(2026山东青岛一模)某光电研究所研究某种合金的熔点，随着一些稀土材料的加入，合金的熔点逐渐 变化，其最高熔点部分图象近似于抛物线的部分图象，己知下列标出的四个点，有三个点在近似抛物线部 分图象上，标出的点为：A(0,),B(2,),C(4,1),D(3,2).若分别画出了经过这四个点中的三个点的二 次函数部分图象，并得到对应的函数表达式y=ax2+bx+c,则4a+2b+c的最大值等于() A.-2 B.3 C.2 D.5 【答案】B 【详解】解：①当二次函数的图象过点B(2,1)时， 将点B(2,1)代入y=ax2+bx+c,得4a+2b+c=1: ②二次函数的图象不经过点B(2,1)时， 将点A(0,,C4,1,D(3,2)代入y=ax2+bx+c,得： [1=c a=- 4 1=16a+4b+c,解得{b= 2=9a+3b+c 3 c=1 .4a+2b+c=4× 1 7 3 +2x +1= 3 > 云4如+26+e的最大值为写 2.(2026天津和平.一模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE=1,点F在边BC上， 20 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ an∠BFE=2将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD,点P在线段EF上运动（点P可与点E, 点F重合)，作矩形PMDN,其中M,N分别在边CD,AD上.有下列结论： D A ①当CM=)时，MP=3 ②矩形PMDN面积的最大值为12： ③CM有两个不同的值满足矩形PMDN的面积为10. 其中，正确结论的个数有() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【详解】解：如下图所示，过点F作FQ⊥MP, 1 令BE=1,tan ZBFE2tan∠BFE==BE=,BF=2 :正方形ABCD的边长为4，BC=4, CF=BC-BF=4-2=2, ..MO=CF=2, :四边形ABCD是正方形， ∠C=90°， :四边形PMDN是矩形， :∠PMD=90°， .CF l MP, ∴.∠BFE=∠FPQ, tan∠FPQ=tan∠BFE= 2 Fe_1 PO 2' :F0=2' 1 .PQ=1, 21 .MP=MQ+PQ=2+1=3, D 故结论①正确； 设CM=x,由①可知P2=2x,则MP=2+2x,DM=4-x, :矩形PMDN的面积为S矩形Dv=(2+2x(4-x), .3225 整理得：Suv=-2-2)+2, :-20,且05x1,:当：=1时，矩形WDv面积有能大位，故大值为-2-+空=12。 故结论②正确； 当矩形PMDN面积为10时， 可得：2七0解得：53+金趣 2 ·CM只有一个值满足矩形PMDN的面积为10， 故结论③错误， 综上所述，结论正确的个数有2个 3.(2026安徽模拟预测)如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上一动点（不含B,C两点），将 △ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M.使得将CMP沿直线MP翻折后，点C落在 直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N,连接MA,NA,则以下结论中错误的是() D C B A.线段AM长度的最小值为5 B.四边形AMCB的面积最大值为10 22 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■了 C.当△ABP□△ADN时，BP=4√2-4 D.当P为BC中点时，AE是线段NP的垂直平分线 【答案】D 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， AB=CB=DC=AD=4,∠C=∠B=90°， 设PB=x,则CP=4-x, 由翻折的性质可知，∠APB=LAPE,∠MPC=∠MPN, ∠CPN+∠NPB=180°， .2∠NPM+2∠APE=180°， ∠APM=∠MPN+∠APE=90°， :∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°， ∠CPM=∠BAP, 又：∠C=∠B=90°， .△CMP∽△BPA, :GCM-CB,即Cy-4 PB AB 解得，CM=-x+x, 4 cw=+=-2+1,0, 1 .当x=2时，CM最大，最大值为1，此时DM最小，最小值为3， 由勾股定理得，AM=√AD2+DM2=5, 线段AM长度的最小值为5，A正确，故不符合题意； :S四边形MCB=(CM+AB)×BC, 2 :当CM最大时，四边形AMCB的面积最大，最大值为(1+4)×4=10，B正确，故不符合题意； 由折叠的性质可知，△ABP≌△AEP, .PE BP AE=AB, :△ABP≌△ADN, .AD=AB,BP DN ∴AD=AE, :∠ADN=90°=∠AEN,AN=AN,AD=AE, 23 ■ :.Rt△ADN≌RtaAEN(HL), .DN =EN, :BP=DN=PE=EN =y, .CP=CN=4-y,NP=2y, 由勾股定理得，NP2=CP2+CN2,即(2y)2=(4-y2+(4-y)2, 解得，x=4V2-4或x=-42-4(舍去)， :BP=4√2-4，C正确，故不符合题意； 当P为BC中点时，则EP=BP=2=CP, 由③可知，RteADNS≌Rt△AEN(HL),DN=EN, 设DN=EN=a,则CN=4-a,NP=a+2, 由勾股定理得，NP2=Cp2+CN2,即(a+2=22+(4-a)2, 解得，a=4 1 :EN=4≠2=EP,即E不是NP的中点， ∴.AE不是线段NP的垂直平分线，D错误，故符合题意： 故选：D 4.(2026河南周口模拟预测)如图1，在口ABCD中，∠DAB=2∠B,BC=2AB,动点P以每秒1个单位 长度的速度从点A出发沿线段AB运动，到点B停止.同时动点Q以每秒4个单位长度的速度从点B出发， 沿折线B一C一D运动，到点D停止.图2是点P、Q运动时，BPQ的面积S随运动时间t变化关系的图 象，则BPQ的面积的最大值为() 本S D 9 4 图1 图2 A.35 B.4V5 C.4√5 D.3√6 【答案】C 【详解】解：根据题图2可知，当t=4时，点P停止运动 .AB=1×4=4,BC=2AB=2×4=8 24 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞 根据题意得，AP=t,BP=AB-AP=4-1 当Q在BC上时，即0≤1≤2，此时BQ=41 过点P作PM⊥BC于点M,如图1， A D :四边形ABCD是平行四边形 BM Q 图1 :∠DAB+∠B=1809 又：∠DAB=2LB ∴.∠B=÷×180°=60° 3 在RtaBMP中，PM=sin∠B-BP=sin60-BP=5BP=54- 5w号0-pM-4x94-0=-+4N=-5-245 当1=2时，S。o取最大值，最大值为4V5 当点Q在CD上时，即2≤t≤4时，如图2， D 四边形ABCD是平行四边形 BM 图2 :AB∥CD .Saw-SAwBCPM(41)-2 1 2 2 2 “-25<0 t越小，SBPg越大 :2≤1≤4 “t=2,Sg取最大值，最大值为4V5 综上所述，t=2,SB0取最大值，最大值为45 ∴.a的值为4V3,即BPQ的面积的最大值为4V5, 25 ■■■ 故选：C 5.(2026安微芜湖一模)如图，在等腰直角ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,点D为BC的中点， ∠EDF=90°，其两边分别与AC,AB交于点E,F(不与A,B,C重合).取EF的中点M,连接AM 并延长交BC于点G,连接EG,FG.则下列结论中正确的是() A.EF的最小值为4 B.MB+MC的最小值为210 C.aDEF周长的最小值为4+3√2 D.四边形AEGF面积的最小值为4 【答案】B 【详解】解：∠BAC=90°，AB=AC=4, BC=VAB2+AC2=V42+42=4V2, :点D为BC的中点， :AD=BC=22, 2 如图1，连接MD、AD, :∠BAC=∠EDF=90°，点M为EF的中点， D 图1 :.AM=MD=EF, :AM+MD≥AD, :EF≥AD=2√2，故选项A错误； 如图2，：AM=MD, ∴点M在线段AD的垂直平分线上， 点M在BC边所对中位线KL上移动， 作点B关于直线KL的对称点B,连接CB,则BB'=AD=2√2，MB+MC=B'M+MC≥CB', 26 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ R G D 图2 :CB'=VBB+BC2=V22+4V2'=210, .MB+MC≥2V10, .MB+MC的最小值为2√0，故选项B正确； 如图3，：∠BAC=∠EDF=90°， A,E,D,F四点共圆， B G D 图3 :∠BAC=90°，AB=AC=4,点D为BC的中点， ZDAC7∠BAC=45 .∠DFE=∠DAC=45°， .DE=DF, .EF=V2DE≥2V2, DE=DF≥2， ·C△Dr≥4+2V2,故选项C错误； AM =DM, ∠MAD=∠MDA, :AB=AC=4,点D为BC的中点， .AD⊥BC, :∠MAD+∠AGD=∠MDA+∠MDG=90°， .∠AGD=∠MDG, .MD MG=MA, :∠EDF=90°，点M为EF的中点， 27 ■■■ ■ .MD=MF=ME .MD M G M A=M F M E :四边形AEGF为矩形， .FG⊥AB, ∠B=45°， :.△BFG是等腰直角三角形， 设FG=BF=x,则AF=4-x, S矩形Br=x:(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4≤4， :.四边形AEGF的面积最大值为4，故选项D错误. 6.(2026安微合肥一模)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，动点D从点A开始沿AB边以每秒1 个单位长度的速度运动到点B,同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动到点C,连接DE,点F 为DE中点.设时间为(s,DE2为y,y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是() 10 i/s 图1 图2 A.AB=4 B.连接BF,BF有最小值为V2 C.若点M是边AC的中点，则MF的最小值为1 D.连接AF,CF,则AF+CF的最小值为2V1O 【答案】C 【详解】解：由题意得AD=t=BE, .当t=1时，AD=BE=1,y=DE2=10, 在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ..BD2+BE2=DE2,E BD2+12=10, 解得BD=3(负值已舍)， AB=BD+AD=4,故选项A正确，不符合题意； 28 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞倍 :Rt△BDE中，F是斜边上的中点， D .BF=IDE, 2 BD2+BE2=DE2,(4-t)+12=DE2, DE2=2t2-8t+16=2(t-22+8, 2>0, 当t=2时，DE2取最小值，此时最小值为8，即DE的最小值为22， .BF有最小值为√2，故选项B正确，不符合题意； 以点B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： M D A 那么D(4-t,0),E(0,t),C0,4),A4,0), :F和M分别为DE和AC的中点， 引w22. wr--传2-g-r+2 “21-22, :t=2时，MF取最小值，此时最小值为√2，故选项C错误，符合题意； :已知c0到，44,0，F2引 设F(x,y以， 29 分■ 4-t .x= 2，y=2 消去t得y=-x+2, .点F在直线y=-x+2上运动， 作点A4,0)关于直线y=-x+2的对称点A'(2,-2), .AF+CF的最小值为AC的长， ·AF+CF的最小值=V2-0)2+(4+2)2=20,故选项D正确，不符合题意. 7.(2026安微阜阳·二模)如图，在ABC中，AC=BC=4,∠ACB=90°，D为BC的中点，延长DC至 点E,使得CE=CD,P、Q分别为AC、CB上的动点，PA=CQ,连接AD,作PH⊥AD于点H,连接 AQ,AE,PD,PE,PQ,则下列结论错误的是() D B OD A.PQ的最小值为2√2 B。△8P0面积的最大雀为号 C.AQ+EP的最小值为35 D.PD+PH的最小值为85 【答案】C 【详解】解：：AC=BC=4,D为BC的中点，CE=CD, 1 .DB=CD=BC=2, 2 .CE CD=2, 设AP=CQ=x(0≤x≤4)，则CP=AC-AP=4-x, :在Rt△P0C中，PQ2=PC2+CQ=(4-x2+x2, 即PQ2=2x2-8x+16=2(x-22+8, ·当x=2时，P2取最小值为2√2，故A正确； 设4P=C0=0sx≤4，则0=c+c0=2+,Sm2+4-=x-+号 9 :当x=1时，△EPQ面积的最大值为三，故B正确； 30 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞倍 如图1，过点E作EF⊥AD于F,连接EH, H B OD C :AC⊥DE,CE=CD, AC垂直平分DE, PD=PE,即PD+PH=PE+PH≥EH, 又：EH+HF≥EF, PD+PH=PE+PH2EH≥EF .PD+PH的最小值为EF, AC=DE=4, AD=25, 由ADE的面积得；EF·AD=)ACDE, ·EF=8V5 PD+PH的最小值为SV5 故D正确； 如图2，过点A作AC的垂线，在这条垂线上取一点G,使得AG=AC, G.- AG=AC ∠PAG=∠ACQ=90°， AP=CO B ∴△AGP≌△CAQ, ..PG=AO, 连接EG交AC于M, PG+PE 2EG, 即PG+PE的最小值为EG, 即AQ+EP的最小值为EG, :AG∥BE, 31 ■■■ ■产 、、~、A=2二，印以 AG AC-AM=CE' :AG=4,CE=2, :AM=,CM=行 4 4 213 3 ,EM=2+ EG=GM+EM=432323 3 3 ∴.AQ+EP的最小值为2√13，故C错误.故选C. 8.(2026海南省直辖县级单位一模)如图1，抛物线y=ax2-4x+c与x轴交于A,C两点（点A在点C的 左侧)，与y轴交于点B(0,3),且对称轴为x=2. M 图1 图2 (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，点P为对称轴上一动点，求。ABP的周长的最小值； (3)把该抛物线沿x轴向右平移m(m≥0)个单位长度，若自变量x满足4≤x≤6时，对应的函数值y的最小值 为3，求m的值； (④)如图2，点D为该抛物线的顶点，点E为该抛物线上位于第二象限的一个动点，作直线AE,CE分别与 对称轴交于点M,N,比较线段DM和DN的长度大小 【答案】(1)y=x2-4x+3 2)△ABP的周长的最小值为V10+3√2 (3)m的值为0或6 (4)DM DN 【详解】(1)解：：抛物线与y轴交于点B(0,3, 59 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ c=3,0B=3, :抛物线的对称辅为x=2,则一2 2, 解得a=1, :抛物线的表达式为y=x2-4x+3. (2)解：令x2-4x+3=0, 解得，x=1,x2=3, A1,0),C3,0), 0A=1,0C=3, 在RtaA0B中，AB=VOA+OB2=VP+32=V10, △ABP的周长=AB+AP+BP, ·△ABP的周长最小时，AP+BP最小， :点A,C关于抛物线的对称轴对称， .AP+BP=CP+BP, 当B,C,P三点共线时，CP+BP即AP+BP最小， 最小值等于线段BC的长，BC=V0B2+0C2=V32+32=3√2， :△ABP的周长的最小值为V10+3√2. (3)解：y=x2-4x+3=(x-2)-1, ·抛物线的顶点坐标为(2，-1)， 将抛物线y=(x-2)2-1沿x轴向右平移m(m≥0)个单位长度，得到的新抛物线为y=(x-2-m2-1, 新抛物线的对称轴为x=2+m, 当4≤2+m≤6时，y=(x-2-m)-1的最小值为-1，不符合题意； 当2+m≤4时，m≤2，此时y=（x-2-m)-1的最小值在x=4处取得. 令x=4,可得y=(4-2-m-1=3,解得m=0或m=4(舍去)： 当2+m26时，m≥4，此时y=（x-2-m)2-1的最小值在x=6处取得. 令x=6,可得y=(6-2-m)-1=3,解得m=2(舍去)或m=6. 33 ■■■ 综上所述，m的值为0或6. (4)解：由上面的分析知点D(2,-1, 设直线AE的表达式为y=px+9,点E的横坐标为t(t<O), 则 pt+9=t2-4t+3 ，解得 p=t-3 p+q=0 9=3-t1 “直线AE的表达式为y=t-3x+3-1, 当x=2时，y=t-3, M2,t-3, .DM=-1-t-3=2-t, kt+b=12-41+3 「k=t-1 设直线CE的表达式为y=kx+b,则 3k+b=0 ，解得6=31- :直线CE的表达式为y=(t-)x+31-, 当x=2时，y=1-1, N(2,1-t, DN=(1-t)-（-l=2-i, .DM DN. 9.(2026山东淄博·模拟预测)如图，已知直线1：y=c+4与抛物线y=ax2+bx+2交于点A,B(1,3),且点 A在x轴上，P是y轴上一点，连接PA,PB. (1)求k,a,b的值； (②)当PA+PB取得最小值时，求点P的坐标： (3)若直线：=m交直线I于点C(点C在线段AB上，不与端点重合)，交抛物线于点D,连接0C,设 34 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■产 w=OC2+CD,求w关于m的函数表达式，并求出w的最小值. 2b 【答案】⑩=，a= 3 Γ2 12 20,5 ③)w= m2、 3 2m+14, 215 24 【详解】(1)解：把B(1,3代入y=c+4,得3=k+4, k=-1, :直线1的解析式为y=-x+4, 把y=0代入，得0=-x+4, ∴x=4, .A4,0, 把A4,0)和B(1,3)代入抛物线y=ax2+bx+2得， 16a+4b+2=0 a+b+2=3 1 d= 解得 2 b= 3 2 1 3 即a=- (2)解：取点A关于y轴的对称点R(-4,0),连接BR交y轴于点P, 则此时PA+PB=PR+PB=BR最小， 设直线BR的解析式为y=nx+c,把B1,3)和R(-4,0)代入得， 3=n+C 0=-4n+c' 35 ■ n=3 解得 12 C= 5 3.12 :直线BR的解析式为y=x+ 5 12 :点P的坐标为0,5 8都：设点C国-m+,则点0⑧+ 2m+2, oc=m-m+4,0=n+m+2-(+4=号m 2m-2, w=OC2+CD 2 3m2-m m+14, 2 即w=m2 Γ2m+14, 多-号m+14=m-月+25 ,w= 2 2 2 -6)+24 、11 215 .当m=二时，w取最小值，最小值为 6 24 10.（2026安徽阜阳·二模)平面直角坐标系中，如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0) ,B两点，与y轴交于点C,顶点为D(-1,4),点P是抛物线上A,C两点之间的一动点. 图1 图2 图3 (①)求这个抛物线的解析式： (2)如图2，过点P作PE⊥AC于点E. ①求线段PE的最大值； ②如图3，过点E作EF⊥y轴于点F,设w=√2PE+EF,求w的最大值. 【答案】(1)y=-(x+1)2+4 36 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞 《292；②之51 8 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)+4, 将A(-3,0)代入得：0=a(-3+1)2+4, 解得a=-1, :抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3; (2)解：①由(1)知C(0,3), 设直线AC的解析式为y=x+b, {的胸62 「k=1 将A-3,0),C(0,3代入得： ·直线AC的解析式为y=x+3, 设P(,-2-2t+3,过点P作P2⊥x轴交AC于点Q(1,t+3), YA B x.P0=(-2-21+3)-1+3)=--3, 图2 :0A=0C=3, :△AOC为等腰直角三角形， ∠AC0=45°， PQ⊥x,OC⊥AB, ∴.PQ∥CO, ∴.∠PQE=∠AC0=45°， :PE⊥AC, :aPEQ为等腰直角三角形， .PE=PO-sin45P. 2 37 ■ 329 PQ=-2-31=-t+ 24 :当=-多时，P巴有最大值， .9 PE的最大值为2x992 248 ②由①知√2PE=PQ,P,--2t+3,Q(1,1+3, 延长FE交PQ于点G, B POll CO,EF Ly, 图3 EG⊥PQ,则yE=yG :△PEQ为等腰直角三角形， :.PG=QG, -12-21+3-y6=y6-(t+3), =%=-1+6 2 把：=，十6代入直线AC的解析式y=x+3, 可得交点E的横坐标6=- 2 EF⊥y轴， .EF=-Xg = 12+1 2 2 22 -3<-5<0, 2 当1=。加收得最大值，最大做为 5 38 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 》》》 1.(2025江苏徐州中考真题)二次函数y=x2+x+1的最小值为 【答案】05 【详解】解：y=x2+x+1=x2+x+二+三=x+ 当x=-2时，二次函数少=产+x+1取最小值，最小值为 2 4 故答案为：4 2.(2025·天津.中考真题)四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8cm,AD=10cm,BC=16cm.动点 M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以lcm/s的速度 沿边CB向终点B运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为s.当 t=2s时，点M,N的位置如图所示.有下列结论： ①当t=6s时，CN=DM; ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2; ③t有两个不同的值满足aBMN的面积为39Cm2.其中，正确结论的个数是() D M N C A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【详解】解：根摇题意得：点M在AB上的运动时间为4s,点M在4D上的运动时间为95s,点N 在CB上的运动时间为16s, ①当t=6s时，点M在AD上， 此时AM=2×6-8=4cm,CN=6cm, .DM AD-AM =6cm, CN=DM,故①正确； ②当1≤t≤2时，点M在AB上， 39 ■在 此时BM=2tcm,CN=tcm,∴.BN=(16-tcm, Sa-号BMxN=x2416-=2+1=--8+64, 1 2 -1<0, .当t<8时，SBw随t的增大而增大， “当t=2时，SB取得最大值，最大值为-(2-8)+64=28， 即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2,故②错误： ③当点M在AB上时， :aBWY的面积为39em,Saw-BM×BN=×2416-小=-f+16=39, 解得：4=3,2=13（舍去）， :.当t=3时，aBMN的面积为39cm2; 当点M在AD上时， AD∥BC,∠B=90°， ∠A=180°-B=90°，即AB⊥AD, 此时Sam=)4B×BN=x816-=64-4=39. 2 2 25 解得：t= 4 :当1=25时，ABMN的面积为39cm, 4 :t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm,故③正确. 故选：C 3.(2025山东潍坊中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bxa<0)与正比例函数 y=c的图象都经过点A(3,3,点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交 OA于点C,交x轴于点D. B\x 40 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞 (1)若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值； (2)若该二次函数与x轴的一个交点为B(m,0),且m>4,求a的取值范围. 【答案100y=护+2x,@ 3 (2)-1<a<0. 【详解】(1)解：①：A(3,3)为二次函数的顶点， [9a+3b=3 _b=3' 2a 1 解得a=-3, b=2 :二次函数表达式为y=-x+2x 3 ②因为正比例函数y=x经过点A(3,3), 3k=3, k=1, 正比例函数表达式为y=x, 设0D=(0≤1≤3)，则CD=1,PD=-2+21, :.PC=PD-CD=-1P+21-1 3 :当：时，线段PC的长度取得最大位寻 (2)解：二次函数y=ax2+bx经过点A3,3), 9a+3b=3,即b=1-3a, 令ax2+bx=0, b 解得x=0,x2=- 1 :二次函数与x轴的一个交点为B(m,0),m>4， b .m=-一 a b ->4, a .a<0, ∴.b>-4a, 1-3a>-4a, a>-1, .a的取值范围是-1<a<0. 4.(2025辽宁，中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-x+4与y轴相交于点A,与x轴相交 于点B,点C在线段OA上（不与点O,A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D,点A关于 直线CD的对称点为E,连接DE. A D 外 (1)求证：∠0AB=45°； (2)设点C的坐标为0，m),当0<m<2时，线段DE与线段OB相交于点F,求四边形COFD面积的最大值 【答案】（①）见解析 ②四边形C0FD面积的最大值为 【详解】(1)证明：对于直线y=-x+4, 令x=0,则y=4;令y=0,则x=4, A0,4,B4,0), 0A=4,0B=4, :∠A0B=90°， .∠0AB=45°； 名 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ (2)解：点C的坐标为0，m), ..OC=m,AC=4-m, :点A(0,4)关于直线CD的对称点为E, .CE=AC=4-m,L0AB=∠CED=45°， .0E=CE-0C=4-2m, :∠E0F=90°， :∠0EF=L0FE=45°， .0F=0E=4-2m, CD⊥OA, .∠0AB=∠CDA=45°， .CD=AC=4-m, :四边形C0FD面积=OF+CDx0C 专)4-2m+4-mm 、3 m2+4m 3428 m-3+3 2 3 <0, 2 一当烟身四边形C0FD面积有最大值，最大值为 4 5.(2025四川德阳.中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴 交于点A-1,0,B(3,0),与y轴交于点C. D B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的函数解析式： 43 ■■■ ■产 (②)如图2，连接BC,过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D. ①求点D的坐标； ②如图3，点E,F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF=√2，连接OF,DE·求 OF+DE的最小值， 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)①D(1,4),②5 【详解】(1)解：“A-1,0),B(3,0)在二次函数y=-x2+bx+c的图象上，设该二次函数为 y=-(x-x(x-x2), y=-x+1(x-3), ∴y=-x2+2x+3. (2)解：①把x=0代入y=-x2+2x+3, 得y=3, C(0,3 如图，延长DC与x轴相交于点G. B3,0),C(0,3, B .0B=0C=3 ∠C0B=90°， .∠CB0=45°. :∠DCB=90°=∠BCG, ∠CGB=90°-∠CB0=90°-45°=45°. .∠GC0=180°-∠C0G-∠CGB=180°-90°-45°=45°， 0G=0C=3, G(-3,0. 设直线CG的解析式为：y=kx+m(k≠0)，把C(0,3,G(-3,0代入， 44 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■产 3=m 解得 k=1 得 0=-3k+m m=31 :直线CG的解析式为：y=x+3, :点D是直线CG与二次函数的交点， y=x+3 联立解析式 y=-x2+2x+3' x=0 x=1 解得 或 y=3 y=4' D(1,4. ②如图，过点O作OH∥EF,且OH=EF=√互，连接HE,DH,设DH交x轴为点G. :OH‖EF,且OH=EF, B :四边形OFEH是平行四边形， .OF EH. ∠CB0=45°， ∠B0H=45°. :△OGH为等腰直角三角形， :.0G=GH, :OH=EF=√2，OG2+GH2=OH2, 0G=GH=1, H(1,-1. .DE+EH≥DH, :当DE+EH=DH时，DE+EH最小. :D1,4),H1,-1, DH=5. 此时D、E、H三点共线且DH⊥x轴， 45 ■ :点F的坐标为O,3)与点C重合，满足EF在线段BC上. DE+0F的最小值为5. 6.(2025四川遂宁.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c(b、c为常数)的图像 与x轴交于A(-1,0)、B两点，交y轴于点C,对称轴为直线x=1. (备用图) (①)求二次函数关系式. (2)连接AC、BC,抛物线上是否存在点P,使LCBP+LAC0=45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在， 说明理由， (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线AQ,使∠BAQ=2∠ACO,点M是线段AQ上的一动点，过点 M作MN⊥x轴，垂足为点N,连结BM,求BM+MN的最小值. 【答案】(1)y=x2-2x-3 ②抛物线上存在点P,使∠CBP+24C0=45°，P的坐标为(2，-3列，29) 311 ③)BM+MW的最小值为， 【详解】(1)解：：抛物线的对称轴为直线x=1, =1,即b=-2a=-2 2a .二次函数解析式为y=x2-2x+c 将A-1,0)代入得，1+2+c=0 解得：c=-3, .二次函数关系式为y=x2-2x-3; (2)解：在y=x2-2x-3中，当y=x2-2x-3=0时，解得x=3或x=-1, A-1,0,B3,0, 46 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 当x=0时，y=-3,则C(0,-3) 0B=0C=3,A0=1, 设LAC0=a,则tan∠AC0=40-」 0C3 ①当P在直线CB的下方时， 如图，以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCD, BD=CD=3,D3,-3, 设C关于x=1的对称点为E,则E(2,-3), .DE=1 tan ZDBE=DE_1 BD-3 .∠DBE=∠ACO .∠DBE+∠CBE=∠CBD=45° 又：∠CBP+∠AC0=45° 点P与点E重合， P2,-3) 当P在BC的上方时，作点P关于BC的对称点D' VA :△OBC,△BCD都是等腰直角三角形，CP=CD'=2 D'在y轴上，D'(0,-1 47 同理可得直线BD'解析式为y=一x-1 3 1 联立 y=-x-1 3 y=x2-2x-3 2 x=- x=3 解得： 3或 1y=0 y=-9 综上所达，抛物线上存在点P,使1C8P+14C0=45,P的坐标为2，-3，（3)》 (3)解：如图，在OC上取一点F,使得AF=FC YA A、OW .∠AF0=2LAC0 设FC=AF=n,则0F=OC-FC=3-n 在Rt△A0F中，AO=1,OF=3-n,AF=n .AF2=A02+F02,即n2=12+(3-n 解得：号 0F=3-54 33 tan∠BA0=tan∠AF0=40_3 OF 4 :AB=3-（-1=4, 在AQ上取一点G,使得BG⊥x,垂足为B, an∠BAQ=BG=3 AB 4 .BG=3 即G(3,3), 48 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ 如图，作B关于AQ的对称点B,连接BB'交AG于点T VA B G BM+MN=B'M+MN≥B'N :当M在B'N上时BM+MN取得最小值，最小值为B'N的长， 在Rt△ABG中，AB=4,BG=3 .AG=5 BB'L AG,BT=B'T=ABXBG_12 AG 5 BB'=2BT=24 :sn∠4GB=8-∠AB84LTBG:ZTBG+∠4GB:90 .∠AGB=∠ABB' 24496 B'N=BB'.sin∠ABB= 5×525 96 :BM+MN的最小值为 5 7.(2025重庆中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(6,0)两点， 与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x= 2 备用图 49 ■■■ (1)求抛物线的表达式： (②)点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q,点D,E为抛物线对称轴上的动 点（点E在点D的下方，且DE=4,连接BD,PE.当巴取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE的 OO 最小值： Θ)在(2)中器取得最大值的条件下，将抛物线y=r+s+c沿射线BC方向平移2个单位长度得到抛 00 物线y,点M为点P的对应点，点N为抛物线y上的一动点.若∠NAB=∠OPM-45°，请直接写出所有 符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. 【答案】(1)y=x2-5x-6 (2)点P的坐标为(3，-12)，BD+PE的最小值为45 (3)点N的坐标为2，-12)或 5+V97 14+2√97 2 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=气x一 5) +k, 把(6,0)代入得4 +k=0, 4 解得k=49 5_49=x2-5x-6: “y=x-2-4 (2)解：令x=0,则y=6, ∴.点C的坐标为(0，-6， 设直线BC的解析式为y=mx+n,把6,0)和(0，-6)代入得： 6m+n=0 m=1 n=6，解得 n=-61 .y=x-6, 设点P的坐标为x,x2-5x-6),过点P作PFIy轴交BC于点F,交x轴于点H, 则点F的坐标为x,x-6), .PF=x-6-x2-5x-6=-x2+6x, 50 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ :PFIy轴， :.∠PFQ=∠OCQ,∠FPQ=∠COQ, .△QPF∽△QOC, 6 当x=3时， 取得最大值为号，这时点P的坐标为3，-12， OP 把点P向上平移4个单位长度得到点G,点G的坐标为3，-8)，连接GD, 则四边形DEPG是平行四边形， DG=PE, 即BD+PE=BD+DG, 由4，B关于x对称性可有点A的坐标为-10， 连接AG,则BD+PE=BD+DG的最小值为AG长， AG=AH2+HG2=42+82=45, 即BD+PE的最小值为4√5； (3)解：：AB=AC=6, ∠ABC=∠ACB=45°， ∴将抛物线y=x2+bx+c沿射线BC方向平移2√2个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单 位长度得到抛物线以，即y=(:-+2少- 4 -2=x2-x-14, 过点P作PO⊥y轴于点Q,过点N作NK⊥x轴于点K,连接PM, 设点N的坐标为a,a2-a-14, 51 ■了 由平移得∠QPM=45°， :∠NAB=∠OPM-45°=∠OPQ+∠QPM-45°=∠OPQ=∠POB, 如图所示，：tan∠NAB=tan∠OPQ, 即12--a2-a-14 ,解得a=-5(舍去)或a=2, 3 a-(-1) 这时点N的坐标为(2，-12)： M 如图所示，则：tan∠NAB=tan∠OPQ, 号-w5+阿或5 2 2 L(舍去) 这时点N的坐标为 214+297 5+V97 综上所述，点N的坐标为2，-12)或 YA K B 52 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ 8.(2025海南中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过A(4,0)、B(-2,6)两点.点P(x,y)是 线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q, (1)若c=-4 ①求抛物线的解析式： ②求线段PQ长度的最大值： ③若t≤x,≤1+1，求x取何值时线段P2的长度最大（可用含t的代数式表示x). (②)若c≠-4，t≤x,≤t+1,问题(1)中③的结论是否会发生变化，请说明理由. 【答案】(1)①y=x2-3x-4;②最大值为9；③见解析 (2)不发生变化，理由见解析 【详解】(1)解：①：c=-4, .设抛物线的解析式为：y=ax2+bx-4, :抛物线y=ax2+bx+ca>0)经过A(4,0)、B(-2,6)两点， 0=16a+4b-4 a=1 6=4a-2b-4·解得： b=-3' 抛物线的解析式为：y=x2-3x-4; ②设直线AB的解析式为y=x+b,将点A、B代入得： [0=4k+b [k=-1 6=-2k+b'解得： (b=4” y=-x+4, :点P(xo,yo)是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q. P(x0,-x+4),2x0,x2-3x-4, 53 ■ P0=-x0+4-(x2-3x0-4)=-(x0-1)2+9, 由题意得：-2≤，≤4， :当x。=1时，PQ取得最大值为9： ③：P9=-(x-1)2+9,-2≤x≤4， :当t≥-2，t+1≤1时，即-2≤t≤0时，PQ的最大长度在x。=1+1处取得： 当t<1,t+1>1时，即0<t<1时，P2的最大长度在x,=1处取得： 当t≥1，t+1≤4时，即1≤t≤3时，PQ的最大长度在x=t处取得： (2)解：不发生变化，理由如下： :抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过A4,0)、B(-2,6)两点. 0=16a+4b+c b=-1-2a {6=4a-26+c解得： c=4-8a1 ∴.抛物线的解析式为：y=ax2-(1+2a)x+4-8a, :点P(x,y是线段AB上的动点， .y%=-x0+4, :点Q在抛物线上， 点Q的坐标为Q(xo,ax,2-(1+2a)x+4-8a), P0=-x+4-[ax2-(1+2a)x+4-8a]=-a(x。-1)2+9a, :PQ解析式图形开口方向及对称轴同(1)中③的解析图象一致， “问题(1)中③的结论未发生变化 9.(2025江苏扬州中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-2x+3的图象（记为G)与x 轴交于点A,B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象（记为G,)经过点A,C.直线x=t与 两个图象G,G,分别交于点M,N,与x轴交于点P. 54 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 备用图 (1)求b,c的值. (②)当点P在线段A0上时，求MN的最大值. (3)设点M,N到直线AC的距离分别为m,n.当m+n=4时，对应的t值有个；当m-n=3时， 对应的1值有个；当mn=2时，对应的t值有个；当m=1时，对应的1值有个 【答案】(1)b=4,c=3 @号 (3)2,0,4,无数 【详解】(1)解：对于二次函数y=-x2-2x+3,当y=0时，-x2-2x+3=0, 解得：x1=-3,x2=1, A-3,0),B1,0, 当x=0时，y=3, .C0,3, :二次函数y=x2+bx+c的图象（记为G,)经过点A,C 9-3b+c=0 [b=4 c=3 解得： c=3 .b=4,c=3: (2)解：b=4,c=3, .二次函数y=x2+bx+c解析式为y=x2+4x+3, :直线x=t与x轴垂直， Mt,-2-21+3,N,2+4t+3, MN=yM-yw=-12-21+3-(2+4t+3=-212-6t, 55 ■了 整w (-3<t<0), -2<0, 9 :当1=一时，MN取得最大值为 (3)解：如图，过点M作MT⊥AC于点T,过点N作NQ⊥AC于点Q,即直线x=t与直线AC交于点E :A-3,0),C(0,3, 设直线AC表达式为：y=x+b, 代入点A(-3,0),C(0,3), [-3k+b=0 k=1 则 b=3 ,解得： b=3 .直线AC表达式为y=x+3, .E(t,t+3), :ME=yw-yE=-21+3-(t+3=2-31,EN=yg-yw=t+3-(2+4t+3=-2-3, :A-3,0,C(0,3, ∴0A=0C,而∠A0C=90°， :.△AOC为等腰直角三角形， ∠0AC=45°， :MN⊥x轴， ∠AEP=∠MET=45°， :MP⊥AC,NQ⊥AC, 56 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞倍 :△MET,△NEQ均为等腰直角三角形， ME =MT2+TE2 =2MT, 即m=MT=2ME=-3 2 同要可得n=N0=总E=-刘 2 当m+n=4时， 9-9r-训=4 整理得：√2t2+3=4, √2r2+3V21-4=0或√22+3√2t+4=0, 对于√2r2+3√2t-4=0,△=3V2-4×V2×(-4)=18+162>0: 对于V22+3W2+4=0,△=(3W2-4×V2×4=18-16W2<0, .当m+n=4时，对应的t值有2个； 当m-8=,9-训外-动=3，方程无解， ∴.对应的t值有0个： 当a2时，9-冰r-叫=2 整理得：t2+31=4,.t2+3t-2=0或2+3t+2=0, 对于方程2+31-2=0，△=32-4×1×-2)=17>0， 对于方程t2+3t+2=0,△=32-4×1×2=1>0， 当mn=2时，对应的t值有4个； 当m=1时， m=2F-3n,-3g 21 m=n始终成立， :当1≠-3且1≠0时，m=1始终成立， n :当m=1时，对应的t值有无数个， n 故答案为：2,0,4，无数 57三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺16:二次函数中求线段、线段和、面积等最值问题专项 中考全国考情分析 1、 必考性与分值稳定 二次函数最值问题是全国中考数学压轴高频考点，覆盖填空、解答压轴题，分值 8—12 分，难度中高，是区分高分段考生的核心题型。核心失分点集中在：坐标转化错误、最值模型识别不清、几何最值转化逻辑薄弱、配方 / 求导运算失误、忽略定义域限制。 2、 考点聚焦 围绕二次函数解析式确定→点坐标与线段表示→单线段最值→线段和 / 差最值→三角形 / 四边形面积最值→周长最值→几何图形与二次函数综合最值七大核心模块，其中线段最值、面积最值、线段和最值为压轴必考热点。 3、 最新命题趋势（2024—2026） 命题深度情境化，结合动点、动线、折叠、平移等动态场景；从单一函数计算向函数建模 + 几何转化 + 最值推理综合考查；强化跨模块融合，常与等腰三角形、直角三角形、圆、相似三角形结合；新增参数最值、区间最值、最值存在性探究题型，突出数形结合与逻辑推理能力。 4、 地域差异 一线城市侧重复杂动态最值、多模型综合、参数探究；三四线城市侧重基础线段最值、常规面积最值、简单线段和最值，全国统一遵循 “重模型、重转化、重规范、重运算” 命题原则。 核心题型及具体解决方法 题型一、二次函数中单线段最值问题 具体解决方法： 设动点坐标（用二次函数解析式表示，如(x,ax2+bx+c)）； 用横坐标 / 纵坐标差或两点间距离公式表示线段长度； 转化为二次函数最值问题，配方或用顶点公式（，）求最值； 注意自变量取值范围，区间内最值需比较端点与顶点值。 （2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C．例题 (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二、二次函数中线段和（差）最值问题 具体解决方法： 将军饮马模型：对称点转化，化折线段为直线段，用两点之间线段最短求最小值； 胡不归模型：构造特殊角，转化线段系数，再用垂线段最短求最值； 阿氏圆模型：构造相似三角形，转化线段比例，结合圆的性质求最值； 线段差最值：利用三角形三边关系，三点共线时取最值。 （2026·山东淄博·一模）如图，直线l过点，，抛物线与y轴交于点C，若点P在抛物线的对称轴上移动，点Q在直线l上移动，则的最小值是（    ）例题 A．5 B．4.4 C．3.6 D．3.3 题型三、二次函数中三角形面积最值问题 具体解决方法： 底高法：定底 + 动高，用动点纵坐标差表示高，转化为二次函数求最值； 割补法：分割 / 补全图形，用坐标表示各部分面积，化简后求最值； 铅锤法：水平宽 × 铅锤高 ÷2，简化面积计算，快速转化为函数最值； 注意动点位置限制，避免最值点超出函数定义域。 （2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点在抛物线上．设，当时，．例题 (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)如图2，保持时的矩形位置不动，平移抛物线使之经过点，得到抛物线，过点的直线交抛物线和于点（点均不与点重合），设点的横坐标为，设点的横坐标为，请求出的值． 题型四、二次函数中四边形面积最值问题 具体解决方法： 分割转化：拆分为两个三角形，分别表示面积后求和，再求最值； 坐标公式法：利用四边形顶点坐标，代入面积公式转化为函数； 平行四边形 / 梯形：结合边长与高的关系，转化为单变量函数求最值； 动态四边形：抓住不变量 + 变量关系，简化最值求解逻辑。 （2026·江苏连云港·模拟预测）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接、．例题 (1)求证：． (2)当点P在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论． (3)四边形的面积为S，． ①________（用含x的代数式表示） ②试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 题型五、二次函数中周长最值问题 具体解决方法： 拆分周长为定线段 + 动线段和，定线段固定，只需求动线段和最值； 结合将军饮马转化动线段，化折为直求最小周长； 等腰 / 直角三角形周长：利用边长关系，转化为单变量函数，结合定义域求最值。 （2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点在抛物线上．设，当时，．例题 (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)如图2，保持时的矩形位置不动，平移抛物线使之经过点，得到抛物线，过点的直线交抛物线和于点（点均不与点重合），设点的横坐标为，设点的横坐标为，请求出的值． 题型六、二次函数与几何图形综合最值问题 具体解决方法： 先确定二次函数解析式与关键点坐标； 结合等腰、直角、相似、圆等几何性质，转化线段 / 角度关系； 将几何最值转化为二次函数最值，结合图形限制确定定义域； 分类讨论：动点在不同区间、图形不同位置时的最值情况。 （2026·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接．例题 (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 经典模拟题 1．（2026·山东青岛·一模）某光电研究所研究某种合金的熔点，随着一些稀土材料的加入，合金的熔点逐渐变化，其最高熔点部分图象近似于抛物线的部分图象，已知下列标出的四个点，有三个点在近似抛物线部分图象上，标出的点为：，，，．若分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数部分图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津和平·一模）如图，正方形的边长为，点在边上，，点在边上，．将正方形截去一个角后得到一个五边形，点在线段上运动（点可与点，点重合），作矩形，其中，分别在边，上．有下列结论： ①当时，； ②矩形面积的最大值为； ③有两个不同的值满足矩形的面积为． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，是上一动点（不含两点），将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点．使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接．则以下结论中错误的是（    ） A．线段长度的最小值为 B．四边形的面积最大值为10 C．当时， D．当为中点时，是线段的垂直平分线 4．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动，到点停止．同时动点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到点停止．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 6．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在等腰中，，动点D从点A开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿边以相同速度运动到点C，连接，点F为中点．设时间为，为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．连接，有最小值为 C．若点M是边的中点，则的最小值为1 D．连接，则的最小值为 7．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，为的中点，延长至点，使得，P、Q分别为、上的动点，，连接，作于点，连接，，，，，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．面积的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 8．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且对称轴为． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，点为对称轴上一动点，求的周长的最小值； (3)把该抛物线沿轴向右平移个单位长度，若自变量满足时，对应的函数值的最小值为3，求的值； (4)如图2，点为该抛物线的顶点，点为该抛物线上位于第二象限的一个动点，作直线，分别与对称轴交于点，，比较线段和的长度大小． 9．（2026·山东淄博·模拟预测）如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接． (1)求的值； (2)当取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 10．（2026·安徽阜阳·二模）平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，点是抛物线上，两点之间的一动点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点． ①求线段的最大值； ②如图3，过点作轴于点，设，求的最大值． 真题再现 1．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______． 2．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 5．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 6．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 7．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 8．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 9．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值． (2)当点在线段上时，求的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $