2026年中考数学三轮冲刺14：一次函数与反比例函数综合问题（全国通用）

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数综合，以“解析式求解-图像性质-几何综合”为主线，提炼6类核心题型方法，融合数形结合与分类讨论，适配中考中档解答题与选填压轴突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数综合|6类核心题型+10道模拟+10道真题|公共交点求解析式、k几何意义（矩形/三角形面积）、割补法算面积、动态问题参数表示|从概念（解析式）到图像性质（交点、不等式），再到几何综合（面积、存在性），层层递进，强化几何直观与推理能力|

三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺14:一次函数与反比例函数综合问题专项 中考全国考情分析 1、 必考性与分值稳定 一次函数与反比例函数综合是全国中考数学中档核心解答题 / 选填压轴，95% 以上地区必考，选择 / 填空分值 3—6 分，解答题分值 8—10 分，常位于第 18—21 题，平均失分率约 35%。核心失分点集中在解析式求解错误、k 的几何意义用错、不等式解集读图失误、面积计算漏解、几何存在性分类讨论不全。 2、 考点聚焦 围绕函数解析式求解→图像交点坐标计算→函数与不等式结合→反比例函数 k 的几何意义→图形面积计算→一次函数与反比例函数几何综合六大核心环节，其中交点求解析式、k 的几何意义、面积与不等式解集为高频必考考点。 3、 最新命题趋势（2024—2026） 从 “单一解析式求解” 向 **“解析式 + 图像 + 不等式 + 面积 + 几何存在性”综合设问转变；强化数形结合 ** 核心素养，读图、析图、用图能力为考查重点；创新设问形式，双空填空、多项判断、动态交点、面积定值 / 最值题型占比逐年上升；常与三角形、平行四边形、矩形结合，突出几何直观与函数性质融合。 4、 地域差异 一线城市（北京、上海、广州、深圳）侧重动态综合、存在性探究压轴考查；三四线城市侧重基础解析式、面积、不等式中档考查，全国均遵循 “重图像、重方法、重数形结合” 命题原则。 核心题型及具体解决方法 题型一、求一次函数与反比例函数解析式 具体解决方法： 锁定两函数公共交点坐标，代入反比例函数y=(k≠0)求k； 将交点坐标代入一次函数y=kx+b(k≠0)，联立方程组求k、b； 结合图像象限、已知点、线段长度验证参数合理性；标注自变量取值范围（反比例函数x≠0）。 （2026·山东临沂·一模）如图，点为矩形的对角线的中点，，．，是上的点（，均不与，重合），且，连接，，用表示线段的长度，点与点的距离为，矩形的面积为，的面积为，的面积为．其中．例题 (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质． 题型二、函数图像与性质综合判断 具体解决方法： 由反比例函数k的符号，确定图像象限与象限内增减性； 由一次函数k、b符号，确定图像经过象限与升降趋势； 结合交点位置、图像分布，判断参数符号与函数值大小； 反比例函数不可跨象限直接比较函数值。 （2026·山东菏泽·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．例题 (1)求与的值； (2)连接并延长，与反比例函数的图象交于点，点在轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 题型三、交点与方程、不等式结合问题 具体解决方法： 两函数交点横坐标是联立方程的解，纵坐标是对应函数值； 解不等式kx+b>（或＜），以交点横坐标为界分区间读图判断； 分x>0、x<0两段分析，避免遗漏负半轴解集； 根据图像上下位置关系，直接写出解集。 （2026·河南·一模）如图，正方形对角线交点O与平面直角坐标系的原点重合，顶点和C在反比例函数的图象上，顶点B和D在反比例函数的图象上．例题 (1)求和的值； (2)点E是线段与x轴的交点，请写出点E的坐标． 题型四、反比例函数 k 的几何意义与面积计算 具体解决方法： 牢记核心结论：双曲线上任一点作坐标轴垂线，矩形面积 =|k|，三角形面积 =∣k∣； 复杂图形用割补法、坐标法，转化为含∣k∣的基本图形计算； 由图像象限确定k符号，面积反求k时注意符号取舍； 原点与交点构成的三角形，用坐标差算底和高。 （2026·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴的正半轴上，且的面积为24，反比例函数的图象经过的中点．例题 (1)求的值． (2)若点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为2，6，请直接写出直线的表达式和的面积． 题型五、一次函数与反比例函数几何综合 具体解决方法： 用交点坐标、函数性质求线段长度与角度关系； 结合等腰、直角、平行四边形判定条件列方程； 用坐标表示线段，转化为代数方程求解参数； 分类讨论图形位置，检验结果符合几何意义。 （2026·山西大同·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接．例题 (1)求反比例函数的解析式； (2)求线段的最小值． 题型六、动态综合问题（动点、平移、旋转） 具体解决方法： 设动点坐标，用参数表示横、纵坐标并代入函数解析式； 一次函数平移遵循左加右减、上加下减，反比例函数平移核心为原点平移； 抓住临界交点、边界位置，确定参数取值范围； 数形结合验证动态过程，排除无效解。 （2026·重庆南岸·模拟预测）如图，点为矩形边的中点，连接，，．动点从出发沿的路线以每秒2个单位长度的速度运动，到达点时停止运动；同时动点从出发沿的路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时停止运动．点是射线上一动点，连接，运动过程中的面积始终等于4．设点，的运动时间为秒，点到的距离为，的长度为．例题 (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 经典模拟题 1．（2026·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 2．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)分别求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在反比例函数图象上取点，过点M作直线l（l不与x轴垂直），交x轴于点C，连接． ①如图，当直线l与反比例函数的图象有且只有交点M时，求的长； ②设直线l与反比例函数的图象在第一象限内相交于另一点D，连接．当时，求点D的坐标． 3．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2026·山西晋城·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)过点C作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点D，连接，直接写出的面积． 5．（2026·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，、与直线分别交于，两点，其中． (1)当直线经过点时： ①求直线的解析式； ②平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，且点在点的左侧．当时，求的值． (2)设直线、交于点，直接写出的值． 6．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出的解集 7．（2026·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴和反比例函数的图象交于点A，B，C，B为线段的中点，过点作y轴的垂线分别交函数与的图象于E，F两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 8．（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形均为正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上（点C在点E的左侧），点D在边上，点B、F落在反比例函数（k为常数，）第一象限的图像上，若，则的长为_______． 9．（2026·四川成都·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，过点A的直线与反比例函数的图象的另一交点为B，与x轴交于点C．设M为反比例函数图象上一点，且点M在直线AB的下方． (1)求a，b，k的值； (2)连接并延长OM交直线于点D，若，求点M的坐标； (3)是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2026·江西抚州·二模）如图，点分别在反比例函数和反比例函数的图象上，的延长线交轴于点，连接，过点作，交反比例函数的图象于点，连接，已知点的纵坐标为轴且．    (1)求的值及点的坐标； (2)①求直线的解析式； ②求四边形的面积． 真题再现 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 4．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 5．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 6．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 7．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 8．（2025·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求、的值和反比例函数的表达式； (2)若在轴上存在点，使得的面积为6，求的值． 9．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 10．（2025·青海·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数）的图象在第二象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺14:一次函数与反比例函数综合问题专项 中考全国考情分析 1、 必考性与分值稳定 一次函数与反比例函数综合是全国中考数学中档核心解答题 / 选填压轴，95% 以上地区必考，选择 / 填空分值 3—6 分，解答题分值 8—10 分，常位于第 18—21 题，平均失分率约 35%。核心失分点集中在解析式求解错误、k 的几何意义用错、不等式解集读图失误、面积计算漏解、几何存在性分类讨论不全。 2、 考点聚焦 围绕函数解析式求解→图像交点坐标计算→函数与不等式结合→反比例函数 k 的几何意义→图形面积计算→一次函数与反比例函数几何综合六大核心环节，其中交点求解析式、k 的几何意义、面积与不等式解集为高频必考考点。 3、 最新命题趋势（2024—2026） 从 “单一解析式求解” 向 **“解析式 + 图像 + 不等式 + 面积 + 几何存在性”综合设问转变；强化数形结合 ** 核心素养，读图、析图、用图能力为考查重点；创新设问形式，双空填空、多项判断、动态交点、面积定值 / 最值题型占比逐年上升；常与三角形、平行四边形、矩形结合，突出几何直观与函数性质融合。 4、 地域差异 一线城市（北京、上海、广州、深圳）侧重动态综合、存在性探究压轴考查；三四线城市侧重基础解析式、面积、不等式中档考查，全国均遵循 “重图像、重方法、重数形结合” 命题原则。 核心题型及具体解决方法 题型一、求一次函数与反比例函数解析式 具体解决方法： 锁定两函数公共交点坐标，代入反比例函数y=(k≠0)求k； 将交点坐标代入一次函数y=kx+b(k≠0)，联立方程组求k、b； 结合图像象限、已知点、线段长度验证参数合理性；标注自变量取值范围（反比例函数x≠0）。 （2026·山东临沂·一模）如图，点为矩形的对角线的中点，，．，是上的点（，均不与，重合），且，连接，，用表示线段的长度，点与点的距离为，矩形的面积为，的面积为，的面积为．其中．例题 (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质． 【答案】(1)， (2)见解析 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ， ， 当时， 可得：， 当时， 可得：， 综上所述，； 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，，． （2）如图 当时，随x的增大而减小（或当时，随x的增大而增大）； 当时，随x的增大而减小． 题型二、函数图像与性质综合判断 具体解决方法： 由反比例函数k的符号，确定图像象限与象限内增减性； 由一次函数k、b符号，确定图像经过象限与升降趋势； 结合交点位置、图像分布，判断参数符号与函数值大小； 反比例函数不可跨象限直接比较函数值。 （2026·山东菏泽·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．例题 (1)求与的值； (2)连接并延长，与反比例函数的图象交于点，点在轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得：，； （2）解：由（1）知一次函数解析式为， 当时，， ∴点， ∴ 当点落在轴的正半轴上， 则， ∴与不可能相似． 当点落在轴的负半轴上， 若， ∴ ∵， ∴， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：点的坐标为或． 题型三、交点与方程、不等式结合问题 具体解决方法： 两函数交点横坐标是联立方程的解，纵坐标是对应函数值； 解不等式kx+b>（或＜），以交点横坐标为界分区间读图判断； 分x>0、x<0两段分析，避免遗漏负半轴解集； 根据图像上下位置关系，直接写出解集。 （2026·河南·一模）如图，正方形对角线交点O与平面直角坐标系的原点重合，顶点和C在反比例函数的图象上，顶点B和D在反比例函数的图象上．例题 (1)求和的值； (2)点E是线段与x轴的交点，请写出点E的坐标． 【答案】(1)和 (2) 【详解】（1）解：∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， 过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，则． ∵四边形是正方形， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴ ∴和的值分别为10和； （2）解：设点A、B所在的直线解析式为， 把和分别代入中， 得， 解得， ∴所在的一次函数解析式为， 当时，解得， ∴点E的坐标为． 题型四、反比例函数 k 的几何意义与面积计算 具体解决方法： 牢记核心结论：双曲线上任一点作坐标轴垂线，矩形面积 =|k|，三角形面积 =∣k∣； 复杂图形用割补法、坐标法，转化为含∣k∣的基本图形计算； 由图像象限确定k符号，面积反求k时注意符号取舍； 原点与交点构成的三角形，用坐标差算底和高。 （2026·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴的正半轴上，且的面积为24，反比例函数的图象经过的中点．例题 (1)求的值． (2)若点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为2，6，请直接写出直线的表达式和的面积． 【答案】(1)12 (2)；16 【详解】（1）解：设点，点， 的面积为24，反比例函数的图象经过的中点， ，， ，， ． （2）解：根据题意，得反比例函数的解析式为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． 如图，过点P作轴于点N，过点Q作轴于点M，令交于点G， ∴， ， 根据反比例函数的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五、一次函数与反比例函数几何综合 具体解决方法： 用交点坐标、函数性质求线段长度与角度关系； 结合等腰、直角、平行四边形判定条件列方程； 用坐标表示线段，转化为代数方程求解参数； 分类讨论图形位置，检验结果符合几何意义。 （2026·山西大同·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接．例题 (1)求反比例函数的解析式； (2)求线段的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴把代入，得： ， ∴点坐标为， 把代入，得： ， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由“垂线段最短”可知：当时，最小，如图， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∵， ∴， 解得， 即线段的最小值为． 题型六、动态综合问题（动点、平移、旋转） 具体解决方法： 设动点坐标，用参数表示横、纵坐标并代入函数解析式； 一次函数平移遵循左加右减、上加下减，反比例函数平移核心为原点平移； 抓住临界交点、边界位置，确定参数取值范围； 数形结合验证动态过程，排除无效解。 （2026·重庆南岸·模拟预测）如图，点为矩形边的中点，连接，，．动点从出发沿的路线以每秒2个单位长度的速度运动，到达点时停止运动；同时动点从出发沿的路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时停止运动．点是射线上一动点，连接，运动过程中的面积始终等于4．设点，的运动时间为秒，点到的距离为，的长度为．例题 (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)图像见解析；在时，随着x的增大而增大；在时随着x的增大而减小；（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：∵点为矩形边的中点，，， ∴，， ∴， ∴， 当点P在上时（包括点E），有，即，过点P作于点F，如图 ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴ 当点P在上时（不包括点E）时，，如图 ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 即． （2）解：列表如下 x …… 3 5 6 7 …… …… 6 4 2 描点并连线，如图 列表如下： x …… 1 2 4 5 …… …… 16 8 4 2 描点并连线，如图，图像即为所求； 由图可知，在时，随着x的增大而增大；在时随着x的增大而减小；（答案不唯一） （3）解：由图可知 当时，． 经典模拟题 1．（2026·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 点的横坐标为，且点在反比例函数的图象上， ∴ 点． 将点，代入， 得，解得 一次函数的解析式为； （2）解：在一次函数中，令，则， 点，． ， ． 2．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)分别求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在反比例函数图象上取点，过点M作直线l（l不与x轴垂直），交x轴于点C，连接． ①如图，当直线l与反比例函数的图象有且只有交点M时，求的长； ②设直线l与反比例函数的图象在第一象限内相交于另一点D，连接．当时，求点D的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)①；②点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：①∵点在反比例函数的图象上， ∴， 设直线l的表达式为， ∴， ∴， ∴直线l的表达式为， 联立得，整理得， ∵直线l与反比例函数的图象有且只有交点M， ∴， 解得， ∴直线l的表达式为， 令，则， 解得， ∴， ∵点B的坐标为， ∴； ②∵，整理得， 解得，， ∴点D的坐标为， 设直线的表达式为， ∴，解得， 对于直线l的表达式为， 令，则，解得， ∴点C的坐标为， ∴直线的表达式为， ∴， 解得， ∵， ∴，即， 解得（舍去）或， ∴点D的坐标为． 3．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：与轴交于点， 当时，， 解得：， ； （2）解：∵ ， 与轴交于点， 当时，， 则， ∴， 点是的中点， ， ，， 设，则， ， 当时，， 解得：或， 或． 4．（2026·山西晋城·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)过点C作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点D，连接，直接写出的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)3 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为， 把点B的坐标代入得， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入得，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴． 5．（2026·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，、与直线分别交于，两点，其中． (1)当直线经过点时： ①求直线的解析式； ②平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，且点在点的左侧．当时，求的值． (2)设直线、交于点，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：①将代入： ，解得， 则的解析式； ②由第①问得，， 直线与交点，则， 解得： 直线与交点，则， 解得：， 又在左侧且， 即，且， 代入得， 解得． （2）解：与轴交点，与轴交点， ， 直线与交点：， ， 直线与交点：， ， ， 由直线、交于点联立得：，解得， 代入：， ， 点到轴（即）的水平距离为 ， 点到直线（即）的水平距离为， ，， ． 6．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出的解集 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为； 将点代入，得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：联立一次函数和反比例函数， 得， 解得或， 令，则， 点坐标为， 可知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围， 由图像可知，不等式的解集为或． 7．（2026·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴和反比例函数的图象交于点A，B，C，B为线段的中点，过点作y轴的垂线分别交函数与的图象于E，F两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解:令，解得， ∴点A的坐标为， 由，则， ∴点B的坐标为， ∵B为线段的中点， ∴，将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由题知直线分别交函数与的图象于点E，F， ∴点E在上，令，得，解得， ∴点E的坐标为． 点F在上，令，得，解得， ∴点F的坐标为． ∵，点C到直线的距离为， ∴． 8．（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形均为正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上（点C在点E的左侧），点D在边上，点B、F落在反比例函数（k为常数，）第一象限的图像上，若，则的长为_______． 【答案】 【详解】解：根据反比例函数图像的几何意义可得：， 四边形是正方形，且， ， ， ， 四边形是正方形， 设， ， 即， 解得（舍负）， ，， 在中，， ． 9．（2026·四川成都·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，过点A的直线与反比例函数的图象的另一交点为B，与x轴交于点C．设M为反比例函数图象上一点，且点M在直线AB的下方． (1)求a，b，k的值； (2)连接并延长OM交直线于点D，若，求点M的坐标； (3)是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：将代入中， 得， ， A点坐标为． 将代入函数中，． ， 将代入中，． ． （2）解：过点A作轴，过点D作轴，过点B作轴，交于点E，F， 根据三角形中的平行线分线段成比例定理： ， ， ． 联立直线与反比例函数的解析式： 消去得：，整理得． 解得或． 当时，（即点A）， 当时，． 点B的坐标为． 点A的坐标为 ， ， D点的坐标为， 直线的解析式为， 联立和反比例函数的解析式： 解得， M点的坐标为． （3）解：存在点M，使，理由如下： B点的坐标为， ， 在直线中，令，得． C点的坐标为， ，． 若，则对应边成比例： 由， ，即． 同时，即． 设M点的坐标为， 由，得，即 ， 整理得． 设，则，即． 解得． ，或． 当时，，即． 当时，，即． 验证： 当时，，舍去． 当时，，符合题意． 存在点，使． 10．（2026·江西抚州·二模）如图，点分别在反比例函数和反比例函数的图象上，的延长线交轴于点，连接，过点作，交反比例函数的图象于点，连接，已知点的纵坐标为轴且．    (1)求的值及点的坐标； (2)①求直线的解析式； ②求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）解：把代入，得， ． ∵轴且， ∴，且 ， ∴， ； （2）解：①如图，过点作交的延长线于点．    由（1）知，，则反比例函数的解析式为 设， ， ， ， ∵轴， ∴， ， ， ， ，即． ． 解得（舍去），． ∴， ． 设直线的解析式为， 把代入得 解得， ∴直线的解析式为； ②， ， ． 真题再现 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)的面积为． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； （2）解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，， ，， 将，代入， 则 解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【详解】（1）解：将代入得，，解得：， ∴正比例函数表达式为，， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称，， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 3．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 4．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 5．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 6．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)16 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 7．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得：， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴． 8．（2025·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求、的值和反比例函数的表达式； (2)若在轴上存在点，使得的面积为6，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：如图所示，设直线交x轴于C， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 9．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 【详解】（1）解∶∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴，解得，     ∴一次函数的表达式为． ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：射线与反比例函数的图象交于点C， 结合函数图象关于原点中心对称可知， 过点作轴于点E，过点作轴于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴． 10．（2025·青海·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数）的图象在第二象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：把点代入中得， ∴， ∴一次函数解析式为， 把点代入中， 得， ∴点的坐标为， 把代入中， 得，， ∴反比例函数解析式为； （2）解：过点作轴于点， ∵， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $