北京市第二中学2024-2025学年高三下学期5月校模数学试卷

2025校模数学参考答案 一、选择题（每小题4分） 1 2 3 4 5 D C D A B 6 7 8 9 10 C A A B C 二、填空题（每小题5分） 11. 12. ; 13. 14.任取即可 ; 15. ①②④  三、解答题（共85分） 16.13分在中，角的对边分别为，且 求的值；若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：的周长为 【答案】解：因为  ，由正弦定理得  ， 即  ，可得  ， 可得  . 解：由得  ，由正弦定理得  ， 若选条件①：由余弦定理得  ，即  ，又由  ，解得  ，则  ，此时  存在且唯一确定，因为  ，则  ，可得  ， 所以  ； 若选条件②：由  ，因为  ，即  ，若 C 为锐角，则  ， 由余弦定理  ，即  ，整理得  ，且  ，解得  ，则  ；若 C 为钝角，则  ，由余弦定理得  ，即  ，整理得  ，解得  ，则  ；  不唯一确定，不合题意； 若条件③：因为  ，即  ，解得  ，则  ，所以此时  存在且唯一确定，由余弦定理得  ，因为  ，可得  ， 所以  ． 17.13分某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了两项质量指标A、B的值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表： 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． 从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率； 从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设X表示这两件产品中满足的产品数，求X的分布列和数学期望； 已知Q的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由． 【答案】解：记A表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足且”． 用频率估计概率，则 所以该产品满足且的概率为 由表格数据，用频率估计概率，可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为；“从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为 由题意，X的所有可能取值为，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为 甲生产线上的产品质量更好. 从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则 甲生产线上的Q值小于乙的概率为， 所以甲生产线上的产品质量更好． 18.14分如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点． （Ⅰ）求证：平面PED； （Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由． 【答案】证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以 又平面PED，平面PED，所以平面 解：因为平面ABCD，，所以平面ABCD，又AD、CD在平面ABCD内， 所以，又因为四边形ABCD是正方形，所以如图建立空间直角坐标系， 因为，所以，，，， 因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，所以，， 所以，， 设为平面FGH的一个法向量，则，即， 再令，得， 设为平面PBC的一个法向量，则，即， 令，得所以 所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为 在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PA所成角为 证明：假设在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PA所成角为 依题意可设，其中由，则 又因为，所以 又直线FM与直线PA成角，，所以， 即，解得所以， 所以，在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PA所成角为，此时PM的长为  19.15分已知椭圆的短轴长为2，离心率为 求椭圆C的方程; 点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且，点Q是P关于x轴的对称点，直线QA与椭圆C的另一个交点为 证明：直线AQ，AP的斜率之比为定值;求直线EF的斜率的最小值. 【答案】解：由题意得，解得，椭圆C的方程：； 设P点的坐标为，点Q是关于x轴的对称点，，，， 直线QA的斜率为，PA的斜率为，， 直线AQ，AP的斜率之比为定值． 设直线PA的方程为联立方程组， 化简得， 设E点的坐标是，，即x1，y1， 点的坐标是，  由可知，直线QA的方程是，点的坐标是， 直线EF的斜率 ， 当且仅当，即 时，有最小值 直线EF的斜率的最小值是  20.15分已知函数， ，. （Ⅰ）证明：在区间恒成立； （Ⅱ）若的最小值为0，求a的值； （Ⅲ）若在区间内恒成立，求a的取值范围． 【答案】解：（Ⅰ）在恒正，故等价于证明在区间恒成立. 取，，故在区间单调递增，所以. 故原不等式恒成立. （Ⅱ），当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是 则的最小值为，令，则， 的单调递增区间是，单调递减区间是， 即当时，的最小值为0， （Ⅲ）记，则当时，由（Ⅱ）知，在上单调递减，所以对恒成立，又当时，由（Ⅰ）知，， 取时，，则与已知不等式矛盾. 当时，， ，由（Ⅰ）知， 当时，，取，则， 从而由函数零点存在定理知，存在，使， 当时，，在单调递减，，与已知不等式矛盾. 当时，， 在单调递增，从而，，满足题意. 综上可知 21.15分设和均为各项互不相等的N项数列，其中，记数列C：，，…，，其中， 写出所有满足条件的数列和，使得数列； 若，C是公差不为0的等差数列，求证：为定值； 若C为各项互不相等的数列，记C中最大的数为P，最小的数为Q，求的最小值． 【答案】解：显然，因为， 根据，，则，，， 从而满足条件的答案有4组，分别为： ；； ； 记等差数列C的公差为， 由， 得，则 由，得 因为，且和均为各项互不相等的2024项数列， 所以， 所以，即 所以公差 不妨设公差，则， 而只能由1和2024得到，去除两端的数后只能由2和2023得到 以此类推，于是总为定值 由题意，数列C中有N个不同的整数，则，当且仅当数列C为N个连续整数时取等号， 当N为偶数时，若存在数列C，使得，则 由N为偶数，知为奇数，则不可能为 这与矛盾， 所以当N为偶数时， 当N为偶数时，如果数列； 数列； 那么数列，此时满足 当N为奇数时，如果数列； 数列； 那么数列，此时 综上，当N为偶数时，最小值为N；当N为奇数时，最小值为 第26页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京二中2024—2025学年度高三年级校模试卷 数学 命题人： 王逸飞 　审核人： 邱松___ 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分．选出符合题目要求的一项） 1.已知集合，或，则（ ）. A. B. C. D. 2.已知复数z满足，其中为虚数单位，则复数z的共轭复数的虚部为（ ）. A. i B. C. D. 1 3.已知非零向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）. A. 6 B. C. D. 3 4.下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）. A. B. C. D. 5.设直线经过抛物线的焦点，P为直线上任意一点，过P总能作圆的切线，则直线斜率k的最大值为（ ）. A. B. C. D. 1 6.设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7.无穷等比数列各项都为正数，前n项和为，则“是递减数列”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如下图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中，，与都是等边三角形，且二面角与相等，则EF长度的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 9.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，且表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即已知的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则（ ）. A. 80 B. 96 C. 100 D. 112 10.曲线C：，其中m，n均为正数，则下列命题错误的是（ ）. A. 当，时，曲线C关于中心对称 B. 当，时，曲线C是轴对称图形 C. 当，时，曲线C所围成的面积小于 D. 当，时，曲线C上的点与距离的最小值等于1 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11.在的二项展开式中，的系数为                    用数字作答 12.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为                    ； 渐近线方程为                    . 13.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则_______. 14.已知函数，若是上的单调函数，则a的一个取值为________; 若有最小值，则a的取值范围是                         . 15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且给出下列四个结论： ①； ②各项中的最大值为2； ③，使得； ④，都有 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题（本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.本小题满分13分在中，角的对边分别为，且 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为 注：若选择条件不合要求，本小题得0分；若选择多个条件，按所选第一个条件计入. 17.本小题满分13分某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了两项质量指标A、B的值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表： 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． （Ⅰ）从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率； （Ⅰ）从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设X表示这两件产品中满足的产品数，求X的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知Q的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？（直接写出结论即可） 18.本小题满分14分如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点． （Ⅰ）求证：平面PED； （Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由． 19.本小题满分15分已知椭圆的短轴长为2，离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的方程; （Ⅱ）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且，点Q是P关于x轴的对称点，直线QA与椭圆C的另一个交点为 证明：直线AQ，AP的斜率之比为定值； 求直线EF的斜率的最小值. 20.本小题满分15分已知函数， ，. （Ⅰ）证明：在区间恒成立； （Ⅱ）若的最小值为0，求a的值； （Ⅲ）若在区间内恒成立，求a的取值范围． 21.本小题满分15分设和均为各项互不相等的N项数列，其中，记数列C：，，…，，其中， （Ⅰ）写出所有满足条件的数列和，使得数列； （Ⅱ）若，C是公差不为0的等差数列，求证：为定值； （Ⅲ）若C为各项互不相等的数列，记C中最大的数为P，最小的数为Q，求的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$